解题教学如何把知识转化为能力——以《数列中的整数解问题》一课为例.doc

解题教学如何把知识转化为能力以数列中的整数解问题一课为例 王思俭 (江苏省苏州中学，215007) 数学教学的任务不仅仅是传授知识，更应该是使学生养成自主学习的习惯和提高解决问题的能力，让知识成为认识事物、解决问题的利器尤其在解题教学中（近年来的数学高考也特别强调能力立意）。但现实情况是：学生的数学学习态度不容乐观，总是依赖于教师的讲解，依赖于参考答案，跟着教师或答案走而没有自己的想法；数学解题教学也总是有其量而无其质，因此出现了“讲过练过未必会做，没讲没练一定不会”的怪现象。所以，我们应该探讨如何把数学知识转化为学生的能力尤其在解题教学中。下面以笔者面向苏州市优秀骨干教师开设的高三解题教学公开课数列中的整数解问题为例，谈谈这方面的思考。 一、起点要低 解题教学中，所设计的问题要针对学生的薄弱环节，最好是结合作业、考试等反馈渠道发现的问题；要有基础性、联系性和层次性，最好是从教材题人手，演变到高考题。但目前的解题教学中，不论是新授课还是复习课，很多教师都倾向于让高考真题、模拟题以及各类辅导资料中的题目充满整个课堂，而对教材上的题目不屑一顾。这也造成了课堂上解题量大，但“堆砌”拔高”的问题严重，缺乏学生独立思考的时空保证、思维过程的慢化引领、数学表述的精致提升、思想方法的有机渗透、源流变化的清晰展示，导致学生解题的灵活性和迁移能力得不到有效提高。 【片段1】 师数列是高中数学的重要内容，通项公式、前n项和中都含有正整数n的问题。但很多同学对这类问题往往束手无策。 （板书课题）这节课我们就专门研究“数列中的整数解问题”。先来看一个教材中的已知通项的问题。 （教师出示考点展示题1：数列(an）的通项公式为Cn=n2+3n+2，nNx，若am=56，则正整数m=_。学生直接解二次方程求得结果。） 师二次方程太简单了，现在我们把问题变一变。 （教师出示变式：数列(an）的通项公式为an=n3+3n+2，nNx，则56是该数列中的项吗？若是，它是第几项？若不是，请说明理由。） 师灵活运用正整数的性质，这个方法最为简洁明了！在平时的计算中，我们要学会估算。再来看一个简单的等差数列问题。 （教师出示考点展示题2：若一个等差数列的前3项和为3，最后3项和为30，且所有项和为99，则这个数列有项。一些学生利用等差数列的对称性解决，另一些学生将连续的三项组成新的等差数列解决。） 师很好！直接运用首尾相加的对称性也不复杂，现在我们把问题变一变。 师她是利用等差数列前n项和公式的特征进行解题的。当然，他们都利用了正整数的性质。 这里，课题是根据学生学习和解题中暴露的问题和难点所设计的。考点展示题和变式都具有很好的基础性，体现了这类问题各种变化下的基本特征和思路分别为要求的（也可是要证的）通常与数列的项数（也可能是数列中其他给定的正整数）有关，通常可以转化（归结）为求方程的正整数解。而且，考点展示题和变式之间也具有很好的层次性，即考点展示题1中得到的方程为一元二次方程且只有一个正整数解，考点展示题1的变式中得到的方程为一元三次方程且没有正整数解；考点展示题2中得到的方程为一元一次方程且只有一个正整数解，考点展示题2的变式中得到的方程为二元分式方程且有多个正整数解从有固定求解方法的方程到没有固定求解方法的方程，从解确定的方程到解不定的方程。类似的联系性和层次性，还体现在了这几道引题与后面（教学片段2、3、4中）的例题及其变式之间。 此外，值得一提的是，对于有一定难度的变式，教师在教学中通过不断的追问引导学生的思路，加深、拓宽学生的思考，渗透了从特殊到一般、从形到数、对称、转化的思想方法，提升了学生知识迁移和问题分析的能力。类似的引领，还体现在了后面的例题及其变式的教学中。 二、立意要高 解题的能力，往往表现为一种灵活性、迁移性。因此，解题教学不能“就题论题”，而要有更高的立意，才能真正地实现教会学生运用所学知识分析问题和解决问题。那么解题教学如何做到“能力立意”？奥苏伯尔指出，影响迁移能力的主要因素是认知结构的清晰度、概括度和巩固度。数学解题的能力一方面概念的实质性联系，这是数学解题的“通性”。数学概念组成了有着丰富联系的结构化体系，其中有一些核心概念是比较重要的“联结点”“生长点”和“控制中心”，体现着数学知识的本质，指引着数学知识的发生、发展。因此，解题教学要加强概念的联系性，凸显核心概念，引导学生从中展开思路。数学解题的能力另一方面具有一般意义的思想方法，这是数学解题的“通法”。思想方法是探索数学知识、解决数学问题的指导思想、基本纲领，从中可以生长出千变万化的技巧、丰富具体的措施。