经济数学典型案例.doc

经济应用典型问题 1按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2%，半年期存款的年利率为4.0%，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？ 解()设货币存一年期，则一年后货币总数为： 两个后货币总数： ()设货币存半年期，则存半年的利率：2.0% 半年后货币总数： 一年后货币总数： 一年半后货币总数： 两年后货币总数： 比较()，()知货币存一年期有较多收益，多0.00333A. 2.某工厂生产某种产品，年产量为x，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系. 解()当时， ()当时， () 当时， 故3.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元. (1)要卖多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）； (2)卖掉100台的话，厂家赢利或亏损了多少？ (3)要获得1250元利润，需要卖多少台？ 解(1)设厂家生产的台数为x，则总成本 总收益，令， 解得： 故要卖150台，厂家才可保本. (2) 故卖掉100台的话，厂家亏损2500元 (3) ，则，解得 故要获得1250元利润，需卖175台. 4.有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择哪一家俱乐部（根据你每月健身次数决定）？ 解设每月健身次数为x， 则第一家每月总费用 第二家每月总费用 令，则300+x=200+2x,解得：x=100 当时，这时选择第二家俱乐部 当时，这时选择第一家俱乐部 当时，这时选择任一家俱乐部 5.设某商品的需求函数与供给函数分别为和. (1)找出均衡价格，并求此时的供给量与需求量； (2)在同一坐标中画出供给与需求曲线； (3)何时供给曲线过P轴，这一点的经济意义是什么？ 解(1)令，则，解得： 故均衡价格为80，此时供给量与需求量为：(2) (3)令，即，故价格时，供给曲线过P轴，这一点的经济意义是当价格低于10时，无人供货. 6.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，请将销售总收益与总销售量的函数关系用数字表达式表出.解Q为销售量，为总收益。由题意知y是x的一次函数，故设 且当时，；当， 故有 故 故租金为x时，饭店房租收入为： 故租金为400元/套时，房租收入最大，为16000元， 当时，此时饭店将空出20套高级客房.（图形略） 7.收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元： (1)将每台的实际售价P表示为订购量x的函数； (2)将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数； (3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解(1)当时， 当时，由题意P是x的一次函数 设，当时，当时， 故，解得：，故 但，故，即 故当时， 当时， 故 (2)()当时，收益，成本 故利润 ()当时，收益，成本 故利润 ()当时，收益，成本 故利润 故利润 (3)当时， 故厂方可获21000元的利润. 8.一种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率的标准贬值，试求此车的价值y（元）与使用时间t（年）的函数关系. 解使用一年的汽车的价值 使用两年的汽车的价值 故使用t年的汽车的价值 9.某大楼有50间办公室出租，若定价每间每月租金120元，则可全部租出，租出的办公室每月需由房主负担维修费10元，若每月租金每提高一个5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系，并确定每间月租金多少时才能获得最大利润？这时利润是多少？ 解设为每间月租金，为闲置办公室的间数，为利润 则 由已知当时，是的一次函数，故设 ，当时，；当 故有 故 ， 则 故 即 故当，即当闲置办公室14间时，可获得最大利润，最大利润为6480元，此时每间月租金为190元 10. 每印一本杂志的成本为1.22元，每售出一本杂志仅能得1.20元的收入，但销售额超过15000本时还能取得超过部分收入的10%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？ 销售量达到多少时才能获利达1000元？ 解()设为销售量，则成本 收益 令，则 解得： 故至少销售18000本杂志才能保本. () 令，则，解得故销售量达到28000时才能获利达1000元. 11.某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解设发行时每份债券的价格定为元，则，(元) 12.一片森林现有木材，若以年增长率1.2%均匀增长，问年后，这片森林有木材多少？解一年后森林木材数：二年后森林木材数： 故年后森林木材数：. 