运筹学课程设计报告.docVIP

关于生产计划的线性规划模型摘 要本文利用问题中的数据信息，建立了线性规划模型，并运用LINGO软件求解，得出了让工厂赢利最大的生产计划，并讨论了增加设备、投产新产品、改进产品工艺等各种情况对生产计划的影响。对于问题（1）：按照题目给出的数据，可以得到一个每月生产赢利最大为目标的线性规划模型。然后利用LINGO软件求解出模型的全局最优解，最优值为134.5，最优解为。即每月安排生产24件产品，24件产品，5件产品，能使工厂获得最大赢利为134.5千元。对于问题（2）：因为设备每台时的租金为0.3千元，高于它的对偶价格，所以得出结论：借用设备是不合算的。我们又建立了线性规划模型来验证结论。模型计算结果显示借用设备，工厂最大赢利为127千元，比原生产计划下的赢利134.5千元少，证明了借用设备确实是不合算的。对于问题（3）：为了更好的讨论新产品、投产是否合算，我们分三种情况建立模型：同时投产和、只投产、只投产。结合三个模型的结果可知：若单独投产或，工厂赢利的增量分别是0.1千元和1.36千元。只投产则利润增长是很小的，同时投产和的收益增量是最大的，为1.46千元。所以在计划新产品的投产时，不能单独投产新产品，最好是同时投产新产品和。对于问题（4）：根据新数据，可以得到线性规划模型，模型的最优解为。改进工艺结构后最大赢利为152.8千元，给工厂增加了18.3千元的赢利。关键词：工厂赢利，生产计划，线性规划，LINGO软件，对偶价格1、 问题重述已知某工厂计划生产，三种产品，各产品需要在设备上加工，有关数据见下表。试回答：设备代号设备有效台时/月8210300105840021310420单位产品利润/千元322.9（1） 如何充分发挥设备能力，使生产赢利最大？（2） 若为了增加产量，可借用其他工厂的设备，每月可借用台时，租金为万元，问借用设备是否合算？（3） 若另有两种新产品,，其中需用设备为台时，为台时；为台时，单位产品赢利千元；新产品需用设备为台时，为台时；为台时，单位产品赢利千元。如设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产在经济上是否合算。（4） 对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品，需用设备为台时，设备为台时；设备为台时，单位产品赢利千元，问这对原计划有何影响？2、 问题分析1. 关于问题（1）：这个优化问题的目标是使每月生产赢利最大，要做的决策是生产计划，即每月安排生产多少件产品，多少件产品，多少件产品。决策受到三种设备的有效台时的限制。按照题目给出的数据，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可以得到一个线性规划模型。2. 关于问题（2）：这一问讨论的是若为了增加产量向其他工厂有偿借用设备是否合算。已知每月可借用台时，租金为万元，则可以知道每台时的租金。根据问题（1）的程序运行结果，结合运筹学中对偶价格的知识（对偶价格反映资源对目标函数的边际贡献，即资源转换成经济效益的效率），设备的对偶价格表示的是每增加一台设备，可以使工厂赢利增加的数目。可以通过比较设备每台时的租金和它的对偶价格，讨论借用设备是否合算。若设备每台时的租金高于它的对偶价格，则借用设备不合算；若设备每台时的租金低于它的对偶价格，则借用设备是合算的。也可以建立新的线性规划模型进行求解来验证结果。3. 关于问题（3）：这一问是在问题（1）的基础上，出现了、两种新产品，造成了技术系数的变化。为了更好的讨论、这两种新产品投产在经济上是否合算。我们可以分三种情况来讨论本模型：同时投入生产新产品和新产品；只投入生产新产品；只投入生产新产品。综合3个模型的计算结果，比较投产、这两种新产品是否合算，并讨论怎样投产才最合算。4. 关于问题（4）：同样的，这一问也是出现了技术系数的变化。但是，与问题（3）不同的是，该问不是出现了新产品，而是原产品的技术系数发生了变化。类似于问题（3），根据新给出的各项数据，可以分别将新的决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可以得到该题的线性规划模型，通过模型的求解结果与问题（1）的结果作比较，可知改进产品工艺结构后，对原计划的影响。3、 模型假设1. 题目中给出的各种产品的单位利润是与它们各自产量无关的常数，也与它们相互间的产量无关。2. 题目中给出的各种设备生产各种产品的台时与它们各自的产量无关，也与它们相互间产量无关。3. 在生产过程中，不存在设备的故障、维修等时间。4. 假设不考虑生产过程中需要的人工参与以及工人数目的限制。4、 符号说明符号符号的说明产品计划生产的件数单位产品的利润设备每月有效台时设备的对偶价格产品的技术系数5、 模型的建立与求解5.1 问题1模型的建立与求解5.1.1 问题1模型的建立决策变量：引入变量：每月安排生产件产品，件产品，件产品。目标函数：设每月生产赢利为，单位产品的利润（千元）为。故约束条件：决策受到三种设备的有效台时的限制，技术系数为。故有。