工程力学平面力系.ppt

第二章 平面力系 2 1平面基本力系 2 2平面任意力系 2 3考虑摩擦时的平衡问题 第二章平面力系 目录 1 掌握平面汇交力系合成与平衡的几何法与解析法 3 熟练运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题 4 掌握力偶和力偶矩的概念 熟悉力偶的性质 会运用平衡条件求解力偶系的平衡问题 2 能正确地求力在坐标轴上的投影 理解合力投影定理 大纲要求 5 掌握平面任意力系向一点简化的方法 会用解析法求主矢和主矩 了解力系简化的结果 6 深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的几种形式 7 熟练计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题 了解静定与超静定的概念 9 理解静滑动摩擦力的特征 了解摩擦角和自锁现象 会求解考虑摩擦时的平衡问题 8 理解简单桁架的简化假设 掌握计算其内力的节点法和截面法 引言 力系分为 平面力系 空间力系 引例 起重机的挂钩 支架的铰链C 2 1平面基本力系 2 1 1平面汇交力系的合成与平衡 平面汇交力系 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系 研究方法 几何法解析法 研究内容 平面汇交力系的合成平面汇交力系的平衡条件 应用力多边形法则画力的多边形 合力即为力多边形的封闭边 如图所示 数学表达式为 一 平面汇交力系合成的几何法 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和 合力的作用线通过各力的汇交点 用几何法作力多边形时 应当注意以下几点 1按力的比例尺画出各力的大小 并准确地画出各力的方向 只有这样 才能从图上准确地表示出合力的大小和方向 2作力多边形时 可以任意变换力的次序 虽然得到形状不同的力多边形 但合成的结果并不改变 3力多边形中诸力应首尾相连 合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点 平面汇交力系平衡的充要条件是 该力系的合力等于零即 二 平面汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的几何条件 讨论题 平面汇交的两个力三角形中 三个力的关系是否一样 用数学式应该怎样表示 思考题 输电线跨度l相同时 电线下垂量f越小 电线越易拉断 为什么 例2 1已知输电线ACB架在两电线杆之间 形成一下垂线 下垂距离CD f 1m 两电线杆间距离AB 40m 电线ACB段重P 400N 可近似认为沿AB直线均匀分布 求电线的中点和两端的拉力 输电线跨度l相同时 电线下垂量f越小 电线越易拉断 为什么 讨论题 汽车陷在坑中 如何将车子拉出比较省力 车中有绳子 路边有大树 几何法解题步骤 选研究对象 作受力图 作力多边形 求出未知数 几何法解题快速 直观但不利于解决复杂问题 通过以上例题几何法解题的步骤总结如下 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法 解析法 三 平面汇交力系合成的解析法 1 力在轴上的投影 力在某轴上的投影 等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦 思考题 写出力在各轴上的投影计算式 若已知F在正交坐标轴上的投影为Fx和Fy 则由几何关系可求出力F的大小和方向 即 应注意 1 力的投影是代数量 而力的分量是矢量 2 只有在正交坐标系中力的投影才等于分力的大小 在斜坐标系中二者的数值不相等 合力在任意轴上的投影 等于诸分力在同一轴上投影的代数和 2合力投影定理 2合力投影定理 合力在任意轴上的投影 等于诸分力在同一轴上投影的代数和 三 平面汇交力系的平衡方程 从前述可知 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零 即 平面汇交力系平衡的充要条件 也叫平衡方程 例2 2铆接薄板在孔心A B和C处受三力作用 如图所示F1 100N 沿铅直方向 F3 50N 沿水平方向 并通过点A F2 50N 力的作用线也通过A 尺寸如图 求此力系的合力 例2 3图示重物重为Q 30kN 由绳索AB AC悬挂 求AB AC的约束力 1 取研究对象 力系的汇交点A 3 建立坐标系 4 列出对应的平衡方程 5 解方程 解 2 作受力图 例2 4 如图所示 重物 用钢丝绳挂在支架的滑轮上 钢丝绳的另一端绕在绞车上 杆与铰接 并以铰链与墙连接 如两杆和滑轮的自重不计 并忽略轴承摩擦和滑轮的大小 求平衡时杆和所受的力 1 一般地 对于只受三个力作用的物体 且角度特殊时用几何法 解力三角形 比较简便 解题技巧及说明 3 投影轴常选择与未知力垂直 最好使每个方程中只有一个未知数 2 一般对于受多个力作用的物体 无论角度是否特殊 都用解析法 5 解析法解题时 有些力的方向可以任意假设 如果求出负值 说明力的方向与假设的相反 对于二力构件 一般先设为拉力 如果求出负值 说明物体受压力 4 对力的方向判定不准的 一般用解析法 作业 练习册2 22 42 5 2 1 2平面力偶系的合成与平衡 自学提纲 怎样计算力矩 力矩的正负号如何规定 什么是力偶 怎样计算力偶矩 力偶矩的正符号如何规定 力矩与力偶矩有何异同 什么是合力矩定理 力偶能用一个力来平衡吗 怎样的力偶才等效 平面力偶系如何合成 平衡条件 1 平面力对点之矩 力矩 