高等代数期末考试卷

10 11 学年第一学期厦门大学 高等代数 期末试卷 1 厦门大学 高等代数厦门大学 高等代数 课程试卷 课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师 杜妮 林主考教师 杜妮 林鹭 鹭 试卷类型 试卷类型 A 卷 卷 2011 1 13 一 单选题 32 分 共 8 题 每题 4 分 1 设b 为 3 维行向量 123123 V x x xx x xb 则 C A 对任意的b V 均是线性空间 B 对任意的b V 均不是线性空间 C 只有当 0 b 时 V 是线性空间 D 只有当 0 b 时 V 是线性空间 2 已知向量组 I 12 s 可以由向量组 II 12 t 线性表示 则下列叙述正确的是 A A 若向量组 I 线性无关 则st B 若向量组 I 线性相关 则st C 若向量组 II 线性无关 则st D 若向量组 II 线性相关 则st 3 设非齐次线性方程组AX 中未定元个数为 n 方程个数为 m 系数矩阵 A 的秩为 r 则 D A 当rn 时 方程组AX 有无穷多解 B 当rn 时 方程组AX 有唯一解 C 当rm 时 方程组AX 有解 D 当rm 时 方程组AX 有解 4 设 A是m n 阶矩阵 B 是nm 阶矩阵 且ABI 则 A A r Am r Bm B r Am r Bn C r An r Bm D r An r Bn 5 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换 在基 123 下的表示矩阵是 111 101 111 则 在基 123 2 下的表示矩阵是 C A 121 202 121 B 1 2 11 22 1 2 11 0 11 C 11 22 121 0 121 D 1 2 1 2 11 202 11 6 设 是 V 到 U 的线性映射 dimV dimU nm 若mn 则 0 AB x 选填 必有 未必有 非零解 必有 5 设 12 n 12 n 是V 的两组基 1212 nn P 又若 V 中向量 在基 12 n 下的坐标向量是X 则 在基 12 n 下的坐标向量是 PX QQ374289236 10 11 学年第一学期厦门大学 高等代数 期末试卷 3 6 设 1 V 2 V 都 是 n 维 线 性 空 间 V 的 子 空 间 且 121 dim V V dimV1 则 212 dimVdim VV 1 7 设 是V 到 U 的线性映射 且 12312 010 001 其中 123 12 分别 是 V 和 U 的一组基 则Ker Im 1 L U 或 12 L 8 设 01 10 A 由XAX 定义了 2 1 R 上的线性变换 则 的不变子空间是 0 2 1 R 三 6 分 设向量组 123 是齐次线性方程组 0 AX 的一个基础解系 问下列向量组 123 2 123 22 123 是否也是齐次线性方程组 0 AX 的一个基础解系 为 什么 解 法一 123123123123 121 2 22 211 121 121 2110 121 故不 是基础解系 法二 因 121 21123 121 r 表明它们线性相关 故不是基础解系 法三 因 123123123 23 22 故不是基础解系 四 10 分 设 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换 是 V 中一个向量 且满足 1 0 n 0 n 证明 1 n 是 V 的一组基 并求 在这组基下的表示矩阵 证明 因 1 n 的个数恰为 V 的维数 因此要证其为 V 的基 仅需证其线性无关即可 事实 上 设 1 011 0 n n kkk 将 1 n 同时作用于 结合已知条件 得 1 0 0 n k 又 1 0 n 故 0 0 k 类似的 将 2 n 3 n 作用于 得 1 0 k 2 0 k 2 0 n k 进而 1 1 0 n n k 由 1 0 n 故 1 0 n k QQ374289236 10 11 学年第一学期厦门大学 高等代数 期末试卷 4 在 1 n 下的表示矩阵 0 10 10 五 10 分 设 A是 n 阶方阵且 r Ar 求证 2 AA 的充要条件是存在n r 矩阵S 和rn 矩阵 T 使得AST r TSI r Sr Tr 证明 充分性 直接计算 2 ASTSTSITA 必要性 对矩阵 A 存在可逆矩阵 P Q 使得 0 00 rr r II APQPIQ 令 0 r I SP 0 r TIQ 可证 P Q 即为所求 显然 S 和T 分别是n r 矩阵和rn 矩阵 且因 P Q 可逆 所以 r