高三数学第一轮复习 轨迹方程的常用求法素材.doc

年 级高三学 科数学版 本通用版内容标题高三第一轮复习：轨迹方程的常用求法编稿老师【本讲主要内容】轨迹方程求轨迹方程的基本方法【知识掌握】【知识点精析】1. 求曲线轨迹方程的基本步骤：建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为；寻找动点与已知点满足的关系式；将动点与已知点坐标代入；化简整理方程；证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。通常求轨迹方程时，可以将步骤和省略。2. 几种常用的求轨迹的方法：直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将表示为的式子，再代入的轨迹方程，然后整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法。参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。说明：利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：参数的选择要合理，应与动点坐标有直接关系，且易以参数表达。可供选择作参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。消参数的方法有讲究，基本方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对的取值范围的制约。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。说明：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹时的作用，只要动点满足已知曲线定义时，就可直接得出方程。另外，要注意一些轨迹问题，都包含一定的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围。由曲线和方程概念可知，在求曲线方程时一定要注意，它的完备性和纯粹性，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”。一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型。【解题方法指导】例1. 设直线与双曲线交于，以为直径的圆过原点，求点的轨迹方程。解析：。设，则有，依题有，即又，有，化简得，故点的轨迹方程为评述：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可利用平面几何知识推出等量关系，求方程可以用直接法，如本题中，推出，从而利用根与系数的关系建立方程。例2. 如图所示，平面的两个顶点分别为椭圆的焦点，且三内角满足，试求顶点的轨迹方程。解析：在中， 又由正弦定理，得，故点的轨迹是以为焦点。长轴长为的双曲线的右支，其方程为。评述：当题设条件符合椭圆、双曲线、抛物线的定义时，可直接写出方程。例3. 如图，已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程。解析：设的中点为，则中，又，有，即。因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动。设，由为中点，所以有，代入方程，得，整理，得，即点的轨迹方程为评述：在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。【考点突破】【考点指要】轨迹问题是高考考查的重点，“求轨迹方程，并说明是什么曲线”是近几年高考的热点，它常常与最值及分类讨论思想结合在一起。多出现在解答题中，选择题和填空题也有出现。考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理诸方面的能力，对思维能力，思维方法的要求较高，分值大约是514分。考查通常分为三个层次：层次一：考查曲线轨迹方程的求法；层次二：考查判断曲线轨迹方程所表示的曲线类型；层次三：考查所求曲线轨迹方程的完备性和纯粹性。解决问题的基本方法和途径：直接法、定义法、代入法、参数法、几何法、交轨法、待定系数法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】例4. (2006陕西)如图，三定点；三动点满足求动直线斜率的变化范围；求动点的轨迹方程。解析：解法一：设。由，知，同理，即，即所求轨迹方程为，解法二：同上。如图， 设点坐标为，由，得，消去得，故所求轨迹方程为，评述：本题考查了利用参数法求动点轨迹方程，对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对的取值范围的制约。例5. （2006山东）双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线。求双曲线的方程；过点的直线，交双曲线于两点，交轴于点（点与的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。解析：设双曲线的方程为 由椭圆，求得两焦点为，对于双曲线 又为的一条渐近线，解得，双曲线的方程为解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程为，则， 在双曲线上， 同理有若，则直线过顶点，不合题意，是二次方程的两根，此时0，所求点的坐标为解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程为，则。，分的比为。由定比分点坐标公式得，下同解法一。解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程为，则。，。又，即将代入，得，否则与渐近线平行，解法四：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程为，则。，同理即（）又，消去，得 当时，则直线与双曲线的渐近线平行，不合题意，由韦达定理有，代入（）式得，所求点的坐标为评述：本题考查直接法求轨迹方程，并利用所求得的轨迹方程解决其它综合问题。当研究直线与圆锥曲线的位置关系时，将直线方程代入圆锥曲线方程化为二次方程，讨论二次项系数是否为零，并利用韦达定理得到关系式。【达标测试】一、选择题：1. 设动点是抛物线上任意一点，定点，点分所成的比为，则点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 2. 已知椭圆的焦点是，是椭圆的一个动点，如果是线段的中点，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C，双曲线的一支D. 抛物线3. 已知圆的方程为，若抛物线过点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是（）A. B. C. D. 4. 已知是不在同一直线上的三个点，是平面内的一定点，是平面内一动点，若 ，则点的轨迹一定过三角形的（）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心5. 设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边、点为直角顶点作等腰，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 两条平行线C. 抛物线D. 双曲线6. 已知点，动点满足，则点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线7. 