一 力矩的概念和计算 力矩作用面 2 力矩的性质 P19 工程实例 二 力偶及其性质 1 力偶 大小相等的二反向平行力 作用效果 引起物体的转动 力和力偶是静力学的二基本要素 力偶特性二 力偶只能用力偶来代替 即只能和另一力偶等效 因而也只能与力偶平衡 力偶特性一 力偶中的二个力 既不平衡 也不可能合成为一个力 2 力偶臂 力偶中两个力的作用线之间的距离 3 力偶矩 力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积 加上正负号 力偶矩正负规定 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势 力偶矩取正号 反之 取负号 在平面内 力偶矩是代数量 量纲 力 长度 牛顿 米 N m 力偶三要素 力偶矩的大小 力偶的转向 力偶的作用平面 4 力偶的等效条件 同一平面上力偶的等效条件 因此 以后可用力偶的转向箭头来代替力偶 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等 1 力偶可以在作用面内任意转移 而不影响它对物体的作用效应 2 在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下 可以任意改变力和力偶臂的大小 而不影响它对物体的作用由上述推论可知 在同一平面内研究有关力偶的问题时 只需考虑力偶矩 而不必研究其中力的大小和力偶臂的长短 综上所述 可以得出下列两个重要推论 1 平面力偶系可合成为一合力偶 合力偶矩的大小等于各已知力偶矩的代数和 二 力偶系的合成与平衡 2 平面力偶系平衡的充要条件 力偶系中各力偶矩的代数和等于零 例2 5 练习册2 7 已知梁AB上作用一力偶 力偶矩为M 梁长为l 梁重不计 求在图a b 两种情况下 支座A和B的约束力 在图所示结构中二曲杆自重不计 曲杆AB上作用有主动力偶 其力偶矩为M 试求A和C点处的约束反力 例2 6 练习册2 8 例2 7 练习册2 11 滑道摇杆机构受两力偶作用 在图示位置平衡 已知OO1 OA 0 4m M1 0 4kN m 求另一力偶矩M2 及O O1处的约束力 练习图示的铰接四连杆机构OABD 在杆OA和BD上分别作用着矩为m1和m2的力偶 而使机构在图示位置处于平衡 已知OA r DB 2r 30 不计杆重 试求m1和m2间的关系 提示杆AB为二力杆 B 分别写出杆AO和BD的平衡方程 作业 练习册2 92 10 平面任意力系 力系中所有力的作用线都在同一平面内 但这些力的作用线即不完全相交于一点 又不完全平行的力系 2 2平面任意力系 平面任意力系实例 中心内容 力系简化 平衡方程 2 2 1平面任意力系的简化 力的平移定理 可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B 但必须同时附加一个力偶 这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩 一 力的平移定理 几点说明 1 当力线平移时 力的大小 方向都不改变 但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定点的位置的不同而不同 2 力线平移的过程是可逆的 一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶 反之 一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力 也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换 打乒乓球时 若球拍对球作用的力其作用线通过球心 球的质心 则球将平动而不旋转 但若力的作用线与球相切 削球 则球将产生平动和转动 3 力线平移定理是刚体上平面任意力系简化的基础 附加力偶是为了保证力在平移后与原来的作用等效 附加力偶的转向大家要会判断 它的力偶矩大家要会算 二 平面任意力系向作用面内一点的简化 1 简化过程 一般力系 一个汇交力系与一个力偶系 一个力和一个力偶 2 主矢 主矩 与简化中心位置无关 与简化中心有关 3 结论平面任意力系向作用面内一点简化 得到一个力和一个力偶 此力作用在简化中心 大小 方向等于主矢 此力偶的力偶矩等于主矩 几点说明 1 平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关 2 平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关 因此 在说到力系的主矩时 一定要指明简化中心 主矢大小 主矢方向 主矩 主矢主矩的具体计算 三 固定端 插入端 约束 在工程中常见的 固定端 插入端 约束 说明 认为Fi这群力在同一平面内 将Fi向A点简化得一力和一力偶 FRA方向不定可用正交分力FAx FAy表示 FAx FAy MA为固定端约束反力 FAx FAy限制物体平动 MA为限制转动 四 平面任意力系的简化结果分析 简化结果可能有四种情况 1 FR 0 MO 0 2 FR 0 MO 0 3 FR 0 MO 0 4 FR 0 MO 0 对以上进一步分析有以下三种情形 1 合成为一个力偶 当FR 0 MO 0 则原力系合成为一个力偶 其矩为 此时主矩与简化中心选择无关 合成为一个力 当FR 0 MO 0则原力系合成为一个力 其作用线恰好通过选定的简化中心O 即 FR FR 当FR 0 MO 0 则原力系合成为一个力 合力等于主矢 即 FR FR 