量子光学基础第三章.ppt

1 量子光学基础 第三章 电磁场的量子化 2011 3 19 1 2 第三章电磁场的量子化 第一章我们讲量子力学的基本知识 主要介绍原子系统的量子化 引入二能级原子模型和Bloch方程 上一章介绍激光的半经典理论 其中电磁场经典处理 原子系统量子化 半经典理论可以讨论激光器的增益饱和 频率牵引 模式竞争 Lamb凹陷等问题 这理论也可以用来讨论非线性光学中Raman散射与四波混频等现象 但也有许多量子光学问题 半经典理论给不出正确的结果 包括自发辐射 激光谱线宽度 共振荧光和压缩态等 对它们处理必须用全量子理论 全量子理论不仅原子系统量子化 电磁场也要量子化 本章介绍电磁场的量子化及量子化电磁场的性质 分以下几节 1 电磁场的量子化 2 相干态与电磁场的相干性质 3 电磁场的表示 4 量子噪声 2011 3 19 2 3 第一节电磁场的量子化 对电磁场量子化有两套方法 正则量子化和仿谐振子量子化方法 下面分别介绍 1 电磁场的正则量子化正则量子化就是对系统引入相应正则坐标和正则动量 而其它物理量写成坐标和动量的函数 然后将坐标 动量量子化 并完成其它物理量的量子化 特别引入量子化的哈密顿量 在电磁场中正则坐标就是电磁矢势 而电场强度与磁场强度都用电磁矢势来表示 对其量子化 就完成电磁场的量子化 自由电磁场中Maxwell方程 2011 3 19 3 4 第一章电磁场的量子化 引入电磁矢势 电场强度 磁感应强度 在库仑规范下 矢势满足方程在真空中 方程写为 取为正则坐标 系统拉氏函数密度 2011 3 19 4 5 第一节电磁场的量子化 在分析力学中正则动量为系统的哈密顿量电磁场包括各种不同频率波 因此取表示偏振方向 1 2为两个偏振态 为波矢 2011 3 19 5 6 第一节电磁场的量子化 正则动量其中k为不同频率的波数 正则量子化方法就是将正则坐标和动量变成算符 量子化后哈密顿算符 2011 3 19 6 7 第一节电磁场的量子化 量子化后分别是电磁场中光子的产生和湮灭算符 量子化后 电磁场变成光子场 为光子数算符 光子为波色子 满足波色对易关系 正则坐标与正则动量满足横对易关系T表示垂直于电磁场传播方向 量子化后电磁场变成光子场 状态用光子数表示 在一般量子电动力学中 认为光子没有确定位置 但自由光子有确定动量和偏振方向 因此用波矢和偏振方向表示状态 为简单 后面用j代替k 光子产生与湮灭算符为 电磁场能量 电场强度 2011 3 19 7 8 第一节电磁场的量子化 2 仿谐振子量子化方法仿谐振子量子化方法又称驻波场的量子化方法 考虑单模场 振动频率为 设想波在一维谐振腔中来回反射形成驻波 相应电场强度 为偏振方向 V归一化体积 介电常数 利用Maxwell方程 得到 电磁场能量 利用 2011 3 19 8 9 第一节电磁场的量子化 有这与谐振子哈密顿量相似 其中m 1 量子化将其中q p变成算符 得取利用 得在多模时 2011 3 19 9 10 第一节电磁场的量子化 3 光子数态电磁场经量子化后变为光子场 电磁场状态将用不同状态光子数表示 光子数算符 它的本征态 称光子数态 本征方程基态为真空态 表为 表示一个光子也没有 定义基态能量 真空态能量不为零 由于频率求和没有上限 总能量可以趋向无限 这是量子化电磁场的一个概念性的困难 在实际问题讨论中 我们求的是能量的变化 无限大零点能不会对结果带来影响 在量子电动力学中常利用重整化方法将零点能去掉 这样电磁场哈密顿算符为 2011 3 19 10 11 第一节电磁场的量子化 类似于第一章对谐振子讨论 给出光子产生与湮灭算符对光子数态作用的结果多光子态可以通过产生算符对真空态连续作用得到光子数态是正交完备的 满足 2011 3 19 11 12 