大学生数学竞赛辅导讲义

1竞竞竞赛赛赛大大大纲纲纲 本次讲座主要回顾极限理论 连续函数与实数系的基本定理 一元微分学和一元积分学的主要概念 和方法 覆盖竞赛大纲的下列方面 一 集合与函数 实数集R 有理数与无理数的稠密性 实数集的界与确界 确界存在性定理 闭区间套定理 聚点定理 有限覆盖定理 函数 映射概念及其几何意义 隐函数概念 初等函数以及与之相关的性质 二 极限与连续 数列极限 收敛数列的基本性质 极限唯一性 有界性 保号性 不等式性质 数列收敛的条件 Cauchy准则 迫敛性 单调有界原理 数列收敛与其子列收敛的关系 极 限lim 1 1 e及其应用 一元函数极限的定义 函数极限的基本性质 唯一性 局部有界性 保号性 不等式性质 迫 敛性 归结原则和Cauchy收敛准则 两个重要极限lim 0 sin 1 lim 1 1 e及其应 用 计算一元函数极限的各种方法 无穷小量与无穷大量 阶的比较 记号O与o的意义 函数连续与间断 一致连续性 连续函数的局部性质 局部有界性 保号性 有界闭集上连 续函数的性质 有界性 最大值最小值定理 介值定理 一致连续性 三 一元函数微分学 导数及其几何意义 可导与连续的关系 导数的各种计算方法 微分及其几何意义 可微与可 导的关系 一阶微分形式不变性 微分学基本定理 Fermat定理 Rolle定理 Lagrange定理 Cauchy定理 Taylor公式 Peano余 项与Lagrange余项 一元微分学的应用 函数单调性的判别 极值 最大值和最小值 凸函数及其应用 曲线的凹 凸性 拐点 渐近线 函数图象的讨论 洛必达 L Hospital 法则 近似计算 五 一元函数积分学 原函数与不定积分 不定积分的基本计算方法 直接积分法 换元法 分部积分法 有理函 数积分 cos sin d 型 2 d 型 定积分及其几何意义 可积条件 必要条件 充要条件 可积函数类 定积分的性质 关于区间可加性 不等式性质 绝对可积性 定积分第一中值定理 变上限 积分函数 微积分基本定理 N L公式及定积分计算 定积分第二中值定理 微元法 几何应用 平面图形面积 已知截面面积函数的体积 曲线弧长与弧微分 旋转体体 积 其他应用 1 2实实实数数数与与与函函函数数数 实数集R 有理数与无理数的稠密性 函数 映射概念及其几何意义 隐函数概念 初等函数以及 与之相关的性质等内容请自己复习 下面给出两个问题供大家思考 例例例1证明函数 2 0 是初等函数 证 2是初等函数 故 2 0 2 2 cos 2 1 是初等函数 例例例2设 是无理数 Z Z 证明 在R中稠密 请自己给出证明 3极极极限限限 3 1数数数列列列极极极限限限 许多极限问题 都是以研究极限的存在性为中心 这里 我们回顾极限的主要定理和方法 重点看 一些极限存在性的证明题和求极限值的计算题 1 极极极限限限定定定义义义 用定义证明极限的关键在于证明 的存在性 为了使这一过程简单明了 假定 足够大并适当放 大 是常用的技巧 对于一些问题 分段估计 的方法对于解题有帮助 例例例1设lim 求证lim 1 证因为lim 所以对于任给的 0 存在 使得 因此有 1 6 1 1 6 1 1 2 如果你还不知道读什么书 或者想寻找下载阅 读更多书籍 就请您打开微信扫一扫 扫描下 方二维码 关注微信公众号 大学生学术墙 微信直接搜索关注公众号 大学生学术墙 这里是每一位上进的人的家园 大学生学术墙 资料库里有数万本书籍 此外 关注微信公众号 大学生学术 墙 回复 1 回复 资料 即可免费领取 5000G 的书籍库 大学必备笔记 考证资料 四 六级考试 计算机二级考试等资料 2 回复 电影 即可免费在线观看最新上线的热门大片 3 回复 小说 即可免费领取 8500 本著名小说 4 回复 证券 期货 即可免费在行业龙头企业用最低手续费开户 开启你的 投资生涯 你需要的书籍 课件 视频 PPT 简历模板等等一切资源和 资料 都可以在微信公众号 大学生学术墙 回复关键词免费 领取 如果您对金融领域一知半解 想学习金融领域相关知识 提高自身综合投资水平 获取相关金融服务 请关注微信公众号 财醒来 微信直接搜索关注微信公众号 财醒来 您可以获得以下服务 1 