因此，解题教学要揭示思想方法的价值，显化思想方法的引领。当然，根据学生实际和教学要求选编具有“能力立意”的例题进行讲解是基础。 片段2 师我们来看一些高考题的改编题。 师他的推理非常严谨。本题和例1类似，解题的关键是ak+2(ak+ak+l)表示为k的表达式。但是，本题又和例1不同，表示出来后，不是分式结果为整数的情况，而是二次式结果为正整数指数幂的情况，这是等比数列特征的表现；求解时又要利用导数研究函数及其零点，这倒又有点像考点展示题1的变式。 这里，例1是根据xx年高考江苏卷第17题改编的，有着较好的能力立意：考查研究数列的一般过程和方法、求解数列的基本量的方法、通项公式的内涵与价值、表示数列中的项的方法、函数与方程思想、转化与化归思想、求二元不定方程整数解的丰富策略等。变式则将类似的问题迁移到了等比数列背景下。例1当年的得分率很低，从反馈的情况 三、过程要慢 解题能力差，往往表现为“想不到”。而其根本原因往往是，教师为了追求“实惠”，使课堂容量太大，教学节奏太快，强行灌输思考结果，缺少思维过程的展示、体验和引领，缺乏思维方法的渗透、提炼和概括，导致学生在稍有变化的问题情境中，“特技”失灵，“动作”变形，“迁移”无力，灵活性成为“泡影”。要改变这种状况，最佳途径就是给学生足够的时间和适当的平台，放手让学生摸索、尝试、展示、交流，经历“定性定量”“具体抽象”“试验发现猜想论证”等过程，从中获得对“如何思考”的体会和感悟，把感性认识上升为理性认识。值得注意的是，当堂出示题目，能让学生感觉新鲜，有利于学生快速集中精力投入思考，保持高效。 生（众）一个一个解方程，感觉太繁琐了。 师你们先思考要不要将每个m的值都代人再解方程呢？能否把右侧看成一个数，先将q解出来呢？ 师正确。经过大家的共同努力，本题终于被圆满解决了。集体的智慧是强大的。本题和例1有什么区别和联系？ 生本题是例1的进一步变化。分母由一次式变成了二次式，而分子直接是常数。 生分母中的变量还由整数变成了有理数。 师所以其初步的取值情况，不能通过整除性质，而要利用已知范围来确定。 这里的例2与前面例1及考点展示题2的变式有很多类似的地方，因此，教师不做任何提示，而让学生充分摸索、尝试、展示、交流，发现问题并纠正。直到学生掉进“l+q+q2=1或13”的陷阱而没有发觉，教师也没有直接地否定，或正面地引导，而是从反面间接地提醒，引导学生要换一个角度深入思考。这使得学生经历了从苦思冥想到豁然开朗的过程，学会了寻找解题思路。学生走出陷阱后，教师依旧不作任何提示，而让学生自己思考新的思路。学生获得正确的思路后，教师才提醒学生简化运算的技巧和条件运用的注意点，并继续让学生展示。这使得学生的思维进一步碰撞出火花，进一步体会到了解题思维的优化方法和注意事项。当学生彻底解决问题后，教师才揭示其与前面题目的区别与联系，以提升学生的认识。最后，教师让学生自主完成一个类似的变式，及时巩固之前的思维方法。这样的教学，较好地体现了潜移默化、润物无声的“慢工”。 四、结果要悟 让学生在不断的反思中获得感悟，是落实思维教学、提升解题能力的关键。对于数学解题的结果，要引导学生进一步反思并归纳提炼、抽象概括，发现更多的数学现象和规律并用数学语言表达和刻画，从中不断感悟数学核心概念的本质和数学思想方法的真谛，体会数学解题和思考的乐趣以及数学研究的方法。这是对学生认识的进一步深华，也是对学生思维的进一步训练，解题能力、创造力的培养便蕴含在其中。 师你们知道证明等差数列的方法有哪些吗？ 生定义法、通项公式法、递推公式法。 师没错。定义法是基础，另外两种方法都是它的变形。此题要求的是通项公式，直觉告诉我们应该从定义或递推公式到通项公式，而不是反过来。相邻两项的 师待定系数法就是方程思想的体现。其实，这个方程中的n是已知的，x、y才是的。也就是说，它还是一个二元方程。生对，求出来的x、y是用n表示的。还是用例1的思路，把一个数用另一个数表示出来，然后利用整数的性质求解。 生推广后的问题实质上就是裂项求和。 师这两位同学都讲得非常好！你们的发现出乎我的预料。（稍停）你们有没有继续思考：一个数列能否拆成两个具有同样性质数列的和？ （教师出示xx年高考江苏卷第20题： 师这便是今天留给同学们的课后思考题。 （教师引导学生总结一下本节课解决的主要问题，复习的重点内容、思想方法以及存在的困惑。然后，下课。） 这里，例3的呈现别出心裁。学生解决完简单的第(1)小题后，并不知道后面的问题是什么，教师则引导学生根据结果反思条件的形成过程，并从中发现一般性的结论，悟出概括性的本质，从而创造性地提出第