浅析Vandermonde行列式的性质与应用毕业论文.doc

浅析 Vandermonde 行列式的性质与应用 摘 要 在线性代数与高等代数的学习中 行列式无疑是一个重点和难点 它是后续 课程矩阵 向量空间和线性变换等的基础 且其计算具有一定的规律性和技巧性 而 Vandermonde 行列式是一类很重要的行列式 它构造独特 形式优美 性质特殊 是行 列式中的一颗璀璨明珠 为了使我们对 vandermonde 行列式进一步加深了解与应用 同 时开阔数学视野 培养发散思维能力 以便更好地为我们的科研和生活服务 本文主 要阐述了 Vandermonde 行列式的证法及其相关性质 并用例举法介绍及总结了如何利用 Vandermonde 行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式 向量空间等中的简单应用 关键词 行列式 Vandermonde Vandermonde 行列式 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 Analysis of Vandermonde determinant Properties and Applications Abstract Linear algebra and advanced algebra learning the determinant is undoubtedly a key and difficult points it is the follow up course matrix the basis of vector spaces and linear transformations and its calculation with a certain regularity and skill Vandermonde determinant is a very important determinant it constructs a unique beautiful form of special nature is a shining pearl in the determinant To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant and at the same time broaden their mathematical horizons develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial the vector space Keywords Determinant Vandermonde Vandermonde determinant 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 目录 1 引言 1 2 VANDERMONDE 行列式的定义与证法 2 2 1 VANDERMONDE行列式的定义 2 2 2 VANDERMONDE行列式的证法 2 3 VANDERMONDE 行列式的性质 4 3 1 VANDERMONDE行列式的翻转与变形 4 3 2 VANDERMONDE行列式为 0 的充分必要条件 5 3 3 VANDERMONDE行列式推广的性质定理 5 4 VANDERMONDE 行列式的应用 7 4 1 VANDERMONDE行列式在行列式计算中的应用 7 4 1 1 计算准 Vandermonde 行列式 7 4 1 2 计算特殊的行列式 7 4 2 VANDERMONDE行列式在多项式与向量空间中的应用 10 4 2 1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用 10 4 2 2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用 13 5 小结 15 参考文献 16 谢辞 17 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 1 1 1 引言引言 行列式最早出现在 17 世纪关于线性方程组的求解问题中 由日本数学家关孝和 德国数学家莱布尼茨分别发明 而法国数学家范德蒙德 A T Vander monde 1735 1796 对行列式理论做出了连贯的 逻辑的阐述 并命名了著名的 Vandermonde 行列式 后许多数学家如柯西 雅可比 泰勒等对其不断发展完善 做 了进一步的解析与应用 使得 19 世纪中期行列式与向量 矩阵完美融合 时至今日 行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一 是后续课程矩阵 向 量空间和线性变换等的基础 而 vandermonde 行列式在多项式 向量空间 线性方程 组 线性变换 矩阵的特征值与特征向量 微积分等理论中都有大量应用 例如对 Cramer 法则的补充 Lagrange 插值公式的推导 向量空间基的证明 与 Taylor 公式 结合求微积分问题等起了重要的作用 1 而其在简化行列式计算方面 更是灵活巧妙 成为了广大学生的有力工具 出于对 n 阶 vandermonde 行列式其独特的构造 优美的 形式 特殊的性质的好奇与喜爱 我查阅了大量的参考文献后 决定就 Vandermonde 行列式的证法与相关性质 浅谈其在行列式计算 多项式 向量空间中的基本应用 使得对 vandermonde 行列式进一步加深了解与应用 培养自身的科研素养 当然我相 信 随着科技的进步与更多数学家的进一步研究 Vandermonde 行列式这颗璀璨明珠 将会在各领域绽放更耀眼的光芒 2 2 VandermondeVandermonde 行列式的定义与证法行列式的定义与证法 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 2 2 1 Vandermonde 行列式的定义 我们把型如 n V 12 111 12 11 1 n nnn n aaa aaa 的行列式叫做 Vandermonde 行列式 其值为 即 1 ij j i n aa n V 12 111 12 11 1 n nnn n aaa aaa 1 ij j i n aa 其中表示这个数的所有可能的差 的乘 1 ij j i n aa 12 n a aan ij aa 1jin 积 2 2n 2 2 Vandermonde 行列式的证法 方法一 消元法 