私人财富管理咨询服务 您通过公众号添加号主个人微信后 可结 合自身情况咨询私人财富管理服务或者获得产品推荐等 2 公众号每日会分享宏观 股票 期货等二级市场复盘和投资参考 助力您发现投资机会 3 公众号不定期会分享号主自己的投资心得 投资策略等 带给您不 一样的金融评论和金融思维 4 更多功能和服务 如用最低手续费开户 并获得相关投资咨询服 务 敬请在微信公众号 财醒来 上发掘 令 1 则 1 取 max 则当 时 就有 1 0 存在自然数 当 时 就有 时 1 C 2 1 C 2 1时 有 0 C 2 max 1 时 有 0 C 2 0 C 2 1 C 2 0 对任何自然数 存在 使得 0 取 1 则有 1 1使得 1 0 取 1 则有 2 1使得 2 0 取 2 则有 3 2使得 3 0 这样做下去 我们得到数列 的一个子列 这个子列 具有性质 0 1 2 根据极限定义和上述性质可见子列 的任何子列都不收敛于 矛盾 所以必有 收敛于 2 数数数列列列极极极限限限的的的性性性质质质 极限的唯一性 有界性 四则运算性质在解决极限问题时都是常用到的 例例例4设 1 2 收敛 证明 lim 0 证 设lim 1 2 则 lim lim 1 2 1 2 1 lim 1 2 1 1 2 1 1 1 0 例例例5证明数列 sin 发散 证 方法一 反证 设数列 sin 收敛 则由 0 lim sin 2 sin lim 2cos 1 sin1 知数列 cos 1 收敛于0 从而数列 cos 收敛于0 同理 由 0 lim cos 2 cos lim 2sin 1 sin1 知数列 sin 1 收敛于0 从而数列 sin 收敛于0 在sin2 cos2 1两边令 取极 限 得0 1 矛盾 所以数列 sin 发散 方法二 反证 设数列 sin 收敛 极限值记为 对任何自然数 由于 2 4 2 3 4 2 5 4 2 7 4 区间长度都大于1 故存在自然数 2 4 2 3 4 2 4 5 4 2 7 4 数列 sin 和 sin 都是 sin 的子列 于是有lim sin lim sin 由于sin 2 2 故有 2 2 由于sin 2 2 故又有 2 2 矛盾 3 两两两边边边夹夹夹定定定理理理 两边夹定理不仅可以用来证明极限存在 而且经常用于求极限值 例例例6设 0 1 求证 lim 1 2 max 1 2 证不妨设 1 max 1 2 于是对任意 N 都有 1 1 6 1 2 6 1 因为lim 1 故上式两端的极限都是 1 从而由两边夹定理知结论成立 例例例7求lim C 2 提示 使用两边夹定理可以从 1 1 2 2 0 C 2 入手进行放缩 此外 还有使用斯特林公式等其 它解法 答案4 4 单单单调调调收收收敛敛敛定定定理理理 单调收敛定理是一个常用的结果 证明用递推公式给出的数列收敛时常用到它 例例例8设 0 1 1 1 2 求数列 的极限 解因为 1 1 1 1 所以 1 与 1同号 递推得 1 与 2 1同号 由于 2 1 0 所以 递 增 将题目中给出的递推关系式平方得 2 16 解不等式 1 1 4 2 6 6 1 1 4 2 这表明 有界 从而由单调收敛定理知 有极限 设lim 于是在等式 2 1两 端取极限即得 2 解此方程得到 1 1 4 2 5 其中的负根不合题意 舍去 故得 lim 1 1 4 2 例例例9设 满足对任何 有 1 1 2 1 2 证明数列 收敛 证 1 设 由 知 1 2 因此由数学归纳法 得对一切自然数 有 当 1 1 时 有 2 1 1 2 1 设 1 则 1 1 1 1 于是 2 1 1 2 2 1 因此由数学归纳法得对一切自然数 有 1 即 为单减数列 故由单调收敛定理知数 列 收敛 同理 当 1 1 时 可证 为单增数列 同样由单调收敛定理知数列 收敛 例例例10设数列 定义如下 0 1 1 1 1 0 1 2 求证lim 5 1 2 奇数项组成的子列和偶数项组成的子列都具有单调性 可以使用单调收敛定理证明奇数项组成 的子列和偶数项组成的子列都收敛 再说明其极限相等 从而 收敛 最后在递推式两边取极 限就可求得lim 5 1 2 下面我们采用另一种思路来解决本题 思路如下 用数学归纳法可证1 