清华大学大一线性代数总复习.pdfVIP

1 1 线性代数1 杨晶杨晶 2011年年 12月月28日日 第二十九讲第二十九讲 总复习总复习 2 线性代数的核心线性代数的核心 空间与变换空间与变换 对空间的认识分局部和整体对空间的认识分局部和整体 局部局部 向量的线性关系向量的线性关系 整体整体 基基 维数维数 内积内积 对空间的研究方法对空间的研究方法 直接直接 研究抽象的向量研究抽象的向量 间接间接 化为坐标来研究化为坐标来研究 一 研究对象一 研究对象 3 线性代数中变换分两类线性代数中变换分两类 空间结构类与空间变换类空间结构类与空间变换类 空间结构类空间结构类 基变换引起坐标变换 基变换引起度量阵改变 基变换引起坐标变换 基变换引起度量阵改变 空间变换类空间变换类 线性变换 正交变换 线性变换 正交变换 4 结构化结构化 向量组的极大无关组 解空间基础解系 空间的基 向量组的极大无关组 解空间基础解系 空间的基 标准型标准型 矩阵相抵矩阵相抵 相似相似 合同标准形 二次型的标准形与规范形 合同标准形 二次型的标准形与规范形 二 思想方法二 思想方法 5 行列式行列式 线性方程组线性方程组 矩阵矩阵 三 研究工具三 研究工具 四 具体手段四 具体手段 抽象转化为具体抽象转化为具体 一般转化为特殊一般转化为特殊 6 1 会计算行列式会计算行列式 尤其是含参数的行列式尤其是含参数的行列式 2 熟悉那些可化为行列式来处理的问题熟悉那些可化为行列式来处理的问题 2 1 齐次线性方程组有非零解的问题 齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组有非零解的问题 齐次线性方程组有非零解 系数行列式系数行列式 D 0 2 2 求矩阵的特征值求矩阵的特征值 2 3 矩阵特征值与行列式值的关系矩阵特征值与行列式值的关系 12 An fIA A 1 2 n 2 4 判定向量组的线性相关性判定向量组的线性相关性 2 5 实二次型正定性的判定实二次型正定性的判定 2 6 求向量积求向量积 混合积混合积 平行六面体体积和判断三向量共面平行六面体体积和判断三向量共面 一 行列式一 行列式 7 1 基本运算及其性质基本运算及其性质 2 求逆 求秩求逆 求秩 2 1 可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形来求矩阵的秩可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形来求矩阵的秩 2 2 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数 2 3 若若 A 是一个是一个 n 阶方阵阶方阵 则则 r A n A 可逆 可逆 A 0 A 的的 n 个列个列 行行 向量线性无关 向量线性无关 Fn 中任意一个向量可由中任意一个向量可由 A 的列向量线性表出 齐次线性方程组 的列向量线性表出 齐次线性方程组 AX 0 只有零解 对任意 只有零解 对任意 b Fn 线性方程组线性方程组 AX b 有唯一解有唯一解 X A 1b A 没有零特征值 没有零特征值 A 可通过一系列初等变换化为单位阵 可通过一系列初等变换化为单位阵 A 可分解为一系列初等矩阵的乘积可分解为一系列初等矩阵的乘积 二 矩阵二 矩阵 8 例例1 设设 A aij 是是3阶实非零矩阵阶实非零矩阵 已知已知 aij Aij 求求 A 及 其 及 其 A 1 解解 根据已知根据已知 A aij 假定假定 A 的第一行有非零元素的第一行有非零元素 把把 A 分别按照第一行展开分别按照第一行展开 可以得到可以得到 222 111112121313111213 0Aa Aa Aa Aaaa 由已知由已知 A AT 故故 AAT A I 容易由此得到容易由此得到 A 2 A 3 所以 所以 A 1 A 1 A AT 例例2 证明矩阵的非零子式所在的行向量组和列向量组均线 性无关 证明矩阵的非零子式所在的行向量组和列向量组均线 性无关 缩水原则 水货判别 缩水原则 水货判别 思考 思考 例例2的逆命题是否成立 的逆命题是否成立 提示提示 分情况讨论 所讨论行 分情况讨论 所讨论行 列向量组的秩列向量组的秩 原矩阵的秩 所讨论行 原矩阵的秩 所讨论行 列向量组的秩列向量组的秩 原矩阵的秩时 成立原矩阵的秩时 成立 3 1 2 2 3 I 如 00 10 9 例例3 1 若若 AB O 且且 A B I 则则 r A r B 2 若若A2 I 则 则r A I r A I 3 若若A2 A 幂等阵幂等阵 则 则r A r I A 4 若若A2 4A 3I 0 