第一节电磁场的量子化 即光子数态构成Hilbert空间中一个完备正交系 因此任意光子场的态函数都可以用光子数态展开 光子数态有一个重要性质是在光子数态上 电场强度的平均值为0 而电场强度的平方平均值不为0 为什麽光子数态中电场强度平均值为0呢 这是由于光子数和相位是不能同时确定的 即波的振幅和相位算符是不对易的 如粒子的坐标和动量一样 光子数完全确定 相位完全混乱 相位完全混乱的场测其强度平均值为零 下面讨论光场的相位问题 2011 3 19 12 13 第一节电磁场的量子化 4 光子的相位算符从经典物理知道 对各种波动现象的研究 特别是波的相互作用的研究 包括波的干涉和衍射 其中最重要的量就是相位 如两光相干的条件是同频率 同振动方向和恒定的相位差 前面指出量子化以后的电磁场 振幅与相位不能同时确定 前面仅讨论振幅的量子化 现在讨论电磁场相位的量子化 引入光子相位算符和相位算符的本征态 在经典电磁场理论中 通常将复振幅写成实振幅与相位因子的乘积 相似的也可以将算符写成振幅与相位算符的乘积 因此 1964年Susskind Glogowev定义相位算符为 2011 3 19 13 14 第一节电磁场的量子化 其中为相位算符 上两式两边相乘得当 1时 得到 将相位算符作用于光子数态有同理 2011 3 19 14 15 第一节电磁场的量子化 得到其它矩阵元为0 这与算符的矩阵元相似 算符不是Hermite算符 不对应可观测量 可以定义以下Hermite算符下面计算它们与光子数算符的对易关系 2011 3 19 15 16 第一节电磁场的量子化 相似对易子这表明和是不能同时确定的 下面给出它们的测不准关系 利用量子力学中测不准关系的一般表示式 物理量F G的均方差根的乘积令 得表明光子数和光场相位是不能同时精确测定的 这是量子化电磁场与经典电磁场的根本区别 2011 3 19 16 17 第一节电磁场的量子化 下面给出相位算符的本征态 取由于是正交归一化的 也是正交归一化的 2011 3 19 17 18 第一节电磁场的量子化 表明不是的严格本征态 后面多了三项 当光子数趋于无限大时 后面三项趋于0 近似有同理当s 有 即在s 的量子理论的经典极限下 是和共同本征态 这时 具有相位角的含意 5 光子数态和相位态的性质上面引入光子数态和相位态 现在讨论这两个态的性质 为简单仅考虑单模场 光子数态 为光子数完全确定 光子数的测不准量为0 即 n 0 在光子数态相位算符的平均值 2011 3 19 18 19 第一节电磁场的量子化 同理相应平方平均值对于经典分布表明相位角在0 2 之间均匀分布 即光子数完全确定的态 相位完全不确定 反过来可以看到 相位完全确定的态 其光子数完全不确定 2011 3 19 19 20 第一节电磁场的量子化 则n的均分差根均分差根为无限大 表明光子数完全不确定 以上讨论表明 量子化电磁场的光子数和相位不能同时确定 2011 3 19 20 21 第二节 相干态 电磁场的相干性质 相干态在量子光学中是一个很重要的概念 其重要性一方面相干态是实际存在的物理态 一般激光器产生激光就处在相干态 这光场有许多优良的特性 另一方面它在电磁场的量子理论和经典理论之间起桥梁作用 相干态称为准经典态 如果将密度算符用相干态展开会引入准概率分布函数 它可以将量子光学中算符方程变成准概率分布函数的微分方程 将大大简化量子光学的计算 本节将先定义相干态 讨论它的性质 然后研究电磁场的相干性质 1 相干态这里采用Glauber1963年引入相干态的方法 即要求在相干态上量子力学平均能量等于经典能量 考虑单模场 相干态 经典坐标和动量 利用电磁场的谐振子模型 单模场能量 22 第二节 相干态 电磁场的相干性质 引入在量子力学中对于相干态 