2 1 0 1 2 令 5 1 2 则 1 1 于是 1 1 1 1 1 1 1 4 9 从而可得 0 4 9 0 由两边夹定理得lim 5 极极极限限限lim 1 1 e及及及其其其应应应用用用 6 例例例11证明 1时 有 1 1 1 1 1 1 1 1 于是 1 1 1 上式对 1也成立 故对一切自然数 有 1 1 1 1 3 6 施施施笃笃笃兹兹兹 Stolz 定定定理理理 定定定理理理1设 和 是两个数列 满足下列条件 1 lim 1 1 其中 R或 或 2 数列 严格递增且趋向 则有 lim 施笃兹定理是解决某些极限问题的有力工具 使用中要注意其逆命题不成立 例例例12设0 1 1 1 1 1 2 求证lim 1 证0 1 1 设 0 1 则由 1 1 知 1 0 1 因此由数学归纳法得对 一切自然数 有 0 1 于是 1 1 1 有 1 1 证明数列 收敛 证 由 1 1 2 2 2 1 知对任何自然数 有 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 对任何 0 由lim 1 1 0知存在自然数 使得 时 有 2 1 1 1 时 对任何自然数 有 2 1 1 1 根据柯西收敛原理 数列 收敛 3 2函函函数数数极极极限限限 如果熟练掌握了数列极限的各种方法 那么在函数极限这里就没有太大困难了 我们在下面只看少 量例题 例例例16求lim tan 2 1 解 因为lim 0 tan 1 所以 lim tan 2 1 2 1 1 从而有lim tan 2 1 lim tan 2 1 lim 2 1 lim 2 1 lim 1 1 2 1 2 例例例17设 1 sin 且对任意 有 sin 证明 1 1 8 证 当 0时 由 sin 得 sin 即 1 sin sin 由于sin sin 0 上面的不等式两边令 0取极限 得 1 1 例例例18设函数 是从 到 的映射 且对任何 都有 0 1 求证存在唯一的 使得 证 任取一点 1 令 1 1 2 则 1 1 1 由此可推得 是Cauchy数列 从而收敛 设lim 则 由0 根据两边夹定理得lim 在 1 两边令 取 极限 得 即 是 的一个不动点 唯一性可以用反证法证明 若还有 也是 的不动 点 则 矛盾 注 满足这个例子中的条件的 是 上的一个压缩映射 将来使用上述方法的思想可以证明 更一般的压缩映射原理 归结原则给出了函数极限与数列极限的关系 也是一个常用的结果 在此就不列举归结原则的 例题了 4连连连续续续函函函数数数与与与实实实数数数系系系的的的基基基本本本定定定理理理 4 1连连连续续续函函函数数数 1 连连连续续续与与与间间间断断断 例例例1求作定义域为R且只在点 和 连续而在其余点都不连续的函数 答案 可以有各种构造方法 答案不唯一 一个例子是 其中 是狄利克雷 函数 例例例2设 在 上连续 是 中的点列 lim 证明存在 使 得 9 证 有界 从而有收敛子列 设 收敛于点 则由 1 2 知 由 在点 连续及lim 得 lim 2 连连连续续续函函函数数数的的的局局局部部部性性性质质质与与与初初初等等等函函函数数数的的的连连连续续续性性性 这部分结果都是常用的性质 常在后面解决微分学和积分学的问题中被用到 例例例3设函数 在点 0连续而 在点 0不连续 判断函数 3 3 在点 0是否必不连续 说 明理由 答案 函数 3 3 在点 0必不连续 3 闭闭闭区区区间间间上上上连连连续续续函函函数数数的的的性性性质质质 这是本节复习的重点 有很多有趣的问题和难题 例例例4设函数 在区间 上连续且是单射 证明 在 上严格单调 证用反证法 假设 在 上不是严格单调的 则存在 1 2 3 满足 1 2 2 2 3 于是存在实数 满足 2 0是 的一个周期 则 在 0 上取得最大值 不妨设在 0 0 处取得最大值 则由周期性 0 是 在 上 的最大值 于是 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 由 的介值性 存在 0 1 0 使得 0 即 1 10 例例例6设 在 上可积 1 2 是 个正数 证明对任意 1 2 存在 使得 1 