误差理论.doc

II 误差理论1. 古典误差理论与现代误差理论的区别 古典误差理论对偶然误差的研究只限于正态分布的偶然误差研究对象，而现代误差理论在研究正态分布的基础上又进一步研究了非正态分布的偶然误差。在古典误差理论中，长不加条件地指出偶然误差具有4点性质，即单峰性、对称性、有界性、抵偿性。 实际上，这4个性质对有些非正态分布如均匀分布就不具备。古典误差理论对纯系统误差作一般讨论，重点是研究纯偶然误差，这是叫理想化的情况。在实际工作中，除了纯系统误差外，还存在半系统误差、极限误差等。所以，古典误差理论无法解决目前实际工作中遇到的一些问题，而现代误差理论除了讨论系统误差和偶然误差外，还重点讨论半系统误差（又称随机性系统误差、系统误差限）和极限误差，因此现代误差理论所讨论的问题比较符合实际工作中遇到的问题。2误差理论的应用在下列情况下，需要用到误差理论：（1）处理检定数据；（2）估计测量结果和测量结果的精确度；（3）建立计量标准和设计仪器；（4）设计新的测量方法、新的检定规程。3. 为什么测量结果都带有误差？完成某项测量必须要有测量仪器、测量方法和测量人员。这三方面都可能使测量产生差。所以，任何测量结果都带有误差。4. 产生误差的原因（1） 仪器误差；（2） 安装调整误差，如水银柱高、滴定管垂直否等；（3） 人为误差，如视差，读数过早或过迟等；（4） 方法误差（又称理论误差）。间接测量时，由于间接测量函数本身就是一个近似公式，存在一定的近似误差，这种误差称为间接测量误差；（5） 环境误差，由于周围环境等因素使仪器内部工作状态改变而引起的误差，习惯上称为环境误差。示例： Clapeyrong equation Clausius-Clapeyrong eq. 近似性：Vm(g)Vm(l),气体为理想气体。 ln(p/p) = -vapHm/RT + C 假定vapHm 与温度无关。式中，C为积分常数。有vapHm = - R斜率事实上，vapHm=f(T)，即vapHm是温度的函数，有vapHm/kJmol-1 Tc T/K5. 方法误差就其性质来看，它属于系统误差，因重复测量时误差值是不变的，可以对其进行修正，误差的正负号也是可以确定的。6. 直接测量法无需对待测的量与其他实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到待测量值的方法称为直接测量法。如，用电压表测电压，温度计 温度，注意：若计量器具的示值是从对照曲线或表格中读出的，则这种测量仍被看作是直接测量。7. 间接测量法 直接测量的量 待测量 已知函数关系如， R = V/I，电阻 电压，电流8组合测量法测量目的有多个，需解一方程组，才能求得测量目的。示例：标准电阻在温度t时的电阻值为： Rt = R201 + (t-20) + (t-20)2式中，R2020时的电阻值 ，该标准电阻的一次和二次项温度系数有3个测量目的，R20，。因此，至少需3次测量。 Rt1 = R201 + (t1-20) + (t1-20)2 Rt2 = R201 + (t2-20) + (t2-20)2 ： ： ： Rtn = R201 + (tn-20) + (tn-20)2n 3, 可提高测量精度，并可以用最小二乘法处理实测数据。9. 测量与检定的区别测量为确定被测对象的量值而进行的实验过程称为测量。检定为评定计量器具的匠量性能（准确度、稳定度、灵敏度等）并确定其是否合格所进行的全部工作称为检定。因此，测量与检定是两个不同的概念，但两者又有联系，因为检定时要对被检计量器具的各项技术指标进行测量，而其测量误差要比对被检指标的额定允许误差小得多，因此从测量的观点来看，检定是测量工作在计量工作中的一种应用，并且是精确度较高的测量。检查是用上一级精确度较高的仪器对下一级精确度较低的仪器进行检定，通过检定将量值从国家基准逐级传递给各级以至工作仪器，因此检定能达到量值传递的目的。对一台仪器进行检定，要确定该仪器各项技术指标是否达到规定的要求，从而确定该仪器合格或不合格。国家标准计量局 省、市、县计量局, 传递性10. 误差分类（1） 偶然（随机）误差（2） 系统误差（包括半系统误差）（3） 粗差11. 各类误差介绍（1） 绝对误差 =A A0 A0 被测量的真值 A 对于测量仪器，是仪器示值。 