要使经典能量等于量子力学平均能量 则要求 A 即在相干态上产生与湮灭算符平均值之积等于两算符积的平均值 Glauber称满足条件 A 的态为相干态 不难看出只要满足以下条件 B A 式就成立 因此可以定义相干态是湮灭算符的本征态 23 第二节 相干态 电磁场的相干性质 相干态可以包括不确定光子数 因此它可以用粒子数态作展开 B 式两边点乘 可得即则 C 利用态矢量内积 24 第二节 相干态 电磁场的相干性质 因此 相干态用光子数态展开式为利用算符Glauber公式 D 称平移算符 因此相干态是平移的真空态 平移算符是Hermite算符有以下性质 25 第二节 相干态 电磁场的相干性质 2 相干态的性质利用相干态的定义式可以给出相干态的一些性质 1 平均光子数 2 光子数的均方差 3 相干态中光子数分布为泊松分布 26 第二节 相干态 电磁场的相干性质 4 相干态是测不准量的最小的量子态可以证明坐标与动量的不确定量取最小值由在相干态上q和p的方差则 27 第二节 相干态 电磁场的相干性质 同理得到若取则分别成相干态的正交相振幅的余弦分量和正弦分量 28 第二节 相干态 电磁场的相干性质 5 相干态的自由演化取设初始态为 有表明相干态自由演化仍为相干态 29 第二节 相干态 电磁场的相干性质 6 相干态的超完备性与非正交性可以证明相干态满足以下关系 7 相干态具有最佳相干性对于相干态 它的各级归一化相关函数 相干度 关于相关函数 correlationfunction 意义 下段介绍 30 第二节 相干态 电磁场的相干性质 3 场的相关函数为了更清楚地研究电磁场的相干性质 必须引入相关函数的概念 在时空点x r t 处场的一阶相关函数定义为其中为密度算符 对于经典相干实验 如yuang氏双缝干涉实验 振幅相干 利用一阶相关函数就够了 为了进一步研究强度相干 如HBT实验 必须引入二阶相关函数 电磁场的n阶相关函数定义 31 第二节 相干态 电磁场的相干性质 下面介绍相关函数的性质 一个线性算符有以下不等式这来自的非负性 如取 有一般取有相关函数有非负性 相关函数还有以下性质 即两时空点自相关函数的乘积大于两时空点互相关函数的平方 32 第二节 相干态 电磁场的相干性质 经典光学干涉实验相应于一阶相关函数的测量 如考虑杨氏干涉实验 在光屏上t时r处场是两孔r1和r2处来的光的叠加 分别对应的时间为t s1 c 和t s2 c 因是球面波有若 则有 F 33 第二节 相干态 电磁场的相干性质 在屏上观测到的光强度正比于将 F 式代入上式 将放入归一化因子中 有上式右边前两项是两孔独立存在时 在r处的光强度 第三项为两孔相干项 互相关函数为复数 取光的强度 34 第二节 相干态 电磁场的相干性质 干涉条纹出现来自右边第三项cos的振荡 引入归一化相关函数 称相干度 完全相干条件干涉条纹可见度 35 第二节 相干态 电磁场的相干性质 两光强度相等 干涉条纹最大可见度对应 这时辐射场称为一阶相干场 对于光子数态 密度算符 则 光子数态是一阶相干场 一阶相干实验显示不出经典与量子相干理论的区别 杨氏干涉实验用经典电磁波理论和物质波理论解释结果一样 因为这种干涉属于单光子干涉 对单光子干涉用量子力学的概率波计算结果和电磁波计数结果一样 36 第二节 相干态 电磁场的相干性质 4 光子相关测量长期以来 传统光学研究的干涉现象是光的一阶相干性 1956年HanburyBrown和Twiss进行了第一个强度相干实验 实验原理图如图3所示 光源S发出的光通过半透半反的分束器M后分两束 分别由计数器图3D1和D2测量 分别对应不同时空信号 两探测器输出光电信号送到一个符合计数器进行相关测量 其中一路经过 时间延迟 这测量是两个不同时空点光强的关联 而不是简单光振幅关联 