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几何概型 回顾复习 3 下面是运动会射箭比赛的靶面 靶面半径为10cm 黄心半径为1cm 现一人随机射箭 假设每箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 请问射中黄心的概率是多少 设 射中黄心 为事件A 不是为古典概型 问题一 4 500ml水样中有一只草履虫 从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察 问发现草履虫的概率 设 在2ml水样中发现草履虫 为事件A 不是古典概型 问题2 5 某人在7 00 8 00任一时刻随机到达单位 问此人在7 00 7 10到达单位的概率 问此人在7 50 8 00到达单位的概率 设 某人在7 00 7 10到达单位 为事件A 不是古典概型 问题3 6 类比古典概型 这些实验有什么特点 概率如何计算 1比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 随机射箭 假设每箭都能中靶 射中黄心的概率 2500ml水样中有一只草履虫 从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察 发现草履虫的概率 3某人在7 00 8 00任一时刻随机到达单位 此人在7 00 7 10到达单位的概率 探究 7 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积和体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 几何概型的特点 1 基本事件有无限多个 2 基本事件发生是等可能的 几何概型定义 8 在几何概型中 事件A的概率的计算公式如下 问题 1 x的取值是区间 1 4 中的整数 任取一个x的值 求 取得值大于2 的概率 古典概型P 3 4 2 x的取值是区间 1 4 中的实数 任取一个x的值 求 取得值大于2 的概率 1 2 3 几何概型P 2 3 4 总长度3 问题3 有根绳子长为3米 拉直后任意剪成两段 每段不小于1米的概率是多少 P A 1 3 思考 怎么把随机事件转化为线段 例2 1 x和y取值都是区间 1 4 中的整数 任取一个x的值和一个y的值 求 x y 1 的概率 1234x 1 2 3 4 y 古典概型 1 P 3 8 例2 2 x和y取值都是区间 1 4 中的实数 任取一个x的值和一个y的值 求 x y 1 的概率 1234x 1 2 3 4 y 几何概型 1 作直线x y 1 P 2 9 A B C D E F 13 1 两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子 并在绳子上挂一盏灯 求灯与两端距离都大于3m的概率 练一练 解 记 灯与两端距离都大于3m 为事件A 由于绳长8m 当挂灯位置介于中间2m时 事件A发生 于是 14 例4 取一个边长为2a的正方形及其内切圆 随机向正方形内丢一粒豆子 求豆子落入圆内的概率 数学应用 数学应用 五 讲解例题 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 法一 利用 50 60 时间段所占的面积 解 设A 等待的时间不多于10分钟 事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内发生 答 等待的时间不多于10分钟的概率为 五 讲解例题 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 法二 利用利用 50 60 时间段所占的弧长 解 设A 等待的时间不多于10分钟 事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内发生 答 等待的时间不多于10分钟的概率为 五 讲解例题 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 法三 利用 50 60 时间段所占的圆心角 解 设A 等待的时间不多于10分钟 事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内发生 答 等待的时间不多于10分钟的概率为 3 在1000mL的水中有一个草履虫 现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察 发现草履虫的概率 0 002 2 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油 如果在海域中任意点钻探 钻到油层面的概率 0 004 应用巩固 1 在区间 0 10 内的所有实数中随机取一个实数a 则这个实数a 7的概率为 0 3 古典概型 几何概型 相同 区别 求解方法 基本事件个数的有限性 基本事件发生的等可能性 基本事件发生的等可能性 基本事件个数的无限性 七 课堂小结 几何概型的概率公式 列举法 几何测度法 用几何概型解决实际问题的方法 1 选择适当的观察角度 转化为几何概型 2 把基本事件转化为与之对应区域的长度 面积 体积 3 把随机事件A转化为与之对应区域的长度 面积 体积 4 利用几何概率公式计算 七 课堂小结 21 1 公共汽车在0 5分钟内随机地到达车站 求汽车在1 3分钟之间到达的概率 分析 将0 5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段 则1 3分钟是这一线段中的2个单位长度 解 设 汽车在1 3分钟之间到达 为事件A 则 所以 汽车在1 3分钟之间到达 的概率为 练习 22 1 豆子落在红色区域 2 豆子落在黄色区域 3 豆子落在绿色区域 4 豆子落在红色或绿色区域 5 豆子落在黄色或绿色区域 2 一张方桌的图案如图所示 将一颗豆子随机地扔到桌面上 假设豆子不落在线上 求下列事件的概率 23 3 取一根长为3米的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大 解 如上图 记 剪得两段绳子长都不小于1m 为事件A 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一 所以事件A发生的概率P A 1 3 3m 1m 1m 练习 24 4 在等腰直角三角形ABC中 在斜边AB上任取一点M 求AM小于AC的概率 分析 点M随机地落在线段AB上 故线段AB为区域D 当点M位于图中的线段AC 上时 AM AC 故线段AC 即为区域d 解 在AB上截取AC AC 于是P AM AC P AM AC 则AM小于AC的概率为 练习 25 解 如图 当P所在的区域为正方形ABCD的内部 含边界 满足x2 y2 4的点的区域为以原点为圆心 2为半径的圆的外部 含边界 故所求概率 26 5 在半径为1的圆上随机地取两点 连成一条线 则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少 B C D E 0 解 记事件A 弦长超过圆内接等边三角形的边长 取圆内接等边三角形BCD的顶点