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8角动量算符和角动量表象 8 1几种角动量算符 8 2轨道角动量和方向算符 自学 8 3量子数l的升降算符 自学 8 4球谐函数 自学 8 6自旋和自旋表象 轨道角动量 8 1几种角动量算符 对易关系 自旋角动量 8 1 这是一个新的基本假设 是从前面的五条基本原理推不出来的 现在我们把自旋的存在和它的对易关系补充到原理3中去 这样 就产生了粒子的总角动量的概念 粒子的总角动量 一个两粒子系统中的二轨道角动量之和或二自旋角动量之和甚至全部四个角动量之和 都是总角动量 前者称为总轨道角动量或总自旋角动量 而后者就称为系统的总角动量 对易关系 任意多个角动量算符之和 其分量都服从角动量的对易关系 8 6 这两个算符不是厄米算符 因而它们不是物理量 但它们有很重要的作用 满足 8 9 即 8 10 否则将与 8 10 式矛盾 8 11 8 12 结合上两式 解得 8 13 8 14 即 同理 8 15 8 16 此式对轨道角动量 自旋角动量或其它角动量的本征矢量均成立 8 2轨道角动量和方向算符 自学 8 3量子数l的升降算符 自学 8 4球谐函数 自学 8 4球谐函数 它所满足的方程为 8 63 8 64 全部球谐函数构成完全函数组 8 67 它们的正交归一化关系是 8 68 这后一组基矢的完全性关系可以写成 7 59 7 62 正是这两种表象之间的变换矩阵 它是一个行和列双方一方连续一方离散的幺正矩阵 球谐函数 此式即是球谐函数的正交归一化关系 又是表象变换矩阵的幺正性关系 这也是函数形式的球谐函数的完全性关系 8 69 8 70 另一幺正性关系是 式中 8 71 球谐函数的加法定理是 8 72 8 73 另一个有用公式为 8 74 8 6自旋和自旋表象 根据前面角动量的普遍讨论 量子数s和m的可能取值如下 8 75 8 76 证明 从对易关系有 8 77 8 78 8 79 泡利矩阵 8 81 8 82 8 83 8 84 8
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