综上可得如下线性规划模型：目标函数 约束条件 5.1.2 模型的求解可以直接用LINGO软件很方便地实现该线性规划的求解，在LINGO下建立一个模型文件，输入如下程序：model:max=3*x1+2*x2+2.9*x3;8*x1+2*x2+10*x3=300;10*x1+5*x2+8*x3=400;2*x1+13*x2+10*x3=420;gin(x1);gin(x2);gin(x3);end执行程序后可得到如下输出（执行程序后的运行结果截图见附录一）： Global optimal solution found. Objective value: 134.5000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 15 Variable Value Reduced Cost X1 24.00000 -3.000000 X2 24.00000 -2.000000 X3 5.000000 -2.900000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 134.5000 1.000000 2 10.00000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 10.00000 0.000000上面的输出结果表示：LINGO求出了模型的全局最优解，最优值为134.5（即最大赢利为134.5千元），这个线性规划的最优解为。5.2 问题2模型的建立与求解问题（1）的运行结果，除了告诉我们最优解和最优值以外，还有其他对分析结果有用的信息。比如 “Dual Price”这一列的数据告诉我们三种设备的对偶价格，即表示每增加1各单位的设备中的任何一种，对目标函数都不产生影响。而设备每台时的租金为，高于它的对偶价格，则借用设备不合算。为了验证结论是否正确，也可以建立新的线性规划模型进行求解来判断借用设备是否合算。类似于问题（1）的建模方法，可以很容易的建立的本小题数学模型为：目标函数 约束条件 在LINGO下输入如下程序：model:max=3*x1+2*x2+2.9*x3-18;8*x1+2*x2+10*x3=300;10*x1+5*x2+8*x3=460;2*x1+13*x2+10*x3=420;gin(x1);gin(x2);gin(x3);end执行程序后可得到如下输出（执行程序后的运行结果截图见附录二）： Global optimal solution found. Objective value: 127.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X1 31.00000 -3.000000 X2 26.00000 -2.000000 X3 0.000000 -2.900000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 127.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 20.00000 0.000000 4 20.00000 0.000000上面的输出结果表示：LINGO求出了模型的全局最优解，最优值为127（即最大赢利为127千元），比原生产计划下的最优值134.5千元少，证明了借用设备确实是不合算的。5.3 问题3模型的建立与求解5.3.1 问题3模型的建立这一问出现了、两种新产品，造成了技术系数的变化。相对于上面问题（1）的模型建立，需要在这一问中引入两个新的决策变量：每月安排生产件产品，件产品。单位、产品的利润（千元）为。为了更好的讨论、这两种新产品投产在经济上是否合算。我们分三种情况来讨论本模型：（1） 同时投入生产新产品和新产品目标函数：设每月生产赢利为，故约束条件：决策受到三种设备的有效台时的限制，技术系数为。故有。综上可得如下线性规划模型：目标函数 约束条件 （2） 只投入生产新产品分析如上，可得如下线性规划模型：目标函数 约束条件 （3） 只投入生产新产品分析如上，可得如下线性规划模型：目标函数 约束条件 5.3.2 模型的求解（1） 同时投入生产新产品和新产品在LINGO下输入如下程序：model:max=3*x1+2*x2+2.9*x3+2.1*x4+1.87*x5;8*x1+2*x2+10*x3+12*x4+4*x5=300;10*x1+5*x2+8*x3+5*x4+4*x5=400;2*x1+13*x2+10*x3+10*x4+12*x5=420;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);end执行程序后可得到如下输出（执行程序后的运行结果截图见附录3-1）：Global optimal solution found. Objective value: 135.9600 Objective bound: 135.9600 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 37 Total solver iterations: 104 Variable Value Reduced Cost X1 26.00000 -3.000000 X2 19.00000 -2.000000 X3 1.000000 -2.900000 X4 1.000000 -2.100000 X5 8.000000 -1.870000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 135.9600 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 5.000000 0.000000上面的输出结果表示：LINGO求出了模型的全局最优解，最优值为135.96（即最大赢利为135.96千元），比原生产计划下的最优值134.5千元多出1.46千元，说明同时投产、这两种新产品投产在经济上是合算的。（2） 只投入生产新产品在LINGO下输入如下程序（执行程序后的运行结果截图见附录3-2）：model:max=3*x1+2*x2+2.9*x3+2.1*x4;8*x1+2*x2+10*x3+12*x4=300;10*x1+5*x2+8*x3+5*x4=400;2*x1+13*x2+10*x3+10*x4=420;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);end执行程序后可得最优值为134.6（千元），比原生产计划下的最优值134.5千元多出0.1千元，说明只投产这种新产品投产在经济上是合算的。