降阶法 3 证明 从第行开始 每一行加上前一行的倍 根据行列式的性质可知行列n 1 a 式的值不变 此时有 n V 0 0 0 11 11 1 2 11 2 112 2 2 1 3 11 3 112 3 2 11112 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa n n nn n n n n n nn n n n nn 再按行列式首项展开得 1 n V 1 2 11 2 112 2 2 1 3 11 3 112 3 2 11112 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa n n nn n n n n n nn n n n nn 各列提公因式得 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 3 n V 21111 nn aaaaaa 231 3333 231 2222 231 11 11 nn nnnn nn nnnn nn aaaa aaaa aaaa 注意到行列式是阶 Vandermonde 行列式 即已经 231 3333 231 2222 231 11 11 nn nnnn nn nnnn nn aaaa aaaa aaaa 1n 1 n V 将用表示出来 降了一阶 并且少了一元 重复用上述方法对再进行求解 n V 1 n V 1 a 1 n V 经过有限步则可以得到 1n V 21 aa 111 nn aaaa 32122 nn aaaaaa 1nn aa 即证 1 ij j i n aa 方法二 数学归纳法 4 证明 1 当时 成立 2n 221 12 1 1 Vaa aa 2 假设对于阶成立 则对于阶 首先构造一个辅助的 n 阶行列式 1n n 11 n 1 1 2 1 1 22 1 2 2 2 1 121 1 1 1 1 n n nn n n x xaaa xaaa xaaa V 显然 将按第 n 列展开 得 n a VV n x V 1 x V n A1x n A2 2 x 1 3 n n xA nn A 其中是行列式中元素的代数余子式 且不含 2 1 niAin x V 2 1 1 nixa i in 因此可知是一个 n 1 次的多项式 它的最高次的系数是 按定义知x x V 1 n x nn A 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 4 另一方面 根据行列式的性质知是的 n 1 个根 11 1 nn nn nn VVA 121 n aaa x V 根据多项式的理论 得 1211 nnx axaxaxVV 取代入 得 n ax 1211 nnnnnx aaaaaaVV 即 1211 nnnnnn aaaaaaVV 根据归纳假设 因此 1 n V 11 ij j i n aa n V 1 ij j i n aa 由 1 2 结论得证 3 3 VandermondeVandermonde 行列式的性质行列式的性质 3 1 Vandermonde 行列式的翻转与变形 n V 12 111 12 11 1 n nnn n xxx xxx 1 将 Vandermonde 行列式逆时针旋转 得90 1 1 1 11 2 1 11 1 1 1 1 n nn nn n nn n n xx xx V xx 2 将 Vandermonde 行列式顺时针旋转 得90 1 11 1 1 22 2 1 1 1 1 1 n nn n n n nn xx xx V xx 3 将 Vandermonde 行列式旋转 得180 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 5 111 11 11 111 nnn nn n n xxx V xxx 3 2 Vandermonde 行列式为 0 的充分必要条件 一个 Vandermonde 行列式为 0 的充分必要条件是 12 111 12 11 1 n nnn n aaa aaa 这 n 个数中至少有两个相等 12 n a aa 3 3 Vandermonde 行列式推广的性质定理 行列式 k 0 1 2 n 1 n k V 12 222 12 111 12 111 12 12 11 1 n n kkk n kkk n nnn n xxx xxx xxx xxx xxx 12 12 n k n k ppp p pp x xx V 其中符号 中的下标 n 表示 n 阶行列式 k 表示仅缺少的 k 次方幂元 n k V 素行 是中 个数的一个正序排列 表示对所有 12 n k p pp 1 2 nnk 12 n k p pp 阶排列求和 5 nk 1 x x ij j i n V 证明 i 在行列式中增补第 行和 列相应的元素 1 2 n kn Vx xx1k 1n 考虑 阶 Vandermonde 行列式1n 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 6 12 1111 12 12 12 1111 12 12 11 11 n kkkk n nkkkk n kkkk n nnnn n xxxx xxxx f xV x xxx xxxx xxxx xxxx 213111 n xxxxxxxx 2223 xxxxxx n 11 nnn xxxx n xx 12 n xxxxxx 1 ij j i n xx ii 由上式的两端分别计算多项式中项的系数 在上式左端 由行列式 k x 计算的系数为 行列式中该元素对应的代数余子式 在上式右端 由 k x 1 k n n k V 多项式计算知为的个不同根 根据根与系数的关系 项的系 12 n x xx 0f x n k x 数为 k 0 1 2 n 1 1 n k n k a 12 12 n k n k ppp ppp x xx 1 x x ij j i n 其中是 1 2 中 个数的一个正序排列 表示对所有 12 n k p pp nnk 12 n k ppp 阶排列求和 nk iii 比较中项的系数 计算行列式 因为 式左右两端项系数 xf k x kn V k x 应该相等 所以 1 k n kn V 1 n k 12 12 n k n k ppp ppp x xx 1 x x ij j i n 则 k 0 1 2 n 1 12 12 n k n k n kppp ppp Vx xx 1 x x ij j i n 12 12 n k n k ppp p pp x xx