真值一个量在被观测时，它本身所具有的真实大小称为真值。 实际值满足规定准确度的、用来代替真值使用的量值称为实际值。 注意： 量的真值是理想的概念，一般地是不可能确切地知道的。实际上，量子效应可排除唯一的真值。约定真值为了给定目的，可以代替真值的量值称为约定真值。注：一般说来，约定真值被认为是非常接近真值的，就给定目的而言，其差值可以忽略不计。 绝对误差的特点 一般情况下，它是有单位、有量纲的，其值大小与所取单位有关。如，A=25 V，A0=24 V， =（25-24）V = 1V = 1103 mV。 能反映误差的大小与方向。 不能更确切地反映出测量工作的精细程度。示例： 用一频率计测量100kHz的标准频率，示值为101 kHz, = (101-100)kHz=1kHz 用另一频率计测量1MHz的标准频率，示值为1.001MHz,则 = (1.001-1.000)MHz=0.001MHz = 1kHz 相同，后者测量1MHz时才差1kHz, 而前者测100kHz时就差1kHz。由上可见，绝对误差不能确切地反映出测量工作的精细程度。因此，除了用绝对误差外，还常用相对误差。（2） 相对误差国家标准规定指出：“测量的绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差”。国际通用计量学名词指出：“测量绝对误差除以被测量的（约定）真值称为相对误差”。 实际相对误差实际 = /A0 =(A-A0）/A0示例：频率计一，实际 = （101-100）kHz/100 kHz= 1% 频率计二，实际 = （1.001-1.000）MHz/1.000MHz = 0.1%由上可知，两频率计的绝对误差相同，都是1kHz，但实际相对误差不等，说明相对误差能反映测量工作的精细程度。若已知实际相对误差实际和实际值A0，即可算出绝对误差 =实际 A0 额定相对误差额定 = /A =(A-A0）/A A为仪器示值，A0为实际值。 引用相对误差设A为仪表示值，A0为实际值，A上为仪表测量上限，则引用相对误差为引用 = /A上 =(A-A0）/A上引用相对误差主要用来表示仪表的准确度，多数用在电工和热工仪表方面。示例：检定2.5级量程为100V的电压表，在50V点刻度上标准电压表示值为48V，试问此表是否合格？电表的准确度等级是以引用相对误差表示的，2.5级电表的引用相对误差为2.5%。已知检定点刻度值为A=50V，A0=48V，=A-A0=2V，则引用相对误差引用 = 2/100 = 2% 2.5%，故50V这点是合格的。 相对误差的特点 相对误差是一个比值，其值大小与被测量所取的单位无关； 能反映误差的大小与方向； 能更确切地反映出测量工作的精细程度。这是由于相对误差不仅与绝对误差的大小有关，同时与被测量的数值大小有关，因此它能更确切地反映出测量工作的精细程度。示例：有一个5A的0.5级电流表，当其指针指在2.50A时，此点的实际值为2.51A,求该电流表在此点的引用相对误差、实际相对误差、额定相对误差各为多少？解：引用 = /A上 =(A-A0）/A上=100%(2.50-2.51）A/5A = -0.2%实际 = /A =(A-A0）/A0 =100%(2.50-2.51）A/2.51A -0.4% 额定 = /A =(A-A0)/A =100%(2.50-2.51)A/2.50A =-0.4%示例：量程10A的0.1级电流表，经检定最大示值误差为8mA,问该电流表是否合格？解：0.1级电流表允许的引用相对误差为 0.1%，允许的绝对误差为100.1% = 0.01A = 10mA。8mA 2时，t 的概率密度分布函数为此分布为具有自由度f = n-1的Student 分布，式中（）为伽玛函数。当n时，t分布的极限为正态分布。概率值：n(t t) =Pn(-tt1.81的概率为10%, |t| 20时t分布曲线和正态分布曲线很相似；当t 10时t分布曲线与正态分布曲线差别较大。在实用上，都是将t分布列成表，见有关手册或书籍的附录。一般地，表中列出不同置信水平下和不同自由度的临界值。（6）均方根误差重复测某一物理量，得到偶然误差 i=Ai-A0, i=1,2,3,n，不存在系统误差，则定义为此偶然误差数列的均方根误差。