13.国家向某企业投资2万元，这家企业将投资作为抵押品向银贷款，得到相当于抵押品价格80%的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品价格80%的贷款，该企业又将新贷款进行再投资，这样贷款投资再贷款再投资，如此反复扩大再投资，问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？ 解设 则 故其实际效果相当于国家投资10万元所产生的直接效果.14设某商品的总收益关于销售量的函数为求：(1)销售量为时总收入的边际收入； (2)销售量个单位时总收入的边际收入； (3)销售量个单位时总收入对的弹性. 解(1) (2) (3) 15.某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本(单位：元)是日产量(单位：吨)的函数 (1)求当日产量为100吨时的边际成本； (1)求当日产量为100吨时的平均单位成本. 解(1) 16.某商品的价格关于需求量的函数为求： (1)总收益函数、平均收益函数和边际收益函数； (2)当个单位时的总收益、平均收益和边际收益. 解 17.某厂每周生产(单位：百件)产品的总成本(单位：千元)是产量的函数如果每百件产品销售价格为万元，试写出利润函数及边际利润为零时的每周产量. 解 可得 故边际利润为零时的每周产量为14百件. 18.设巧克力糖每周的需求量(单位：公斤)是价格(单位：元)的函数 求当(元)时，巧克力糖的边际需求量，求说明其经济意义. 解 其经济意义为：巧克力糖价格由原10元价再增加1元.每周需求量将减少0.432公斤. 19.证明：若是可导函数，则： (1) (2)当时， (3)若都可导，则 证明 20.设某商品的需求函数为求： (1)需求弹性函数； (2)时的需求弹性，并说明其经济意义. 解(1) (2)说明当时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即时，价格上涨1%，需求减少0.6%. 说明当时，价格与需求变动的幅度相同. 说明当时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即时，价格上涨1%，需求减少1.2%. 21.设某商品的需求函数为其中分别表示需求量和价格，试分别求出需求弹性大于1，等于1的商品价格的取值范围. 解 时 时 可得. 22.某商品需求函数为 (1)求需求弹性函数； (2)求时的需求弹性； (3)在时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几？ 解(1) (2) (3) 故 在时，若价格上涨1%，总收益增加0.67%. 23.设某商品的供给函数，求供给弹性函数及时的供给弹性. 解 时， 24.设某产品的需求函数为收益函数其中为产品价格.为单调减少函数.如果当价格为对应产量为时，边际收益收益对价格的边际收益为，需求对价格的弹性为，求与. 解 又故 由可得 25.某企业生产一种商品，年需求量是价格的线性函数其中试求： (1)需求弹性； (2)需求弹性等于1时的价格. 解(1) (2)时 可得26.设某产品的成本函数和收入函数分别为,其中表示产品的产量，求： (1)边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数； (2)已生产并销售25个单位产品，第26个单位产品会有多少利润？ 解(1) (2) 27.某商品的需求量为价格的函数求：(1)当时的边际需求，并说明其经济意义； (2)当时的需求弹性，并说明其经济意义； (3)当时，若价格下降2%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？ 解(1) 说明当价格为6时，再提高(下降)一个单位价格，需求将减少(增加)24个单位商品量. (2) 说明价格上升(下降)1%，则需求减少(增加)1.85%. (3)若价格下降2%，总收益增加，即1.692%.28.求下列经济应用问题中的最大值或最小值： (1) 假设某种商品的需求量是单价的函数，商品的总成本是需求量的函数，每单位商品需纳税2.试求使销售利润最大的商品价格和最大利润； (2) 设价格函数(为产量)求最大收益时的产量、价格和收益； (3) 某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半).问为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？ (4) 设某企业在生产一种商品件时的总收益为，总成本函数为，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的情况下，总税额最大？ (5) 设生产某商品的总成本为(为产量)，问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？ 解(1) 得 ，为极小值点. 