矩估计.doc

3. 矩估计法矩估计法是求估计量的最古老的也是最直观的方法.它的基本思想就是用样本的平均值去估计总体的数学期望E(X),用样本的统计量 去估计总体的方差D(X), 如下图所示： 构成 矩估计法 样本(X1, X2, Xn) （统计量：样本均值（总体数学期望的估计量） 构成 矩估计法样本(X1, X2, Xn) （统计量：样本方差） （总体方差的估计量）例3.7.1 根据抽样调查,以下是某班10名同学”高等数学”考试成绩,试用矩估计法估计总体的均值和标准差. 63 82 94 71 63 73 92 79 84 85解.设全班的”高等数学”的成绩为X，则其平均成绩为E(X),标准差为.由矩估计法公式有 =(63+82+94+71+63+73+92+79+84+85)/10=78.6, , .例3.7.2 设总体X在-, +上服从均匀分布, 、未知, （X1,X2,Xn）是一个样本,试估计参数和.解. 因为总体X服从-, +上的均匀分布, 而均匀分布的数学期望 E(X)=(+-)/2= ,方差 D(X)=( +-+)2/12=2/3.由上述公式估计: 4. 极大似然估计法在讲解极大似然估计法之前，我们从一个例子入手，了解极大似然估计法的直观想法:设甲箱中有99个白球，1个黑球；乙箱中有1个白球，99个黑球现随机取出一箱，再从中随机取出一球，结果是黑球，这时我们自然更多地相信这个黑球是取自乙箱的因此极大似然估计法就是要选取这样的数值作为参数的估计值，使所选取的样本在被选的总体中出现的可能性为最大.定义.若总体X的密度函数为p(x; 1, 2, k)，其中1, 2, k是未知参数，(X1, X2, Xn)是来自总体X的样本，称 为1,2,k的似然函数其中x1,x2,xn为样本观测值若有使得成立, 则称为j极大似然估计值(j=1,2,k).特别地,当k=1时,似然函数为: 根据微积分中函数极值的原理，要求使得上式成立，只要令 其中L()=L(x1,x2,xn;).解之，所得解为极大似然估计，上式称为似然方程. 又由于与的极值点相同,所以根据情况,也可以求出的解作为极大似然估计.若总体X为离散型随机变量，其概率分布为: P(X=x)=p(x; 1, 2,k)其中1, 2, k为未知参数，同样可以写出似然函数及似然方程.例3.7.3 已知总体X服从泊松分布 (0, x=0,1,)(x1,x2,xn)是从总体X中抽取的一个样本的观测值，试求参数的极大似然估计.解参数的似然函数为 两边取对数: 上式对求导,并令其为0,即 从而得 即样本均值是参数的极大似然估计.例3.7.4 设总体X服从正态分布N(, 2)，试求及2的极大似然估计.解,的似然函数为 似然方程组为 解之得: , .因此及分别是及2的极大似然估计.上面我们介绍了两种求估计量的方法：矩估计法和极大似然估计法.从矩估计法公式我们得到,对正态总体N(, 2)，未知参数的矩估计为,2的矩估计为；而由例3.7.4, , 2的极大似然估计也分别是与.一般地，在相当多的情况下，矩估计与极大似然估计是一致的，但也确有许多情