（3） 只投入生产新产品在LINGO下输入如下程序（执行程序后的运行结果截图见附录3-3）：model:max=3*x1+2*x2+2.9*x3+1.87*x5;8*x1+2*x2+10*x3+4*x5=300;10*x1+5*x2+8*x3+4*x5=400;2*x1+13*x2+10*x3+12*x5=420;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x5);end执行程序后可得最优值为135.86（千元），比原生产计划下的最优值134.5千元多出1.36千元，说明只投产这种新产品投产在经济上是合算的。综上，我们可以获得信息表：增加的生产计划单位新产品的利润（千元）带来的增加利润（千元）同时投入生产新产品和-1.46只投入生产新产品2.10.1只投入生产新产品1.871.36由此，可以知道：出现的两种新产品和，虽然单位产品的利润，但是若单独投产或，给工厂带来的增长利润是。可以看到，只投入生产新产品带来的利润增长是很小的，只投入生产新产品带来的利润增长相对较大，同时投产新产品和带来的收益是最大的。所以在计划新产品的投产时，不能单独投产新产品，最好是同时投产新产品和。5.4 问题4模型的建立与求解5.4.1 问题4模型的建立根据新给出的各项数据，可以分别将新的决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，得到该题的线性规划模型：目标函数 约束条件 5.4.2 模型的求解在LINGO下建立一个模型文件，输入如下程序：model:max=4.5*x1+2*x2+2.9*x3;9*x1+2*x2+10*x3=300;12*x1+5*x2+8*x3=400;4*x1+13*x2+10*x3=60;x1+x2=70;x2+x3=60;x3+x4=50;x4+x5=20;x5+x6=30;end模型求解结果：8.5.2 习题二（P57 2.10） 某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表2-20表示。表 2-20原料甲乙丙原料成本/(元/kg)每月限制用量/kgA60%15%2.002000B1.502500C20%60%50%1.001200加工费/(元/kg)0.500.400.30售价/(元/kg)3.402.852.25问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划的数学模型。解：模型建立：这个优化问题要做的决策就是：分别用多少原料A、B、C来生产各种糖果甲、乙、丙，使得该厂获得的利润最大。决策受到原料成本、加工费用、限制用量的条件限制。设应生产甲糖果千克，乙糖果千克，丙糖果千克。表示甲糖果中A、B、C的成分；表示乙糖果中A、B、C的成分；表示丙糖果中A、B、C的成分。将糖果的售价去除加工费和去除原料的总费用，得到最大利润。约束条件有：原料A、B、C的使用量不能超过每月限制用量；生产甲、乙、丙糖果对于A、B、C三种原料的含量要符合题目要求；非负约束。则，根据以上分析，可以建立这个问题的数学模型：目标函数：约束条件：模型求解程序：model:max=(3.4-0.5)*x1+(2.85-0.4)*x2+(2.55-0.3)*x3 -(x1a+x2a+x3a)*2-(x1b+x2b+x3b)*1.5-(x1c+x2c+x3c)*1;x1=x1a+x1b+x1c;x2=x2a+x2b+x2c;x3=x3a+x3b+x3c;x1a/x1=0.60;x1c/x1=0.15;x2c/x2=0.60;x3c/x3=0.50;x1a+x2a+x3a=2000;x1b+x2b+x3b=2500;x1c+x2c+x3c=1200;end模型求解结果：结果分析：使得该厂获利最大的最优生产计划为： 生产甲糖果2544.444(kg)，乙糖果3155.556(kg)，丙糖果0(kg)。其中甲糖果使用A、B、C三种原料的量分别为：1526.667(kg)，1017.778(kg)，0(kg)；乙糖果使用A、B、C三种原料的量分别为：473.3333(kg)，1482.222(kg)，1200(kg)，丙糖果不生产。该厂获得的最大利润为6160元。8.5.3 习题三（P57 2.11） 某厂生产三种产品，。每种产品要经过A，B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1，B2，B3表示。产品可在A，B任何一种规格设备上加工。产品可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表2-21所示，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。表 2-21设备产品设备有效台时/台时满负荷时的设备费用/元5106000300791210000321684000250411700078374000200原料费/(元/件)0.250.350.50单价/(元/件)1.252.002.80模型的建立：引入以下表中变量表示产品件数：表示第种产品的总生产件数，表示第种产品在第种设备上生产的件数（）。 设备 产品件数产品根据题目已有材料，可知：；设备生产一台时消耗300/6000元/台时；设备生产一台时消耗321/10000元/台时；设备生产一台时消耗250/4000元/台时；设备生产一台时消耗783/7000元/台时；设备生产一台时消耗200/4000元/台时。