依题意，最值一定存在，所以为使销售利润最大的商品价格，此时最大利润为 (2) 得 时 时 为极大值点 依题意，此唯一的极大值点即为最大值点，即时有最大收益 此时 最大收益为 (3) 设每年的生产准备费与库存费之和为，批量为则 由得驻点 由，知驻点为最小值点， 因此，万件时，最小，此时. (4) 设每件商品征收的货物税为， 令得.此时取最大值. 税收为 时取最大值. 故征收货物税应为25. (5) 令得(舍去) 时取得最小值，即产量为100时，平均成本最低. 29.求下列经济应用问题的最大、最小值： (1) 某商场一年内要分批购进某商品2400件，每件商品批发价为6元(购进)，每件商品每年占用银行资金为10%利率，每批商品的采购费用为160元，问分几批购进时，才能使上述两项开支之和最少(不包括商品批发价)？ (2) 某企业生产产品件时，总成本函数为，总收益函数为 ，当企业按最大利润投产时，对每件产品征收税额为多少才能使总税额最大？ 解(1) 设分批购进，两项开支之和为 令得 在取得极小值，由于驻点唯一，所以在也取最小值.故分三批购进，两项开支之和最少. (2) 设每件产品税额为，那么利润为 ， ， 令，得驻点，又 所以此时取得最大利润， 总税额为 即 此时总税额最大.征收税额应为.30.已知某产品产量的变化率是时间的函数该此产品的产量为 解依题意得 31.设某商品的需求量是价格的函数，该商品的最大需求量为1000（即时），已知需求量的变化率（也除需求）为求需求量关于价格的弹性. 解 32.已知边际成本为，固定成本为1000，求总成本函数. 解， 又，2.已知边际收益，求收益函数. 解，又， 32汽船所耗燃料与其行进的速度的立方成正比，已知汽船行进中，当速度是10哩/小时时，燃料耗费是元，其他耗费是元(人力、保险、以及各种耗费)问汽船的经济速度是多少？ 解 设汽船的速度是哩/小时，每小时运行汽船的费用是元/小时则，设汽船行进了哩，则总费用是，则 上式两端对求导，则得，由此求出驻点，且当时，当时，即在达到极小值又由题设条件有，从而求得，最后得到 33.已知边际成本，求当产量由增加到时，应追加的成本数. 解应追加的成本数为： 34.已知边际成本，边际收益为，求最大利润(设固定成本为0). 解(固定成本为0) ， 当时有最大利润，最大利润为 35.某地区居民购买冰箱的消费支出的变化率是居民总收入的函数，当居民收入由4亿元增加至9亿元时，购买冰箱的消费支出增加多少？ 解(亿) 故购买冰箱的消费支出增加亿. 36.某公司按利率10%(连续复利)贷款100万元购买某设备，该设备使用10年后报废，公司每年可收入元. (1) 为何时，公司不会亏本？ (2) 当万元时，求内部利率(应满足的方程), (3) 当万元时，求收益的资本价值. 解(1) 10年后这笔贷款的本利和： 10年后的总收益： 若公司不亏本，则，则 (2) 设内部利率为，则 即 (3) 资本价值=收益流现值-投入资金的现值 .37.解下列经济应用问题。 (1) 已知生产某产品的边际成本，问当产量由12单位减少到3单位时，总成本减少多少？ (2) 某企业投资232万元扩建一个工厂，该厂投产期20年，每年收益20万元，求内部利率，(只需求出个满足的方程) (3) 已知某商场销售电视机的边际利润为 试求 售出40台电视机的总利润 售出60台时，前30台与后30台的平均利润各为多少？ 解(1) 减少的成本 (2) 设内部利润为，则 解得: (3) , 售出40台电视机的总利润为: 故售出60台时，前30台的平均利润为248.5后30台的平均利润为245.5. 38.X公司和Y公司机床行业的两个竞争对手，这两家公司的主要产品的供给函数分别为 (1)X公司和Y公司当前的价格弹性是多少？ (2)假定Y降价后，使增加到300个单位，同时导致X的销售量下降到75个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？ 解(1)X公司 故X公司当前的价格弹性为. Y公司 故Y公司当前的价格弹性为. (2)时， 时， X公司产品的交叉价格弹性为 (注：用弧交叉弹性公式). 39.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为P1和P2，销售量分别为Q1和Q2，需求函数分别为；总成本函数为，问厂家如何确定两个市场的售价，能使得获得的总利润最大？最大利润为多少？ 解设利润函数为L，则 又 令其为0，解得P1=80，P2=30，此为唯一驻点. 又由题意知最大利润一定存在，故P1=80，P2=30时取得最大利润336. 36.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养(万尾)，乙种鱼放养(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为，求使产鱼总量最大的放养数？ 解设产鱼总量为T，则 令为0，解得. 唯一驻点，且由题意知最大值一定存在，故即为所求. 40.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P1=18-2Q1；P2=12-Q2，其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量即. (1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； (2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售最及其统一的价格，使该企业的总利润最大，并比较两种价格策略下的总利润大少. 