且且A I 3I 则则A在相似意义下是否可对角化 在相似意义下是否可对角化 证明证明 A 3I A I 0 A I 3I 1 3是是A的两个特征值 另一方面 的两个特征值 另一方面 A 3I I A 2I r 3I A r I A n dimV 1 dimV 2 n A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 A可对角化可对角化 提示 提示 2 不妨设不妨设 r A r 且且A 的前的前 r 行和前行和前 r 列均线性无 关 列均线性无 关 记记 12 34 AA A AA 这里这里 A1为为 r 阶方阵阶方阵 则则2 4 A A 的列均 可由 的列均 可由 1 3 A A 的列向量线性表出的列向量线性表出 故故A2的列向量均可由的列向量均可由 A1 的列向量线性表出的列向量线性表出 故故 r A1 r A1 A2 r 所以所以 A1 r 10 3 矩阵的三大关系及相关问题矩阵的三大关系及相关问题 4 矩阵与线性映射 对称阵与二次型的一一对应矩阵与线性映射 对称阵与二次型的一一对应 5 灵活利用标准形把一般问题化为特殊问题来解决灵活利用标准形把一般问题化为特殊问题来解决 6 特殊矩阵 数量阵 三角阵 对角阵 正交阵 对称阵 反对称阵 幂等阵 幂零阵 特殊矩阵 数量阵 三角阵 对角阵 正交阵 对称阵 反对称阵 幂等阵 幂零阵 例例4 证明反对称矩阵的秩均为偶数证明反对称矩阵的秩均为偶数 思路见黑板思路见黑板 证明证明 不妨设不妨设 r A r 且且A 的前的前 r 行线性无关行线性无关 由由 A的反对称性可知的反对称性可知A的前的前r列也线性无关列也线性无关 由例由例2的逆命题 知 的逆命题 知A的左上角的左上角r阶子方阵是可逆的 且仍然是反对称阵阶子方阵是可逆的 且仍然是反对称阵 再由奇数阶反对称矩阵的行列式为再由奇数阶反对称矩阵的行列式为0可知可知 r 必为偶数必为偶数 11 1 会求解齐次 非齐次线性方程组的基础解系 通解会求解齐次 非齐次线性方程组的基础解系 通解 2 含参数方程组的讨论含参数方程组的讨论 何时有非零解 唯一解 无穷解 等等 何时有非零解 唯一解 无穷解 等等 3 会灵活利用解的结构性质 几个特殊参数会灵活利用解的结构性质 几个特殊参数 未知量个数 秩 未知量个数 秩 求通解求通解 4 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解集合的极大 无关组 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解集合的极大 无关组 5 熟悉那些可化为方程组来解决的问题熟悉那些可化为方程组来解决的问题 三 方程组三 方程组 12 例例5 线性方程组线性方程组 123 123 123 21 24 xxx xxx axbxcxd 有两个解有两个解 求这个线性方程组的一般解求这个线性方程组的一般解 解解 这个线性方程组有两个解这个线性方程组有两个解 解不唯一解不唯一 所以其系数矩阵所以其系数矩阵 A 的秩小于的秩小于3 又由于又由于 A 有一个二阶子式有一个二阶子式 11 0 2 12 r A 又因为这个线性方程组有解又因为这个线性方程组有解 其增 广矩阵 其增 广矩阵 A b 的秩亦为的秩亦为2 用初等行变换化增广矩阵为有 两行非零的既约阶梯形矩阵 用初等行变换化增广矩阵为有 两行非零的既约阶梯形矩阵 11211121 12140333 02abcdbacada 13 10121012 01110111 0020000cabdab 由于由于n r 3 2 1 所以有一个自由未知量所以有一个自由未知量 x3 导出组的基 础解系也由一个解向量组成 导出组的基 础解系也由一个解向量组成 可解出为可解出为 1 1 1 T 这个阶梯形矩阵对应的线性方程组为这个阶梯形矩阵对应的线性方程组为 13 23 2 1 xx xx 取取x3 0 求出一个特解为求出一个特解为X1 2 1 0 T 方程组的通解是方程组的通解是 1 XXk 其中其中 k是任意常数是任意常数 14 1 会求向量组的极大无关组和秩会求向量组的极大无关组和秩 向量组极大无关组和秩的求法 向量组极大无关组和秩的求法 1 将列向量组将列向量组 1 2 s 排成矩阵排成矩阵 A 1 2 s 2 用初等行变换化用初等行变换化 A 为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵 U 3 U 的列向量组的极大无关组所对应的的列向量组的极大无关组所对应的 A 的列向量是原 向量组的极大无关组 的列向量是原 向量组的极大无关组 4 