Sr Tr 下证 r TSI 由 2 AA 得 2 000 rrr III PQPQAAPQ 因 P Q 可逆 所以 000 rrr III QP 法一 10 级 尹思文 将 等式两边分别左乘 1 0 r IP 右乘 1 0 r I Q 得 0 0 r rr I IQPI 即 r TSI 法二 10 级 李宏生 王邑良 吉子龙 夏宇静 由 0 0 0 000000 rrrrrr rrrr IIIIII TSIQPIQPII 法三 式 0 0 0 0 00000 rrr rrrr IIITSTS IQPITS II 故 r TSI 必要性 法四 10 级 李荣刚 将 A 视为线性变换 在 n 维线性空间 V 的某基下的表示矩阵 由同 构对应 则 2 设 的秩为 r 1 rn 是Ker 的一组基 将扩成 11 rrn 为 V 的 一组基 则 1 r 线性无关 且可证 11 rrn 是 V 的一组基 事实上 因为 V 的维数是 n 因此只要证明 11 rrn 线性无关即可 设 QQ374289236 10 11 学年第一学期厦门大学 高等代数 期末试卷 5 1111 0 rrrrnn kkkk 将 作用于式子两边 结合 2 得 111111 0 rrrrnnrr kkkkkk 由 1 r 的线性无关性 得 1 0 r kk 进而 1 0 rn kk 因此 1111 0 r rrnrrn I 这说明存在可逆矩阵 P 使得 1 0 r I P AP 令 1 0 0 r r I SPTIP 则 AST r TSI r Sr Tr 法五 10 级 才子佳 高旸 胡丹青 黄步跃 林琴等 因 2 AA 所以存在可逆矩阵 P 使得 1 0 r I APP 另 1 0 0 r r I SPTIP 则 AST r TSI r Sr Tr 主要错误 法二 法三中TSI 没有证明 六 10 分 设 V 是数域 K 上 n 维线性空间 是 V 上线性变换 且 2 0 2 0 V id 其中 V id 是 V 上恒等变换 求证 1 VKerKer 2 V 必是偶数维线性空间 证明 1 对 V 由已知 2 0 2 0 得 2 0 2 0 即 Ker Ker 说明VKerKer 此外 对 KerKer 0 0 由 V id 得 0 说明KerKer0 综上 即得VKerKer 2 法一 设 rr 则dimKer nr 由 1 若 12 r 是 Ker 的一组基 12 rrn 是 Ker 的 一 组 基 则 1212 rrrn 是 V 的 一 组 基 从 而 12 r 线性无关 且由 2 0 知 12 Ker r 意味着rnr 同理 QQ374289236 10 11 学年第一学期厦门大学 高等代数 期末试卷 6 12 rrn 线性无关 且由 2 0 知 12 Ker rrn 意味着 nrr 因此nrr 即 2 nr 法二 10 吴璇 设 12 r 是Ker 的一组基 由于 2 0 所以 Ker 1 i ik 下面证明 12 k 线性无关 事实上 设 1122 0 kk ccc 两边同时作 用 则 1122 0 kk ccc 而 iiii 所以 式即为 1 122 0 kk ccc 从而 0 1 i cik 因 此 12 k 线性无关 故 dimKerdimKer k 同理 dimKerdimKer 从而 dimKerdimKer 则dimVdimKerdimKer2k 为偶数 附加题 10 分 设 是 n 维线性空间 V 上线性变换 且 rrn 证明 存在 V 上可逆变换 使 得 0 证明 法一 设 12 n 是 V 的一组基 和 在该基下的表示矩阵分别是A和B 对 A B分别存在可逆阵 P Q S T 使得 0 0 r I APQ 0 0 k BSIT 令 11 CQ S 则C 可逆 且 0 ABC 定义 V 上线性变换 1212 nn C 则 可逆 且 0 法二 10 侯晓宇 郑鹭鹏 郑鹊 如上设 0 0 p I APQ 0 0 q I BST 令 11 p np q q I CQIS I 法三 10 裴姗姗 设 rr rk 则rkn knr 又设 12 kkn 是Ker 的一组基 将其扩为 V 的一组基 11 kkn 则 1 k 线性无关 记 ii 1 ik 将 1 k 扩为 V 的一组基 11 kkn 再设 11 kkn r 是Ker 的一 QQ374289236 10 11 学年第一学期厦门大学 高等代数 期末试卷 7 组基 将其扩为 V 的一组基 111 kkn rn rn 定义 V 上线性变换 ii 1 in 则 可逆 且 0 法四 10 吴璇 设 rk 即 dimIm k 记 12 k 是 Im 的一组基 扩为 11 kkn 为 V