解(1)设利润函数为L，则 令 为0，解得唯一驻点，又因最大利润一定存在. 故Q1=4，P1=10；Q2=5，P2=7时有最大利润L=52； (2)令P1=P2=P，则 令，得唯一驻点P=8. 因最大利润一定存在，故时有最大利润L=49，显然，实行价格差别策略时总利润要大些. 41.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 解设另两边长分别为x，y，则， 周长，题目即为求在约束条件下的极值问题. 设拉格朗日函数 令 为0，联立解方程组得，唯一驻点，且最大周长一定存在， 故当时有最大周长. 42.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，铱售收入R(万元)与电台广告费用X1(万元)及报纸广告费用X2(万元)之间的关系有如下的经验公式： (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略. 解(1)利润函数 令 为0，联立解得(万元)，(万元) 又 ，故点(0.75，1.25)为极大值点， 由问题的实际意义可知，它为最大值点，即此时的最优广告策略为用0.75万元作电台广告，用1.25万元作报纸广告. (2)做拉格朗日函数 令 为0，联立解得 即广告费用1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大. 43.设生产某种产品需要投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量，若生产函数为，其中为正常数，且，假设两种要素的价格分别为P1和P2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小. 解此为有约束条件的多元函数的极值问题，即投入总费用在约束条件下的极值问题. 设拉格朗日函数 令 为0，联立解得由题意分析可知，此时投入总费用最小 44.某企业在雇用名技术工人、名非技术工人时，产品的产量 若企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量最大？ 解问题为产量函数在附加条件下的极值问题 作拉格朗日函数 令 解得 因为由问题本身可知最大产量一定存在，所以用90名技术工人、140名非技术工人时产量Q最大45.为修建高速公路，要在一山坡中辟出一条长500，宽20的通道，据测量，以出发点一侧为原点，往另一侧方向为轴，往公路延伸方向为轴，且山坡的高度为 试计算所需挖掉的土方量。 解这是一个二重积分的应用问题，其中积分区域于是所需挖掉的土方量46.某商品的销售量是价格的函数，如果要使该商品的销售收入在价格变化的情况下保持不变，则销售量对于价格的函数关系满足什么样的微分方程？在这种情况下，该商品的需求量相对价格的弹性是多少？ 解由题意得销售收入(常数)，在上式两端对求导，得到所满足的微分方程. 即 且47.已知某商品的需求价格弹性为且当时，需求量 (1)求商品对价格的需求函数； (2)当时，需求是否趋于稳定. 解(1)由得到 两端积分得 将初始条件时，代入上式得于是所求的需求函数为 (2)因为当时，即需求趋于稳定. 48.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数. 解由得到 两边积分，得 即 又时，故于是所求的需求函数为 49.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：其中为常数，价格P是时间t的函数，且满足(K为正常数)，假设当时，价格为1，试求： (1)需求量等于供给量的均衡价格 (2)价格函数 (3) 解(1)由即得 (2)由(1)得将其代入方程 得到 即 两边积分，得 将代入上式，得于是 (3)因为故50.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速率用这一帐户支付职工工资，若t以年为单位，号上余额所满足的微分方程，且问当初始存入的数额为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0. 解虽然，银行余额的变化速率=利息盈取速率工资支付速率 因为时间t以年为单位，银行余额的变化速率为利息盈取的速率为每年0.05B元，工资支付的速率为每年12000元，于是，有 利用分离变量法解此方程得 由得 故 由题意，令时，即 由此得时，20年后银行的余额为零. 51.在某池塘内养鱼，该池塘内最多能养1000尾，设在时刻该池塘内鱼数是时间t的函数其变化率与鱼数y及的乘积成正比，比例常数为已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾求放养七个月后池塘内鱼数的公式，放养6个月后有多少鱼？ 解时间t以月为单位，依题意有 是 对方程分离变量且积分，得到 将代入，得于是 ，再将代入，求出 于是，放养t个月后池塘内的鱼数为 放养6个月后池塘内的鱼数为 52.