概率论期末复习资料大全

微信公众号 大学生学术墙大学生学术墙 QQ 374289236 4 盒子里有 3 只红球 2 只白球 在其中不放回任取 2 次 每次任取 1 只 定 义随机变量 第一次取得白球 第一次取得红球 1 0 X 第二次取得白球 第二次取得红球 1 0 Y 求 1 二维随机变量 YX的联合分布律 2 求 YXP 3 YX 是否相互 独立 解 1 10 3 4 2 5 3 0 0 YXP 10 3 4 3 5 2 0 1 YXP 10 3 4 2 5 3 1 0 YXP 10 1 4 1 5 2 1 1 YXP 3 分 2 4 0 1 1 0 0 YXPYXPYXP 3 分 3 因为 0 0 3 0 0 0 YPXPYXP YX 不相互独立 1 分 5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 其它 0 6 2 xyx yxf 求边缘概率密度 fX x fY y 和条件概率密度 X Y fx y 解 其它 0 10 66 2 2 x x X xxxdy dyyxfxf 2 分 其它 0 10 66 y y Y yyydx dxyxfyf 2 分 对01y 2 设随机变量 X 具有概率密度 03 234 2 0 kxx x f xx 其它 1 0 X Y Y yxy f x y yyfx y fy 其它 3 分 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙大学生学术墙 QQ 374289236 3 3 设随机变量 设随机变量X X具有概率密度具有概率密度 其它 0 40 8 x x xfX 求随机变量求随机变量 Y 2X 8Y 2X 8 的概率密度 的概率密度 解 解 2 8 2 8 82 y XY dxxf y XPyXPyYPyF 3 分 分 0 168 32 8 0 4 2 8 0 2 1 2 8 8 1 2 8 2 8 其它 其它 y y yy yy fyf XY 4 分 分 1 二维随机变量 YX的具有联合概率密度函数 0 10 0 2 其它 xxy yxf 求 E XD XE Y Cov X Y 解 3 2 2 0 1 0 x dyxdxXE 2 分 1 2 00 41 2 918 x D Xx dxdy 蝌 2 分 1 00 1 2 3 x E Ydxydy 蝌 2 分 1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的 根据以往的记录 有以下的数据 元件厂次品率市场份额 10 020 15 20 010 80 30 030 05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的 且无区别的标志 1 在仓库中随机地取一只元件 求它是次品的概率 2 在仓库中随机地取一只元件 若已知取到的是次品 试分析此次品出自何厂 的概率最大 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙大学生学术墙 QQ 374289236 解 设A 取到的一只元件是次品 i B 所取到的产品是由第 i 家工厂提 供的 i 1 2 3 则 12312 0 150 800 050 02 0 01 P BP BP BP A BP A B 3 0 03 P A B 2 分 于是 1 由全概率公式得 112233 0 0125 P AP A B P BP A B P BP A B P B 2 分 2 由贝叶斯公式得 11 1 0 020 15 0 24 0 0125 P A B P B P B A P A 22 2 0 64 P A B P B P B A P A 33 3 0 12 P A B P B P B A P A 故这只次品来自于第二家工厂的概率最大 3 分 16 设随机变量X的分布函数为 01 1 x F xxxe Axe ln 试求 1 常数 A 2 X 的概率密度f x 3 5 2 2032P XPXPX 解解 1 1F 得1A 2 分 2 1 1 0 x xe f x 其他 2 分 3 2 2 2 ln2P XP XF 03 3 0 1PXFF 555 224 2 2 lnPXFF 3 分 18 设二维随机变量具有联合概率密度 22 1 1 0 xy f x y 其他 求 1 边缘概率密度 XY fxfy 2 条件概率密度 X y fx y 3 XY 是 否相互独立 解 1 2 2 1 2 12 1 1 11 0 x x X dyxx fxf x y dy 其他 2 分 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙大学生学术墙 QQ 374289236 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙大学生学术墙 QQ 374289236 2 2 1 2 12 1 1 11 0 y y Y dxyy fyf x y dx 其他 2 分 2 当11y 时 1 22 22 2 1 11 12 1 0 X Y Y yxy f x y fx yyy fy 其他 2 分 3 因为 XY f x yfx fy 所以XY 不独立 1 分 20 某校大一新生中 90 的年龄不小于 18 岁 现从这些新生中随机地抽查 300 名 试利用极限定理近似计算其中至少有 30 名小于 18 岁的概率 已知 9987 0 3 9772 0 5 2 5000 0 0 根据需要选用 解 因为新生中 90 的年龄不小于 18 岁 所以任取一名学生其小于 18 岁的概率 为 0 1 设X为 300 名新生中小于 18 岁的人数 则 1 0 300 bX 分布律为 kk k kXP 300 9 01 0 300 300 1 0 k30 XE 27 XD 3 分 用棣莫佛 拉普拉斯定理 5000 05000 01 0 1 27 3030 27 30 1 30 1 30 X PXPXP 4 分 四 填表题 本大题共 1 小题 共 8 分 21 设随机变量XY 相互独立 下表列出了二维随机变量 X Y联合分布律及 关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值 试将其余数值填入表中空白处 要 求说明推导过程 Y X 1 y 2 y 3 y ii P Xxp 1 x 8 1 2 x 8 1 QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙大学生学术墙 QQ 374289236 jj P Yyp 6 11 解 解 Y X 1 y 2 y 3 y ii P Xxp 1 x 1 248 1 1 121 4 2 x 8 1 3 81 43 4 jj P Yyp 6 1 1 21 3 1 注 每填对一空给一分 共 8 分 22 1 设总体的概率密度为 1 01 0 xx f x 其他 0 为未知参数 12 n XXX 为来自总体的一个样本 求未知参数 的矩估计和极大似然估计 量 解 先求矩估计 1 1 1 0 1 E Xxxdx 2 分 2 1 1 1 故 的矩估计量为 2 1 X X 2 分 再求极大似然估计 对 12 0 1 n x xx 有 1 21 111 nnn n iii iii Lf xxx 2 1 ln ln 1 ln n n i i Lx 2 分 令ln 0 d d L 得 的最大似然估计量为 2 2 1 ln n i i n X 2 分 选做 22 2 设随机变量 X Y的概率密度为 01 01 0 xyxy f x y 其他 求ZXY 的概率密度 Z fz QQ374289236 微信公众号 大学生学术墙大学生学术墙 QQ