如图，已知圆的方程为，点的坐标为，为圆上的任意一点，的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D. 8. 与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是（）A. B. 和C. D. 和y0（x0）二、填空题：9. 已知点，为圆上任意一点，则线段的中点的轨迹方程为。10. 是椭圆上的任意一点，是它的两个焦点，为坐标原点，则动点的轨迹方程是。11. 的顶点，若，则顶点的轨迹方程为。12. 在平面内：到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线；到定直线和定点的距离之比为的点的轨迹是双曲线；到定点和定直线的距离之比为的点的轨迹是椭圆。其中正确命题的序号是。三、解答题：13. 已知，动点满足求动点的轨迹方程；是否存在点，使得成为的平分线？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由。14. 已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，满足当点在轴上移动时，求动点的轨迹的方程；设轨迹的准线为，焦点为，过作直线交轨迹于两点，过点作平行于轨迹的对称轴的直线，且，试问点（为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由。15. 如图，已知A（3p，0）（p0），两点分别在轴和轴上运动，并且。求动点的轨迹方程；设过点的直线与的轨迹交于两点，求直线的斜率之和。【综合测试】一、选择题：1. （2004辽宁）已知点，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（ ）A. B. C. D. 2. 已知椭圆的焦点是，是椭圆的一个动点，如果是线段的中点，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线3. (2006河南)复数,为虚数单位，且。在复平面上，复数对应的点的坐标满足，则点的轨迹所确定的图形的面积为（）A. B. C. D. 4. （2005北京）如图，正方体中，点在侧面的边界上运动，并且总保持，则动点的轨迹是（ ）A. 线段B. 线段C. 中点与中点连成的线段D. 中点与中点连成的线段5. (2005北京)方程所表示的曲线是( )A. 双曲线和一个圆B. 双曲线和两条相交直线C. 两条相交直线和一个圆D. 两条平行直线和一个圆6. (2005北京)若为两个定点且,动点满足,则点的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线7. 平面直角坐标系中，为坐标原点。已知，若满足：，其中且，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D. 8. (2005湖北)已知两个定点A（a，0）、B（a，0）（a0）,动直线分别绕点、点转动，并保持到的角为45，则与的交点的轨迹是（）A. 一条直线B. 两条相交直线C. 两条平行直线D. 一个圆二、填空题：9. 过椭圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程是。10. (2005重庆)已知，是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为。11. (2005上海)平面直角坐标系中,若定点与动点满足,则点的轨迹方程为。12. (2005江西)以下四个关于圆锥曲线的命题中设为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线与椭圆有相同的焦点；其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）。三、解答题：13. (2005江西)设抛物线的焦点为,动点在直线上运动,过作抛物线的两条切线,且与抛物线分别相切于两点。求的重心的轨迹方程；证明。14. 已知椭圆的左、右焦点分别是,是椭圆外的动点，满足，点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足。设为点的横坐标，证明；求点的轨迹的方程；试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的面积若存在，求的正切值；若不存在，请说明理由。15. （2005北京）已知直线与曲线交于两点。设，当时，求点的轨迹方程；是否存在常数，对任意，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由；是否存在常数，对任意，都有为常数？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。【达标测试答案】一、选择题 1. 答案：A解析：设，又在已知抛物线上，即 2. 答案：B解析：连结，则。，点的轨迹是以、为焦点的椭圆。3. 答案：D解析：如图所示，设焦点坐标为，分别为到圆的切线的距离。抛物线过点，（为到的距离），即到、的距离之和为，的方程为4. 答案：C解析：由得设中点为，则有，因此点在直线上移动，故经过的重心。 5. 答案：B解析：设点、的坐标分别为，由，得，即又由，得，即由、消去，得点的轨迹方程为与 6. 答案：D解析：，则，化简得，轨迹为抛物线。 7. 答案：C解析：因为点在线段的垂直平分线上，所以，故，即点到定点和的距离之和为定长10，所以动点轨迹是以为焦点的椭圆，中心为，长轴长为10，故点的方程为8. 答案：D解析：设动圆圆心为，动圆半径为，定圆圆心为，半径r12，由题设得，又，故，化简得，当x0时，；当x0时，所求轨迹方程为和y0（x0）二、填空题： 9. 答案：解析：设，则，将代入得10. 答案：解析：由，又，设，则，即点坐标为，又在椭圆上，则有，即的轨迹方程是11. 答案：解析：设，则，又，即，整理得。12. 答案：解析：根据椭圆及双曲线的第一、第二定义，结合条件及可能出现的变化情况即得。三、解答题： 13. 解析：设，由，化简得即为点的轨迹方程。假设存在，则。，将条件代入上式，显然不可能，这样的点不存在。 14. 解析：设点的坐标为，则由，得，由，得，故所求动点的轨迹的方程为。轨迹的焦点为，准线为，对称轴为轴。当直线的倾斜角为90时，直线的方程为，代入，得，显然三点共线。当直线的倾斜角不为90时，直线的方程为，代入，得。设的坐标分别为，则，三点共线。 15. 解析：设，因为，所以 又，所以 由已知，则，即动点的轨迹方程为设过点的直线为，联立方程组，消去得，又，由，得【综合测试答案】一、选择题：1. 答案：A解析：由已知，的轨迹为双曲线，将代入得，则 2. 答案：B解析：如图所示，由题知，（设椭圆方程为，其中ab0）。连，由三角形的中位线可得：，则的轨迹是以、为焦点的椭圆。 3. 答案：D 4. 答案：A解析：设为的轨迹上的两点，则，因不共线，确定一个平面，与面交于直线，且知，又在面平行且只有与点确定的平面与垂直，点的轨迹为。 5. 答案：C解析：原方程化为，则或，即或，方程表示两相交直线和一个圆。 6. 答案：A解析：以的中点为原点建立平面直角坐标系，并设，则，即7. 答案：D解析：由，设点坐标为，则 8. 答案：D解析：设交点坐标为，则，而到的角为45，即是一个圆。二、填空题： 9. 答案：解析：设的中点为，则点在椭圆上，由此得点的轨迹方程为 10. 答案：解析：由图知，结合椭圆定义，知点的轨迹为椭圆，其中，从而求得方程为 11. 答案：12. 答案：解析：当为负值时，动点轨迹不为双曲线；当时，点不在椭圆上；正确，则真命题为、。三、解答题： 13. 解析：设切点坐标分别为，切线的方程为；切线的方程为，解得点的坐标为，的重心的坐标为，由点在直线上