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文档简介

1 作业P366 利用极坐标计算二重积分 其中D是由圆周 及直线y 0 y x所围成的在第一象限内的闭区域 解 在极坐标系中 于是 2 知识整理 1 直角坐标系下二重积分的计算 I x型区域 先y后x II y型区域 先x后y 3 2 极坐标系下二重积分的计算 III 方法与步骤 绘出区域D的图形 确定积分限 计算积分 利用奇偶性简化运算 4 计算二重积分可利用区域D的对称性和被积函数的奇偶性简化计算 对有xyD关于x y轴对称 f x y 是x y的偶函数 奇函数 yx 注 5 例1 求以xOy面上的圆域为底 圆柱面为侧面 抛物面 为顶的曲顶柱体的体积 并在极坐标系下求其二重积分值 x y z O 2 解 如图所示 所求曲顶柱体的体积为 其中积分区域D可表示为 6 由D的对称性及被积函数 关于x y均为偶函数可知 其中 为D在第一象限部分 于是 7 解法2 极坐标系下解 在极坐标系中 闭区域D可表示为 于是 8 例2计算二重积分 D是顶点分别为 的三角形闭区域 解 x y D 9 续解 10 例3计算二重积分 其中 解 x y D1 D2 1 1 1 1 如图 因此 11 相关练习 D为圆域 D为半圆域 12 例4 把下列二重积分化为二次积分 写出两种积分次序 积分区域为抛物线与直线 及x轴所围成的闭区域 x y D 解 解方程组得 1 所以 13 例5化出积分区域 把积分 表示为极坐标形式的二次积分 r x y O 解 如图 在极坐标系中 所以 a a a 14 相关练习 交换二次积分的次序 把积分化为极坐标形式 15 例6 平均利润问题 设公司销售商品甲x个单位 商品乙y个单位的利润是由下列函数式确定 现已知一周内甲商品的销售量在150 200之间变化 乙商品的销售量在80 100之间变化 试求销售这两种商品一周的平均利润 16 解 因x y的变化范围D 150 x 200 80 y 100 这个区域D的面积为 这家公司销售两种商品一周的平均利润是 17 作业 习题9 2P3
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