1 d d 0 提示 d 在 上连续 从要证的结论分析如何使用介值定理 例例例7设 在 上连续且lim 求证lim 证 反证 若lim 则存在 0 对任何 0 存在 满足 且 又 在 上有界 故存在 0 使得 当 因此联系上面的结果 知 存在 0 对任何 0 存在 满足 且 所以lim 矛盾 例例例8设 在 连续无上界 对于任意的 在 不取最小值 证明 在 严 格递增 证用反证法 假设 在 上不是严格递增的 则存在 1 2 1 2 i 当 1 2 时 由于 在 连续无上界 而由闭区间上连续函数的有界性知 在 2 有上界 故 必在 2 无上界 于是存在 3 2 使得 3 1 由连续函 数的最大最小值定理 在 1 3 取得最小值 但由于 2 1 3 并且 3 1 2 所以 1 3都不是最小值点 即 在 1 3 取得最小值 这与己知矛盾 ii 当 1 2 时 若对任意的 1 2 有 6 1 2 则表明 在 1 2 取 得最小值 与己知矛盾 若存在 1 1 2 使得 1 1 2 则用 1替代 i 中的 1 同 样得出矛盾 综合 i ii 知 在 严格递增 例例例9设 在 连续 证明 在 一致连续的充分必要条件为lim 与lim 都存 在 证充分性 令 lim lim 11 则 在 连续 由一致连续性定理 在 一致连续 于是 在 一致连续 因 为 时 所以 在 一致连续 必要性 由于 在 一致连续 所以对于任何 0 都存在 0 当 且 时 就有 当 时 显然 于是有 根据函数极限的柯西准则知 lim 存在 同理得 lim 存在 例例例10设函数 在 上连续且 lim 0 都存在 使当 时 就有 0 都存在 0 使当 且 时 就有 2 因此 当 且 时 若 同属于 或 则 2 若 分别属于 和 不妨设 则 2 2 所以当 且 时 总有 0 都存在 使当 时 就有 0 都存在 1 0 使当 1 且 1时 就有 于是令 min 1 1 则当 且 时 同属于 1 或 从 而总有 0 都存在 0 使当 且 时 就有 0 存在自然数 当 时 有 时 有 0 对任何 0 存在 满足 且 0 取 1 1 2 相应的 记为 则 1 且 0 所以lim 0但lim 0 矛盾 这个例题的结果常用来证明函数的不一致连续性 例如证明 sin 在 上不一 致连续 例例例12求使得函数 sin 在 0 一致连续的实数 的取值范围 提示 利用上面几个例题的结果 答案 1 6 6 0 关于一致连续性的一个常用结果是若函数 在区间 可导且导数 在区间 有界 则 在 区间 一致连续 例如 利用这个结果不难证明 arctan 在R上一致连续 13 4 2实实实数数数系系系的的的基基基本本本定定定理理理 单调收敛定理和柯西收敛原理已经在前面复习过了 这里主要来看确界存在原理 闭区间套定理 聚点定理 致密性定理 有限覆盖定理的应用 例例例13设函数 在 上递增且 求证存在点 使得 证 令 则 故 非空 令 sup 则 对任 何 由 的单增性有 从而 是 的一个上界 因此有 另一方面 由 和 的单增性有 因此 于是有 合起来就得到 思考 用区间套定理或其它实数系基本定理来证明上面的结果 例例例14设函数 在 上没有第二类间断点 求证 于 上有界 提示 自己练习用不同的实数系基本定理来证明这个问题 比如 注意到对每一点 由 于函数 有左 右极限 可知 在点 的某个邻域上有界 从而可以使用有限覆盖定理来证明 本题 5一一一元元元微微微分分分学学学 5 1导导导数数数 导数及其几何意义 可导与连续的关系 导数的各种计算方法 微分及其几何意义 可微与可导的 关系 一阶微分形式不变性等内容请自己复习 例例例1设 0 0 4 求 提示 2 2 答案 4 31 例例例2设 在 上两次连续可导且对任意 都有 2 求证 2 其中 都是常数 证 在 2 中令 0 得到 0 2 14 2 两边对 求导 得 2 2 1 2 上式中令 2 得 2 0 0 2 所以综合上面的结果 有 0 2 0 0 0 2 2 5 2导导导数数数的的的应应应用用用 1 微微微分分分中中中值值值定定定理理理 罗尔定理可用来证明方程的根的存在性 例例例3设 1 2 为实数 求证函数 1cos 2cos2 cos 在 0 