在相关器上测量的物理量是 37 第二节 相干态 电磁场的相干性质 是D1 D2测的瞬时光强 是在响应时间T内它们的平均值 相关器显示是D1 D2两处光强涨落的关联 它涉及是二阶相关函数 引入二阶相干度如果一个场 为二阶相干场 下面给出几种场的二阶相关函数 38 第二节 相干态 电磁场的相干性质 对单模场且 0 1 光子数态 有确定的光子数 39 第二节 相干态 电磁场的相干性质 2 相干态 光子数分布为泊松分布 相干态为二阶相干场 3 热场 混沌态 表明在热场强度涨落很大 有很高的概率同时测到两光子 称为光的聚束效应 这是经典光场 的场具有反聚束效应 它是一种量子效应 这效应在1976年首先由Kimble等如在原子共振荧光现象中观测到 40 第三节电磁场的表示 描述电磁场的密度算符可以用数态和相干态展开 由展开方式不同而引入几种不同的表示 P表示 Q表示 Wigner表示和复P表示 1 光子数态展开光子数态形成一个完备正交函数系 密度算符可以用数态展开 展开系数为复数 在不考虑相位有关问题时 可以简化只考虑对角元素为表示在模中有n个光子的概率 对于相干态 41 第三节电磁场的表示 对于热场对黑体辐射场平均光子数为Planck分布2 P表示相干态是非正交的和超完备的 但相干态形成一个态的全集 密度矩阵可以用它展开 展开方式不同得到不同表示 取P 为P表示 它具有概率分布含意 42 第三节电磁场的表示 几个场的P表示相干场热场相干场与热场混合时 43 第三节电磁场的表示 3 Q表示定义密度算符Q表示为密度算符 在相干态中对角矩阵元因密度算符为正算符 对角矩阵元为非负函数 Q是非负的 它有一个上限相干态的Q表示 由则 44 第三节电磁场的表示 数态Q表示Q函数是P函数的Gauss卷积4 Wigner表示取 Wigner函数与密度算符的关系为 45 第三节电磁场的表示 Wigner函数满足相干态的Wigner表示为它是Gauss型的 其中对于数态Wigner表示为其中 Ln x 是Laguerre多项式 从式中看出 n为奇数时W为负 n为偶数时W为正 46 第三节电磁场的表示 5 复P表示 将 用非对角相干态投影算符作展开 有P 称复P表示 从 归一化条件给出 1 相干态复P表示 2 数态的复P表示 47 第四节 量子噪声 在通信系统中 噪声的大小决定了设备的灵敏度 也决定了中继距离的长度 在电磁波的低频区与高频区的噪声之间存在根本区别 在无线电频率主要是热噪声 它来源分子原子的热运动 在红外谱以上的高频区 30 m 量子噪声起主要作用 来自器件的量子效应 1 热噪声当系统处在热平衡时 在量子态找到辐射模 的概率 由Boson分布给出该模的平均能量 48 第四节 量子噪声 式中第一项为热辐射的平均能量 第二项是真空零点能 相应两项能量与频率关系 如图所示 从图中看出当频率低于时热能大于零点能 表示热噪声大于量子噪声 当频率大于 量子噪声大于热噪声 下面讨论热辐射场的热噪声 考虑一个长为L的归一化的立方体 行波辐射模所带的热功率是平均能量 L可由该纵模所占有的频宽 来表示 由此得到热功率 49 第四节 量子噪声 在低频极限下 忽略零点功率 热功率为上式为一个纵模热噪声功率 在 频率内 在d 立体角内纵模数 考虑边长L的立方体有在立体角d 内传播通过单位面积纵模数为考虑光的两个偏振方向 通过单位面积在d 内辐射热噪声功率为这是热辐射的Planck公式 50 第四节 量子噪声 2 量子噪声量子噪声起源于光场的量子特性 量子噪声极限受到Heisenberg测不准关系的支配 是无法完全消除的 考虑一单模场 电场强度算符为其中是电场两个正交相振幅算符 它与算符的关系为在光相干性质测量中 常利用零差探测器来测量 这时人们只测量正交相振幅的一个分量 如 若信号