V 定理得证 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 7 4 4 VandermondeVandermonde 行列式的应用行列式的应用 4 1 Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用 4 1 1 计算准 Vandermonde 行列式 利用 Vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准 Vandermonde 行列式 缺行的 Vandermonde 行列式也叫做超 Vandermonde 行列式或准 Vandermon de 行列式 简便易行 6 特别地 当时 令 1 即为 Vandermonde 行kn 0 p n k V 列式 n V 例 1 计算准 Vandermonde 行列式 123456 222222 123456 6 3 444444 123456 555555 123456 666666 123456 111111 aaaaaa aaaaaa V aaaaaa aaaaaa aaaaaa 解 由定理 6 3 所以nk 123 123 6 3 ppp p p p Va a a 61 ij ji aa 123124456 a a aa a aa a a 61 ij ji aa 4 1 2 计算特殊的行列式 Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用 除了应用其推广的性质定理来计算 各阶准 Vandermonde 行列式之外 还可以用以下一些方法来计算某些类似 Vandermonde 行列式的特殊的行列式 1 法一 所给行列式各行 列 都是某元素的不同方幂 但其方幂次数或其排列 与 Vandermonde 行列式不完全相同 需利用行列的性质 如提取公因式 调换各行 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 8 列 的次序等 将其化为 Vandermonde 行列式 7 例 2 计算 n 阶行列式 n n n nnn D 2 2 222 111 解 n D 12 12 1 2221 1111 n n nnn n 1 13 12 nn 1 2 24 23 nnn n 1 n 2 n 2 1 2 法二 利用行列式性质 改变原行列式中的元素 产生以新元素为行 列 的 Vandermonde 行列式 例 3 计算阶行列式 1 n n n n nnn n nn n n n n nnnnn nnnnn n bbababaa bbababaa bbababaa D 1 1 11 2 1 2 11 1 11 2 1 22 2 2 2 22 1 22 1 1 11 2 1 2 11 1 11 1 其中 0 i b0 i a1 2 1 ni 解 提取各行的公因式 得 1 n D Vandermonde 行列式 n n nn n aaaD 211 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 9 上式右端的行列式是以新元素为列元素的 阶 Vandermonde 行列式 1 1 2 2 1 1 n n a b a b a b 1 n 所以 1 n D n n nn aaa 21 11 nij j j i i a b a b 3 法三 如阶行列式的第 行 列 由两个分行 列 所组成 其中任意相n n Di 邻两行 列 均含有相同分行 列 且中含有个分行 列 组成的 n Dn Vandermonde 行列式 那么将的第 行 列 乘以 加到 行 列 n Di 1 1 i 消除一些分行 列 即可化成 Vandermonde 行列式 8 例 4 计算行列式 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 3 2 22 1 3 1 2 4 2 43 2 32 2 21 2 1 4321 sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsinsinsin sin1sin1sin1sin1 1111 解 在 的第 2 行中去掉与第一行成比例的分行 得到 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 3 2 22 1 3 1 2 4 2 43 2 32 2 21 2 1 4321 sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsin 1111 在上面行列式的第 3 行中去掉与第 2 行成比例的分行 得到一个新的行列式 在此新 行列式的第 4 行中去掉与第 3 行成比例的分行 得 4 4 3 3 3 2 32 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4321 sinsinsinsin sinsinsinsin sinsinsinsin 1111 41 sin sin ij ji 4 法四 行列式中其他各行 列 都是元素的不同方幂 只有一行 列 的元素 不是相应元素的零次幂 即该行 列 元素都不是 1 而是各行 列 元素的函数 利用行列式的性质将这一行 列 元素化为全是 1 的元素 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 10 例 5 证明 3 baaccb cba cba 222 证明 将 的第 1 行加到第 3 行上 得到 3 3 cbacbacba cba cba 222 222 111 cba cbacba bcacabcba 4 2 Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用 在线性方程组中 Cramer 法则有着非常重要的作用 它给出了一类重要的线性方 程组的解的存在唯一性 而在许多行列式的计算与证明中 Vandermonde 行列式又是 一个十分重要的行列式 两个如此 重要 的数学元素相结合 其产生的作用将更重 要 Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用 主要就是结合 Cramer 法则来 证明相关的问题 9 下面一起来看几个典型的例子 4 2 1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用 