内必 有零点 证令 1sin 2 2 sin2 sin 则 在 0 可导且对任何 0 有 因为 0 0 所以由罗尔定理 存在 0 使得 0 即 0 在下面的例题中 要先构造辅助函数 再使用罗尔定理 解决这样的问题时 辅助函数的构造 有时需要一点技巧 例例例4设 在 0 1 上 次连续可导 在 0 1 中 1次可导 且 0 1 0 0 1 2 证明存在 0 1 使得 1 证 令 1 0 1 则 在 0 1 上连 续 在 0 1 上可导 且 1 由于 0 1 0 根据Rolle定理 存在 0 1 使得 0 从而有 1 15 例例例5设 在 0 1 可微 0 0 1 1 证明对任意 个正数 1 2 在 0 1 内存 在 个不同的数 1 2 使得 1 1 提示 令 1 由介值定理可推出存在0 0 1 2 1 1使 得 1 1 1 于是由拉格朗日中值定理知存在 1 使 得 1 1 1 例例例6设 在 两次连续可微 对任意实数 有 6 1 且 0 2 0 2 4 证 明存在一点 使得 0 提示 令 2 2 则 0 4 由格朗日中值定理可得存在 2 0 0 2 使得 6 1 6 1 由此得到存在一点 使得 在 处取得 上的最 大值 不难验证这个 满足要求 例例例7设 在 上可微 0 证明存在 使得 1 分析 要证的式子等价于 1 1 2 1 2 令 1 对 在 上使用Cauchy中值定理就可证明上式 定定定理理理1 达达达布布布 Darboux 定定定理理理 设函数 在区间 可导 则对于 与 之间的一切值 必存在 使得 达布定理说明导数具有介值性 这个结果对解决导数的一些问题有帮助 例例例8设 在 可导 在 两次可导 证明存在 使得 提示 定理条件不满足 不能使用拉格朗日中值定理 可以先证 的特殊情 形 用反证法 从达布定理推出 在 的严格单调性 由此去发现矛盾 一般情形不难 从 的特殊情形证得 2 洛洛洛必必必达达达法法法则则则 16 例例例9设 在 中可微且lim 0 求证lim 0 证 因为e 故由洛必达法则有 lim lim e e lim e e lim e e e lim 0 例例例10设 在 中两次可微且lim 2 4 2 1 求证lim 1 2 提示2 4 2 2 3 函函函数数数的的的单单单调调调性性性与与与极极极值值值 函数的单调性和极值的一个应用是证明不等式 例例例11设0 2 证明 1 sin2 0 有 并且存在 0使 得 求证lim 0 提示 求导得 1 可以证明 恒小于0 从而 严格递减 由此可 见lim 存在 最后来证明这个极限为0 例例例13设 在 0 上两次可导且 恒大于0 对任意 0 有 找出所有满足上述条件的函数 提示 这个问题有一些难度 注意到 是双射 从 可得 然后可 以推出 再利用积分求出 答案 ln 1 2 ln 其中 是正常数 例例例14设 在 上两次可微且 0 0 其中 为一 给定函数 求证在 上有 0 17 提示 反证 若不然 在 0 取得正的最大值或负的最小值 不妨设取得正的最大值 由 0 0 0知 0是极小值点 再进一步推出矛盾 4 函函函数数数的的的凸凸凸性性性与与与拐拐拐点点点 渐渐渐近近近线线线 函函函数数数图图图像像像的的的讨讨讨论论论 这里只对凸函数稍作回顾 其它内容请自己复习 例例例15若函数 在区间 下凸 则对任何 1 2 3 1 2 3 都有 2 1 2 1 6 3 1 3 1 6 3 2 3 2 反之 若对任何 1 2 3 1 2 0 1 且 1 1 下凸 证明琴生 Jensen 不等式 1 6 1 利用凸性能证明荷达 H older 不等式 闵科夫斯基 Minkowski 不等式等很多不等式 各种参考 书上有大量的例子 请自己复习 5 泰泰泰勒勒勒公公公式式式 泰勒公式在近似计算 求极限 证明包含导数的不等式等许多方面有广泛的应用 这里只举一 些例题 大家可以根据各种参考书更系统地复习 例例例17设 在 上两次可导且 2 0 求证存在 使得 4 2 证 将 在 2 处展开 得 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 两式相减后再取绝对值 得 