D=，称D为方差。用积分式表示，则为，为偶然误差的概率密度分布函数。理解上述定义时，要注意：1） i，i=1,2,3,n, 它们是纯偶然误差，不包含系统误差；2） 以上求得的是数列的均方根误差，不是算术平均值的均方根误差，表示整个数列的离散程度，表明整个测量过程的精密程度。3） 以上公式只适用于等精度的测量中，即测量数列中每一个数据的精度相等（即所用仪器、方法、试剂、测试条件等都一样），而非等精度测量则另有公式计算。4） 均方根误差可以是绝对误差，也可以是相对误差。5） 上述均方根误差的定义不仅适用于正态分布，对其他分布也同样适用。6） 由于定义中要求i是纯偶然误差，但在实际工作中是无法得到纯偶然误差的，因此在实际测量中也就无法按这一定义来计算均方根误差。在实际工作中将按贝塞尔公式计算，详见后续的讨论。（7）平均误差进行重复测量，得i=Ai-A0, i=1,2,3,n，定义此数列的平均误差为 当偶然误差为正态分布，且测量次数又比较多时，有 （8）或然误差 在一组等精度测量中，若某一偶然误差具有这样的特性：绝对值比它大的误差个数与绝对值比它小的误差个数相同，那么这个误差就称为或然误差，也就是说，全部误差按绝对值大小顺序排列，中间的那个误差就称为或然误差。它可表示为： 当偶然误差是正态分布，且测量次数较多时， 应用上：现在误差计算中都是用均方根误差（即标准偏差），而不用平均误差和或然误差。因为均方根误差能最有效地表征出偶然误差的离散程度，而平均误差次之，或然误差最差。示例： 用两个酸度计测量某一溶液的pH值，第一个酸度计测量pH时的偶然误差的绝对值为0.3, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.0, 0.2, 0.3, 0.2, 0.3；第二个酸度计测量pH时的偶然误差的绝对值为0.0, 0.1, 0.7, 0.0, 0.1, 0.1, 1.0, 0.0, 0.1, 0.1。计算其平均误差1、2和均方根误差1、2，比较其反映偶然误差离散程度的有效性。解：直观地分析上述数据，可以看出，第一组数列离散程度小，测量精度高，但两组数列的平均误差是近似相等的。1=0.20, 2=0.22而均方根误差 1= 0.27, 2 = = 0.39相差较大，可见均方根误差比平均误差能更有效地、更明显地反映出测量数据的离散程度。（9）半系统误差（又称未定系统误差）只知道误差范围（即误差限）而不知道误差数值与符号的系统误差称为半系统误差。示例： 某电阻误差为1%，当重复测量时，电阻误差的出现具有重复性，故误差性质属系统误差，但此误差的数值与符号是不知道的，只知道误差范围（-1% +1%），这种误差称为半系统误差。 与工作条件有关的半系统误差： 测量仪器的工作条件，如环境温度、湿度和频率范围等因素变化所产生的变动量为半系统误差。这类变动量是因某一因素偏离基准条件而产生的。当某因素的变化范围一定时，变动量也就一定。重复测量时，这些变动量也就重复出现，具有系统误差性质，但只知道范围而具体数值不知道，故属半系统误差。半系统误差的系统性主要体现在该项误差在重复测量时，它的出现服从确定函数规律，具有重复性，所以说半系统误差本质上是系统误差。半系统误差的随机性主要体现在误差的具体数值与符号都是未知的，只知道其数值落在某一区间内。而已定系统误差的误差数值与符号都是已知的。问题：半系统误差的随机性与偶然误差的随机性有何区别？解答：1）重复测量时，一台仪器的偶然误差的随机性体现在其误差以随机方式出现。在重 复测量时，一台仪器的半系统误差不以随机方式出现，而具有重复性。半系统误 差的随机性主要体现在不知道误差数值与符号，而只知道误差范围。2） 若用更高精确度的标准仪器对上述这台仪器进行检定，可以测出其半系统误差的数值与符号，从而半系统误差立即转变为数值与符号都知道的系统误差，则半系统误差的随机性也立即消失，而偶然误差的随机性是无法通过更高精确度的标准仪器对此仪器进行检定而消除的。3） 若考虑的不是一台仪器、一个元件、一个测量装置，而是一批仪器、一批元件、一批测量装置，此时半系统误差的随机性才能得到充分体现，此时可以近似求得半系统误差的概率分布，而偶然误差的随机性在一台仪器重复测量时就得到充分体现。（10）几个基本概念精密度（p