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 U 的列向量组的极大无关组就是的列向量组的极大无关组就是 U 中每个 非零行第一个非零元所在的列向量所组成的向量组 中每个 非零行第一个非零元所在的列向量所组成的向量组 2 注意下列特殊向量的关系 注意下列特殊向量的关系 正交向量组线性无关正交向量组线性无关 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交 四 向量及其关系四 向量及其关系 15 1 了解了解n 维线性空间 子空间 基 维数 坐标等概念 维线性空间 子空间 基 维数 坐标等概念 2 掌握基变换和坐标变换的公式 会求过渡矩阵 掌握基变换和坐标变换的公式 会求过渡矩阵 3 了解线性了解线性 映射映射 变换的概念 了解像空间与核空间的数量关 系 掌握线性变换的矩阵表示 变换的概念 了解像空间与核空间的数量关 系 掌握线性变换的矩阵表示 4 了解内积 欧氏空间的概念 了解内积 欧氏空间的概念 5 掌握掌握Schmidt 正交化方法 正交化方法 6 了解线性映射在不同基下的矩阵表示是相抵的了解线性映射在不同基下的矩阵表示是相抵的 五 线性空间与线性五 线性空间与线性 映射映射 变换变换 16 1 灵活求特征值和特征向量 例如 灵活求特征值和特征向量 例如 2A 3I 0 3 2为为A 特征值特征值 又例如若又例如若 A 0 则则 0 为为A 的特征值的特征值 AX 0 的非零解向量 为 的非零解向量 为 A 的属于特征值的属于特征值0的特征向量的特征向量 2 熟悉特征值和特征向量的性质熟悉特征值和特征向量的性质 3 了解矩阵相似的概念及性质 了解矩阵相似的概念及性质 4 了解矩阵可对角化的充要条件 会求其相似对角阵及变换 矩阵 了解矩阵可对角化的充要条件 会求其相似对角阵及变换 矩阵 5 掌握实对称矩阵的性质 会将实对称矩阵化为对角阵 掌握实对称矩阵的性质 会将实对称矩阵化为对角阵 六 特征值与特征向量六 特征值与特征向量 17 例例6 设设A的每行元素之和为定值的每行元素之和为定值t 请给出 请给出A的一个特征 值和特征向量 的一个特征 值和特征向量 解解 设设A aij 则由行和固定有 则由行和固定有 11121 21222 12 n n mmmn aaat aaat aaat 11 11 t At t 因此因此t是是A的一个特征值 的一个特征值 1 1 T是属于是属于t的一个特征向量的一个特征向量 问题问题 若例 若例7中的条件改为 中的条件改为 A的每的每列列元素之和为定值元素之和为定值t 结论将如何 结论将如何 18 例例7 设有设有4阶方阵阶方阵 A 满足条件满足条件 3I A 0 AAT 2I A 0 求求 A 的一个特征值的一个特征值 解解 由由 3I A 3I A 0 知道知道 3 是是A 的一个特征值的一个特征值 由条件由条件 AAT 2I 以及以及 A 0 A 的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式 Pi 0 i 1 2 n A CTC C 可逆可逆 A的所有主子式的所有主子式 0 4 其他有定实二次型和有定实对称阵其他有定实二次型和有定实对称阵 实二次型实二次型 Q XTAX 半正定半正定 A 的特征值均的特征值均 0 A CTC A的所有主子式的所有主子式 0 七 二次型与空间七 二次型与空间 R3 几何几何 23 例例10 设设 A B 是实对称矩阵是实对称矩阵 且且AB BA 证明存在正交矩 阵 证明存在正交矩 阵 Q 使得使得 Q 1AQ 和和 Q 1BQ 同时为对角矩阵同时为对角矩阵 证明证明 由为实对称阵由为实对称阵 存在正交矩阵存在正交矩阵 P 使得使得PTAP 为对角阵为对角阵 1 2 1 2 s n n sn I I I ij ij 其中其中 由书上第由书上第76页页Ex2 10 PTBP 为准对角阵为准对角阵 1 2 s A A A 其中其中 Ai是是ni阶实对称方阵阶实对称方阵 24 对每个子方阵 存在正交矩阵对每个子方阵 存在正交矩阵 Qi 使得使得 QiTAiQi为对角阵 于是 为对角阵 于是 1 2 s Q Q PQ Q 是正交矩阵是正交矩阵 且且 Q 1AQ 和和 Q 1BQ 同时为对角矩阵 同时为对角矩阵 6 几何空间中的问题几何空间中的问题 1 熟悉几何空间中一些基本计算熟悉几何空间中一些基本计算 距离 夹角 正 交性判定 距离 夹角 正 交性判定 2 直线 平面方程与位置相关直线 平面方程与位置相关 3 了解曲面与方程的概念 熟悉二次曲面的标准方程与图 形 以及类型判定 了解曲面与方程的