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 将 1 2 中大的那一个对应的 取为 则 2 2 例例例18设 在 上两次可导且对所有 有 0 2 18 其中 0和 2都是常数 令 1 sup 0 若 2 0 即 0 则 恒等于常数 从 而 0 0 0 为一次函数 0 又因为 有界 必 有 0 从而 1 0 命题自然成立 若 2 0 则对任何 和任何 0 有 2 2 其中 0都成立 而2 0 2 2 在 0 2 0 2 处有最小值2 1 2 0 1 2 2 所以 2 1 2 0 1 2 2 从而 1 2 1 2 0 1 2 2 例例例19求lim 0 sin sin sin2 6 答案 1 18 6一一一元元元积积积分分分学学学 6 1不不不定定定积积积分分分 这部分内容请自己复习 例例例1求 4 5 1 5 1 2 d 答案 5 1 6 2定定定积积积分分分 1 定定定积积积分分分的的的定定定义义义及及及其其其几几几何何何意意意义义义 例例例2求lim 1 2 提示 先取对数 再写成积分和数的极限 从而利用定积分求出结果 另解 也可以用斯特林公式 来算 答案 4 e 19 例例例3证明对任意正整数 有 2 1 e 2 1 2 2 1 0和 0 由 在 上连续知 在 上一致连续 从而存在 0 当 且 时 有 0和 0 存在 上的网 使得 的网孔长度之 和 的那些网孔长度之和满足 0 提示 这个问题本身比较简单 证法很多 证法之一是用积分第一中值定理 20 例例例7设 0 0 证明 e sin d 2 提示 注意到e 在 非负递减 由积分第二中值定理得 e sin d e sin d 在定积分的计算中 分部积分和换元积分还是基本方法 不过要注意有些积分要使用函数级 数 多元积分等后面的知识来计算 例例例8求 1 0 ln 1 1 2 d 解法一 令 tan 于是d sec 2 d 从而有 1 0 ln 1 1 2 d 4 0 ln 1 tan d 4 0 ln cos sin cos d 4 0 ln 2cos 4 cos d 8 ln2 4 0 lncos 4 d 4 0 lncos d 1 令 4 于是 4 d d 从而有 4 0 lncos 4 d 0 4 lncos d 4 0 lncos d 4 0 lncos d 这表明 1 式右端后两项积分相等 故得 1 0 ln 1 1 2 d 8 ln2 解法二 令 1 1 于是1 2 1 d 2d 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 从而有 1 0 ln 1 1 2 d 1 0 ln 2 1 1 2 2 1 2 2d 1 2 ln2 1 0 d 1 2 1 0 ln 1 1 2 d 2 由 2 式移项便得 1 0 ln 1 1 2 d 1 2 ln2 1 0 d 1 2 8 ln2 例例例9求 1 0 ln d 其中 是正数 21 解 1 0 ln d 1 0 d d 1 0 d d d 1 ln 1 1 例例例10求 0 ln 1 cos cos d 推得 d d 3 将积分限作为变量 引进变上限积分定义的辅助函数 用微分学的方法考虑单调性来证明积分 不等式 4 应用许瓦尔兹不等式 5 对于包含导数的积分不等式 应用微积分基本定理 积分中值定理 微分中值定理 泰勒公式 等 例例例11设 在 上连续可微 求证 max 6 6 6 1 d d 证 由积分中值定理和连续函数的最大值存在定理 存在 使得max 6 6 1 d 从而有 0 6 6 6 d 6 d 此即 max 6 6 6 1 d d 例例例12设 在 上连续 分别是 在 上的最小值和最大值 0 0入手 例例例13设 在 上两次连续可微 0 证明 d 6 3 12 max 6 6 提示 由分部积分公式可证得 d 1 2 d 再使用积分中值定理 包含积分的极限式处理方法多种多样 下面我们看两个例子 例例例14若 在 可积 0 存在充分小的 0 当 且 时 有 因此有 d 即有 lim 0 d 0 对于一般情况 由上面的例题 存在连续函数序列 使 lim d 0 从而当 0 存在 有 d 3 d 0 当 时 有 d 3 23 所以当 min