微积分试题8微信公众号大学生学术墙

微信公众号 大学生学术墙 A 6 1 微积分 微积分 试题及参考答案及评分标准试题及参考答案及评分标准 一 单项选择题 选择一个正确答案写在答题纸上 共 16 分 每题 2 分 1 下列函数中为偶函数的有 A xxxfsin 3 B 1 3 xxf C xx aaxf D xxxfsin 2 2 下列函数中 当x 0 时与无穷小量x相比是高阶无穷小的是 A sinxB 1 cosxC xD x x 2 3 已知 0 2fx 则 2 lim 00 0 xfxxf x x A 4 1 B 4 1 C 1D 1 4 极限xx x sinlim A 是无穷大B 不存在 但不是无穷大 C 为 0D 为 1 5 设函数 xf在区间 ba内满足0 x f且0 x f 则函数在此区间内 是 A 单调减少且凹的B 单调减少且凸的 C 单调增加且凹的D 单调增加且凸的 6 若 xf为二次可微的偶函数 且0 x f 则0 x为 xf的 A 极大值点B 极小值点C 极值点D 非极值点 7 已知 xxxfd sinx c 则f x 为 A x xsin B xsinxC x xcos D xcosx 8 下列命题正确的是 A 单调函数的原函数是单调函数B 周期函数的原函数是周期函数 C 奇函数的原函数是偶函数D 偶函数的原函数是奇函数 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 A 6 2 二 填空题 将答案写在答题纸上 共 14 分 每题 2 分 1 0 lnsin5 lim lnsin3 x x x 2 x xxf 1 cossin 在0 x处无定义 要使它在0 x处连续 应补充定义 0f 3 dxxf 4 f x在点 0 x可导是 f x在点 0 x可微的条件 是 f x在点 0 x连续的 条件 5 设函数 xf在闭区间 ba上连续 在开区间 ba内可导 由中值定理可 知至少存在一点 ba 使得 成立 6 设函数 xfy 的导数为 x f x f 0 则其反函数的导数为 7 设函数 xf在点 0 xx 的某一个邻域内有定义 若满足 则称函数 xf在 0 x点连续 三 判断题 正确的划 错误的划 写在答题纸上 共 10 分 每 题 2 分 1 若 0 lim xx f x 不存在 则 0 2 lim xx fx 也不存在 2 若 f x在 0 x处左 右导数存在 则 f x在 0 x处可导 3 若 xf在 ba上可积 则 xfdxxf dx d 4 若 xf在 0 x连续 g x 在 0 x不连续 则f x g x 在 0 x必不连续 5 在闭区间上有间断点的函数不一定有最大值 四 计算题 共 40 分 每题 8 分 1 求极限 0 11 lim ln 1 x xx 2 计算不定积分 dxe x 1 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 A 6 3 3 设 x x y 2 2 e 2 cos 求yd 4 求不定积分dxxx cos 2 5 2 lnsinyx 求 dy dx 五 解答 综合应用题 共 20 分 第 1 2 题 6 分 第 3 题 8 分 1 直线xayaa 1 2 0 a与 x 轴 y 轴围成一个三角形 当a为何 值时 三角形面积最大 2 求cos2yx 的n阶导数 3 设函数 xf在区间 ba 上连续 在 ba 内可导 且 0 bfaf试证 在 ba 内至少存在一点 使得 20ff 河北大学课程考核参考答案及评分标准河北大学课程考核参考答案及评分标准 20072007 20082008 学年第一学期 学年第一学期 考核科目考核科目微积分微积分课程类别课程类别必修必修考核方式考核方式闭卷闭卷卷别卷别 A A 一 单项选择题 选择一个正确答案写在答题纸上 共 16 分 每题 2 分 1 A2 B3 A4 B5 D6 C7 C8 C 二 填空题 将答案写在答题纸上 共 14 分 每题 2 分 1 12 03 f xC 其中 C 为常数 4 充分必要 充 分 5 ab afbf f 6 1 x f 7 lim 0 0 xfxf xx 三 判断题 正确的划 错误的划 写在答题纸上 共 10 分 每 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 A 6 4 题 2 分 1 2 3 4 5 四 计算题 共 40 分 每题 8 分 1 解 0 11 lim ln 1 x xx 型 0 ln 1 lim ln 1 x xx xx 0 0 型 2 0 ln 1 lim x xx x 0 1 1 1 lim 2 x x x 1 2 2 解 设1 x te 则 2 2 1 t dxdt t dxe x 1 2 2 211 2 111 t dttdt ttt 1 1 2ln 1 t tC t 2 12ln11 xx eeC 3 解 因为 x xx y 2 22 e2 2 2 sin x x x 2 2 e2 2 sin 所以ydx x x x d e2 2 sin 2 2 4 解 xdxdxxxsincos 22 Cxxxx xdxxxxx xxdxx xdxxxx cos2sin 2 cos2cos2sin cos2sin sin2sin 2 2 2 2 2 分 2 2 分 2 分 2 分 2 分 2 分 4 分 2 分 2 分 2 分 2 分 2 分 2 分 2 分 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 A 6 5 5 解 2 2 1 sin sin dy x dxx 2 2 2 cos sin x x x 2 2 cotxx 五 解答 综合应用题 共 20 分 第 1 2 题 6 分 第 3 题 8 分 1 解 由直线方程xayaa 1 2 令0 x得y轴截距 1 1 2 a y 令0 y得x轴截距ax 所围成三角形面积为 S 1 2 2 1 2 a a xyS 22 2 22 22 1 1 2 1 1 2 21 a a a aa da ds 令0 da ds 有01 2 a 得唯一驻点1 a 因0 a 当10 a时 0 da ds 当1 a时 0 da ds 所以当1 a为极大值点 同时也是最大值点 最大值为 4 1 11 2 1 max S 2 解 1 2sin22cos 2 2 yxx 22 12 2 sin 2 2 cos 2 22 yxx 33 23 2 sin 2 2 cos 2 22 yxx 2 cos 2 2 nn n yx 3 证明 将待证结论两端同乘以 2 e 3 分 2 分 3 分 2 分 1 分 1 分 2 分 2 分 2 分 2 分 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙 A 6 6 于是得 22 20efef 再将其改写为 2 0 x x ef x 构造辅助函数 2x F xef x 则 F x在 a b