例 6 证明一个 n 次多项式至多有 n 个互异的根 证明 用反证法 设有 n 1 个互异的根 分别为 n nx axaxaaxf 2 210 则有 121 n xxx 0 2 210 n iniii xaxaxaaxf 11 ni 即 0 0 0 12 2 1110 22 2 2120 12 2 1110 n n nnn n n n n axaxaxa axaxaxa axaxaxa 这个关于的齐次线性方程组的系数行列式是一个 n aaa 10 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 11 Vandermonde 行列式 则由 Cramer 法0 1 1 1 11 1 2 1 2 2 22 1 2 11 nij ji n nnn n n xx xxx xxx xxx 则知该方程组只有零解 即 而 n 次多项式的0 210 n aaaa xf 最高次项的系数是不为零的 这个矛盾表明至多有 n 个互异的根 n a xf 例 7 设多项式 n k n kk xaxaxaxf 21 21 0 i a 则不可能有非零且重数大于的根 ji kk ji 2 1 nji xf1 n 证明 用反证法 设是的重数大于的根 则0 xf1 n 0 0 0 1 n fff 进而有 0 0 0 1 1 nn fff 即 0 2 1 2 1 2 1 0 0 21 21 21 22221111 2211 21 n n n k nnnn kk k nn kk k n kk ankkk ankkkankkk akakak aaa 把上式看作是以为未知量的齐次线性方程组 则其 n k n kk aaa 21 21 系数行列式为 2 1 2 1 2 1 1 1 1 111 222111 2211 21 nkkknkkknkkk kkkkkk kkk nnn nn n 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 12 11 2 1 1 21 111 n n nn n kkk kkk nij ji kk 1 0 由 Cramer 法则知上面的齐次线性方程组只有零解 从而 2 1 0nia k i 因为 所以必须 这与假设矛盾 故 没有非零且重数大于0 i a0 0 xf 的根 1 n 例 8 证明 对于平面上 n 个点 互不相等 必存 ii ba n aaani 1 21 在唯一的一个次数不超过 n 1 的多项式通过这 n 个点 xf 即 ii baf 1 ni 分析 要证明 n 个等式成立 也就是要证明 n 个方程组成的方程组有解 很自然 地会想到 Cramer 法则 再根据系数行列式的特点 考虑用 Vandermonde 行列式的结 论 证明 设 nn nn cxcxcxcxf 1 2 2 1 1 要使 即满足关于的线性方程组 1 nibaf ii n ccc 21 nnnn n n n n nn nn nn nn bccacaca bccacaca bccacaca 12 2 1 1 2122 2 21 1 2 1112 2 11 1 1 该方程组的系数行列式为 Vandermonde 行列式 1 1 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n n n nn nn aaa aaa aaa 当互不相等时 该行列式不为 0 由 Cramer 法则知方程组有唯一解 n aaa 21 即对于平面上 n 个点 互不相等 必存在唯一的一个 ii ba n aaani 1 21 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 13 次数不超过 n 1 的多项式通过这 n 个点 xf 4 2 2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用 例 9 设是互不相同的实数 证明向量组 n ttt 21 12 1 n iii ttt i 1 2 n 是 n 维向量空间中的一个基 n R 证明 只需证明线性无关即可 12 1 n iii ttt 令 因为是互不相同的实数 12 1 2 2 22 1 1 2 11 2 1 1 1 1 n mmm n n nttt ttt ttt a a a A n ttt 21 所以 0 1 nij ji T ttAA 故 i 1 2 n 线性无关 是 n 维向量空间中的一个基 12 1 n iii ttt n R 例 10 C a b f x f x 是定义在 a b 上的连续实函数 证明 C a b 是 R 上的向 量空间 证明 我们知道 C a b 是 R 上的无限维向量空间 要证该结论 只需对任意的 正整数 n 可证得线性无关即可 n xxx 1 2 设 使得Rkkkk n 210 0 2 210 n nx kxkxkk 取 n 1 个实数 使得 则由上式知 121 n ccc bccca n 121 0 0 0 1 2 12110 2 2 22210 1 2 12110 n nnnn n n n n ckckckk ckckckk ckckckk 即 其中A 0 0 0 1 0 n k k k n nnn n n ccc ccc ccc A 1 2 11 2 2 22 1 2 11 1 1 1 宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文 14 而 则可逆 用左乘 的两端 0 det 11 nij ji ccAAA 1 AA 0 0 0 1 0 n k k k 得 所以线性无关 0 210 n kkkk n xxx 1 2 故 C a b 是 R 上的向量空间 且是 R 上的无限维向量空间 例 11 设 即的维数为 n 存在集合 使含无穷多个0dim nV F VVS S 向量 且中任意 n 个不同的向量都是的一个基 SV 证明 设是的一个基 n 21 V 令 FkkkkS n n 1 3 2 21 让互不相同 则 n n k kkk 1 3 2 21 n kkk 21 11 2 1 1 22 2 2 1 21 21 1 1 1 21 n n nn n n nkkk kkk kkk kkk n 由于 其行列式是 Vandermonde 行列式 11 2 1 1 22 2 2 1 21 1 1 1 n n nn n n kkk kkk kkk T 即 故线性无关 是的一个基 且0 det 1 nij ji kkTT 21n kkk V 中含无穷多个向量 S 当然 Van