最终版第9届大学生数学竞赛非数学决赛试卷答案

1 第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准 非数学类 2018 年 3 月 一 一 填空题填空题 满分满分 30 分 每小题分 每小题 6 分分 1 极限 2 0 tansin lim ln 1 sin x xx xx 1 2 2 设一平面过原点和点设一平面过原点和点 6 3 2 且与平面 且与平面428xyz 垂直 则此平面方垂直 则此平面方 程为程为2230 xyz 3 设函数 f x y具有一阶连续偏导数 满足d d 1 d yy f x yyexxy ey 及 0 0 0f 则 f x y y xye 4 满满足足 1 0 d d d u t u tu tt t 及及 0 1u 的可微函数的可微函数 u t 21 3 t ee e 5 设 a b c d是互不相同的正实数 x y z w是实数 满足 x abcd y bcda z cdab w dabc 则行列式 111 111 111 111 x y z w 0 二 二 本题满分本题满分 11 分分 设函数 f x在区间 0 1 内连续 且存在两两互异的 点 1234 0 1 x x x x 使得 3412 1234 f xf xf xf x xxxx 证明 对任意 存在互异的点 56 0 1 x x 使得 56 56 f xf x xx 证 不妨设 1234 xxxx 考虑辅助函数 2413 2143 1 1 1 ft xtxft xtx F t txxt xx 4 分 则 F t在闭区间 0 1 上连续 且 0 1 FF 根据连续函数介值定理 存在 0 0 1 t 使得 0 F t 3 分 如果你还不知道读什么书 或者想寻找下载阅 读更多书籍 就请您打开微信扫一扫 扫描下 方二维码 关注微信公众号 大学生学术墙 微信直接搜索关注公众号 大学生学术墙 这里是每一位上进的人的家园 大学生学术墙 资料库里有数万本书籍 此外 关注微信公众号 大学生学术 墙 回复 1 回复 资料 即可免费领取 5000G 的书籍库 大学必备笔记 考证资料 四 六级考试 计算机二级考试等资料 2 回复 电影 即可免费在线观看最新上线的热门大片 3 回复 小说 即可免费领取 8500 本著名小说 4 回复 证券 期货 即可免费在行业龙头企业用最低手续费开户 开启你的 投资生涯 你需要的书籍 课件 视频 PPT 简历模板等等一切资源和 资料 都可以在微信公众号 大学生学术墙 回复关键词免费 领取 如果您对金融领域一知半解 想学习金融领域相关知识 提高自身综合投资水平 获取相关金融服务 请关注微信公众号 财醒来 微信直接搜索关注微信公众号 财醒来 您可以获得以下服务 1 私人财富管理咨询服务 您通过公众号添加号主个人微信后 可结 合自身情况咨询私人财富管理服务或者获得产品推荐等 2 公众号每日会分享宏观 股票 期货等二级市场复盘和投资参考 助力您发现投资机会 3 公众号不定期会分享号主自己的投资心得 投资策略等 带给您不 一样的金融评论和金融思维 4 更多功能和服务 如用最低手续费开户 并获得相关投资咨询服 务 敬请在微信公众号 财醒来 上发掘 2 令 50103 1 xtxt x 60204 1 xtxt x 则 56 0 1 x x 56 xx 2 求 H x满足条件1 n x 的最小值 证 1 二次型 1 2 1 11 nn iii ii H xxx x 的矩阵为 1 1 2 11 1 22 1 2 1 1 2 1 1 2 A 3 分 因为A实对称 其任意k阶顺序主子式0 k 所以A正定 故结论成立 3 分 2 对A作分块如下 1 T 1 n A A 其中 T1 1 0 0 R 2 n 取可逆矩 阵 1 11 01 nn IA P 则 11T T1 1 00 010 nn n AA P AP Aa 其中 4 T1 1 1 n aA 3分 记 T 0 1 xP x 其中 T1 0121 Rn n xx xx 因为 10TTTT11T 0010 0 1 01 n n Ax H xx AxxPPP Px Axa a 且 1n A 正定 所以 T 010 n H xx Axaa 当 TT 0 1 0 1 xP xP 时 H xa 因此 H x满足条件1 n x 的最小值为a 3 分 六 本题满分本题满分 12 分分 设函数 f x y在区域 222 Dx y xya 上具有一 阶连续偏导数 且满足 222 2 xya f x ya 以及 2 2 2 max x yD ff a xy 其 中0a 证明 4 4 d d 3 D f x yx ya 解 在格林公式 d dd d CD QP P x yxQ x yyx y xy 中 依次取 Pyf x y 0Q 和取0P Qxf x y 分别可得 d d dd d DCD f f x yx yyf x yxyx y y d d dd d DCD f f x yx yxf x yyxx y x 两式相加 得 2 12 1 d dddd d 22 DCD aff f x yx yy xx yxyx yII xy 4 分 对 1 I再次利用格林公式 得 2 24 1 ddd d 2 CD a Iy xx yax ya 2 分 对 2 I的被积函数利用柯西不等式 得 2 2 22 2 11 d dd d 22 DD ffff Ixyx yxyx y xyxy 5 224 1 d d 23 D a xyx ya 4 分 因此 有 444 14 d d 33 D f x yx yaaa 2 分 七 本题满分本题满分 12 分分 设01 n a 时级数 1 n n a 收敛 当1q 则p R s t 1qp 根据极限性质 N Z s t nN 有 1 ln ln n a p n 即 1 n p a n 时 1 1 p n n 收敛 所以 1 n n a 收敛 3 分 若1q 则p R s t 1qp 有 1 ln ln n a p n 而1p 时 1 1