我们可以进一步得到本题的数学模型如下：目标函数： 约束条件：模型求解程序：model:max=(1.25-0.25)*x1+(2-0.35)*x2+(2.8-0.5)*x3-300/6000*(5*x11+10*x21)-321/10000*(7*x12+9*x22+12*x32)-250/4000*(6*x13+8*x23)-783/7000*(4*x14+11*x34)-200/4000*(7*x15);x1-x11-x12=0;x1-x13-x14-x15=0;x2-x21-x22=0;x2-x23=0;x3-x32=0;x3-x34=0;5*x11+10*x21=6000;7*x12+9*x22+12*x32=10000;6*x13+8*x23=4000;4*x14+11*x34=7000;7*x15=4000;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x11);gin(x12);gin(x13);gin(x14);gin(x15);gin(x21);gin(x22);gin(x23);gin(x32);gin(x34);end模型求解结果：运算结果表示：利润最大为1146.414元。 各产品在各设备下的生产件数如下表所示： 设备 产品件数产品14305003241200023050032405008593245718.5.4 习题四（P115 4.7）某造船厂根据合同要从当年起连续三年年末各提供三艘规格型号相同的大型客货轮。已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮成本如表4-50所示。表 4-50年度正常生产时间内可完成的客货轮数/艘加班生产时间内可完成的客货轮数/艘正常生产时每艘成本/万元123500242600313550已知加班生产时，每艘客货轮成本比正常生产时高出70万元。又知造出来的客货轮如当年不交货，每艘每积压一年造成积压损失为40万元。在签订合同时。该厂已储存了两艘客货轮。而该厂希望在第三年年末完成合同后还能储存一艘备用，问该厂应如何安排每年客货轮的生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加积压损失为最少？解：模型建立：由于客货轮可以在正常生产也可以加班生产，每年生产出来的客货轮不一定交货，所以我们将加班和不加班生产的分开来考虑。设为正常生产时间内第年生产的用于第年交货的客货轮数。为加班生产时间内第年生产的用于第年交货的客货轮数。根据合同要每年需提供3艘客货轮，但因为在签订合同时。该厂已储存了两艘客货轮，而该厂希望在第三年年末完成合同后还能储存一艘备用。所以这3年的需求量分别为1,3,4.则有：又因为每年生产的客货轮数不能超出生产能力，故又有：与有关的实际成本应该是该生产方式下的单位成本加上积压损失费用，的具体数值见下表：123150054058026006403550457061065056707106620设用表示各生产时间内的生产能力，表示每年的需求量，则问题可以建立下面的数学模型：目标函数： 约束条件： 模型求解：显然这是一个产大于销的运输问题模型，可以画出产销运价表：产地销地产量150054058022M60064043MM5501457061065035M67071026MM6203销量134Lingo求解程序如下model:sets:a/a1.a6/:cl;b/b1 b2 b3/:xl;links(a,b):c,x;endsetsdata:xl=1,3,4;cl=2,4,1,3,2,3;c=500 540 580 100000 600 640 100000 100000 550 570 610 650 100000 670 710 100000 100000 620;enddatamin=sum(links:c*x);for(b(j): sum(a(i):x(i,j)=xl(j);for(a(i): sum(b(j):x(i,j)=cl(i);for(links(i,j):gin(x(i,j);end模型求解结果：运算结果显示：使得总生产费用加积压损失为最少为4650元的生产方式为：第一年正常时间内生产2艘客货轮，其中第一年交货1艘，第二年交货1艘；第二年正常时间内生产2艘客货轮，都用于第二年交货；第三年正常时间生产1艘客货轮，加班时间生产3艘，都用于第三年交货。8.5.5 习题五（P154 6.9）有四个工人，要指派他们分别完成4 项工作，每人做各种工作所消耗的时间如表6-10所示，问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？ 表6-10工人工种甲16182124乙19232218丙26171619丁19212317解：模型的建立：引入变量表示第位工人去完成第项工作所消耗的时间，并引入变量，其取值只能是1或0 。并令可以得到如下数学模型：目标函数： 约束条件： 模型的求解程序：model:sets:a/a1.a4/:cl;b/b1.b4/:xl;links(a,b):c,x;endsetsdata:cl=1,1,1,1;xl=1,1,1,1;c=15 18 21 24 19 23 22 18 26 17 16 19 19 21 23 17;enddatamin=sum(links:c*x);for(b(j): sum(a(i):x(i,j)=xl(j);for(a(i): sum(b(j):x(i,j)=cl(i);for(links(i,j):bin(x(i,j);end模型的求解结果：由运行结果可以得到最优值为70，最优解为：这表示：指派甲去完成工作，乙去完成工作，丙去完成工作，丁去完成工作。所需总时间最少为70。8.5.6 习题六一奶制品加工厂用牛奶生产，两种奶制品，桶牛奶可以在甲车间用小时加工成公斤，或者在乙车间用小时加工成4公斤。根据市场需求