设总人数是不变的，时刻得某种传染病的人数为设时刻对时间的变化率与当时未得病的人数成正比，(比例常数其表示传染给正常人的传染率).求并对所求结果予以解释. 解由题意，有 求解这一问题，可得 令得 这表明，在题目给出的条件下，最终每个人都要染上传染病. 53.已知某地区在一个已知时期内国民收入的增长率为国民债务的增长率为国民收入的若时，国民收入为5亿元，国民债务为0.1亿元.试分别求出国民收入及国民债务与时间t的函数关系. 解设该时期内任一时刻的国民收入为国民债务为由题意 由(1)得 由时，得 故 将(3)式代入(2)式得于是， 由时，可知 故 因此，国民收入为 国民债务为 54.某汽车公司在长期的运营中发现每辆汽车的总维修成本对汽车大修时间间隔的变化率等于已知当大修时间间隔(年)时，总维修成本(百元).试求每辆汽车的总维修成本与大修的时间间隔的函数关系.并问每辆汽车多少年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低？ 解设时间间隔以年为单位，由题意 由可得 因此 又令得 (负根舍去) 因此是的极小值点，从而也是最小值点，即每辆汽车3年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低. 55.某汽车公司的小汽车运行成本及小汽车的转卖值s均是时间t的函数，若已知且时(万元/每辆).试求小汽车的运行成本及转卖值各自与时间t的函数关系. 解由 得 代入初始条件：得 于是 将上式代入方程得 解之得 代入初始条件：得 于是56.设某产品在时期的价格，总供给与总需求分别为，并设对于有(1)；(2)；(3).(注：教材上题目印刷有误) 求证：由(1)、(2)、(3)可推出差分方程 已知时，求上述方程的解 解由，知 即，即 不难求得上述方程的通解为 由；得 故 57.设为期国民收入，为期消费，为投资(各期相同)，设三者有关系 ，且已知时，其中，试求和. 解由，得差分方程 解特征方程，得，该方程所对应的齐次差分方程的通解为 由于1不是特征方程的根，故可设 为非齐次方程的一个特解，将之代入原方程，得 因此上述差分方程的通解为 由，得故从而 58.设某商品在时期的供给量与需求量都是这一时期该商品的价格的线性函数，已知.且在时期的价格由时期的价格及供给量与需求量之差按关系式确定，试求商品的价格随时间变化的规律. 解将代入关系式 得 解此一阶差分方程，得59设某商品的供需方程分别为， 且以箱为计量单位，设和分别为第期和第期的价格(单位：百元箱)，供方在期售价为，需方以价格就可使该商品在第期的供给量售完，已知，试求出的表达式. 解因为 根据题意，在期内有，即， 即 解特征方程，得 故对应的齐次方程的通解为 因，1不是特征方程的根，故可设上述非齐次方程的一个特解为，代入原方程，得 故原方程的通解为 由初始条件，得由此得故所求的满足初始条件特解为. 60. 人们往往对工资收入在整个社会中的分布感兴趣，帕雷托(Pareto)定律认为，每个社会都有一个常数()使得所有比你富有的人的平均收入是你的收入的倍，如果表示社会中收入为或高于的人的数量，对充分小的，定义. (1)说明收入在和之间的人和数量可由表示，从而证明收入在和之间的人的收入总数可近似表示为； (2)利用帕雷托定律，证明收入为和以上的人的总收入为，然后证明收入在和之间的人的收入总数可近似地表示为； (3)证明满足微分方程：； (4)解上面的微分方程，求出； (5)分别取画出的草图，由此说明的值的不同是如何影响随的变化的. 解(1)因为为收入为或高于的人的数量，为收入为或高于的人的数量，显然，.于是，收入在和之间的人的数量为. 由于考虑的是整个社会，因此可以把看作一个连续函数，甚至我们还假设它是可导的，因很小，当收入在和之间时，将之近似看作，从而收入在与之间的人的收入总数近似为. (2)设某人收入为，由帕雷托(Pareto)定律，社会中收入为或高于的人的平均收入为，而社会中收入为或以上的人为.因此收入为或以上的人的总收入为.由此可知，收入在或以上的人的总收入为.于是，收入在和之间的人的总收入为 即收入在和之间的人和总收入可近似表示为 (3)由(1)和(2)的分析可知，在相差一个关于的高阶无穷小的意义下，有 两边除以，得 令则， 即 此即为所满足的微分方程. (4)对方程分离变量，得 积分得 即 由实际意义，这里的为任意正常数. (5)当 显然，对同一个，的值越小，相应的就越小，即社会中收入为或高于的人的数量越小，社会的贫富悬殊就越小.61. (新产品的推销问题)设有某种耐用商品在某地区进行推销，最初商家会采取各种宣传活动以打开销路，假设该商品确实受欢迎，则消费者会相互宣传，使购买人数逐渐增加，销售速率逐渐增大，但由于该地区潜在消费总量有限，所以当购买者占到潜在消费总量的一定比例时，销售速率又会逐渐下降，且该比例越接近于1，销售速率越低，这时商家就应更新商品了. (1)假设消费者总量为，任一时刻已出售的新商品总量为，试建立所应满足的微分方程； (2)假设，求出； (3)分析的性态，给出商品的宣传和生产策略. 解(1)设在该地区时刻已售出的该新商品的总量为，由于潜在消费者总量为，则在销售初期或当很大时，该商品销售速率主要受已购者数量的影响，即每一个已购者在一定时间内吸引若干个欲购者，