但合力作用线不通过简化中心O 而到点O的距离d为 至于作用线在点O哪一侧 需根据主矢方向和主矩转向确定 如下图所示 由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和 即 平衡 当FR 0 MO 0 则原力系平衡 在长方形平板的O A B C点上分别作用着有四个力 F1 1kN F2 2kN F3 F4 3kN 如图 试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果 以及该力系的最后合成结果 例2 8 解 建立如图坐标系Oxy 所以 主矢的大小 1 求主矢 例2 8 主矢的方向 2 求主矩MO 主矢的方向与x轴正方向所成角度为 由于主矢和主矩都不为零 所以最后合成结果是一个合力FR 如右图所示 合力FR到O点的距离 2 2 2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 一 平面任意力系平衡的充要条件 平面任意力系平衡的充分和必要条件是 力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零 1 基本形式 一矩式 二 平面任意力系的平衡方程 1 二矩式 A B两点的连线不得垂直于x轴 2 其它形式 2 三矩式 A B C三点不得共线 注意 对一个物体来讲 平面任意力系作用下 不论采用哪种形式的平衡方程 其独立的平衡方程的个数只有三个 只能解三个未知量 不得多列 三 平面平行力系的平衡方程 只有两个独立平衡方程 只能求解两个未知数 上式是平面平行力系平衡方程的基本形式 它的二矩式是 但A B两点的连线不得与力作用线平行 若力系中所有力的作用线都在同一平面内且平行 称为平面平行力系 它是平面任意力系的特殊情况 如图所示 当取x轴与力系中各力垂直 则自然满足 则平面平行力系平衡方程为 四 常见线载荷及其简化 如图所示为一悬臂梁 A为固定端 设梁上受强度为q的均布载荷作用 在自由端B受一集中力F和一力偶M作用 梁的跨度为l 求固定端的约束力 例2 9 由平衡方程 解方程得 取梁为研究对象 受力分析如图 解 一种车载式起重机 车重P1 26kN 起重机伸臂重P2 4 5kN 起重机的旋转与固定部分共重P3 31kN 尺寸如图所示 设伸臂在起重机对称面内 且放在图示位置 试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax 例2 10 取汽车及起重机为研究对象 受力分析如图 由平衡方程 解 不翻倒的条件是 FA 0 故最大起吊重量为Pmax 7 5kN 所以由上式可得 练习 练习册2 15 a 作业 练习册2 132 15 b 2 16 2 2 3静定和超静定问题 物体系的平衡 前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题 对应于每一种力系 其独立的平衡方程数目都是一定的 平面任意力系有三个 平面汇交力系和平面平行力系各有两个 平面力偶系只有一个 因此 对于每一种力系 能求解的未知数的数目也是一定的 如果所考察的物体的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目 那些未知数就可全部由平衡方程求出 这类问题称为静定问题 若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目 仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数 这类问题称为超静定 或静不定 问题 一 静定和超静定问题 图 a 图 b 图 c 图 d 图 e 图 f 图 a 是静定的 图 b 是一次超静定 图 c 又是静定的 图 d 是二次超静定 需要指出的是 超静定问题并不是不能求解的问题 而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题 如果考虑到物体受力后的变形 在平衡方程外 加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力 这将在材料力学 结构力学等课程中加以研究 工程上很多结构都是超静定的 由于结构增加了多余约束后 使结构更大的刚度和坚定性 更经济地利用材料 使安全更可靠 物体系统 物系 由若干个物体通过约束所组成的系统 二 物体系统的平衡 1 物体系平衡特点 研究对象选择存在多样性 灵活性 物系平衡时 其中每个物体都平衡 选取不同的研究对象 会有不同个数的未知力 选择恰当的研究对象是解决物系平衡问题的关键 图示组合梁 不计自重 由AC和CE铰接而成 A端为固定端 E端为活动铰支座 尺寸如图所示 已知 F 5kN 均布载荷集度q 2 5kN m 力偶矩的大小M 5kN m 试求固定端A 铰链C和支座E的约束力 例2 11 例2 11 已知 均布载荷集度q 2 5kN m 力偶矩的大小M 5kN m 例2 11 已知 F 5kN 均布载荷集度q 2 5kN m 例2 11 q F 图示的结构由杆件AB BC CD 滑轮O 软绳及重物E构成 B C O D处为铰链连接 A处为固定端 物E重P 其他构件自重不计 滑轮半径为R BC OC OD l求固定端A处的约束力 例2 12 图示的结构由杆件AB BC CD 滑轮O 软绳及重物E构成 B C O D处为铰接连接 A处为固定端 物E重P 其他构件自重不计 滑轮半径为R BC OC OD l求固定端处的约束力 例2 12 例2 13 图示构架 杆和滑轮的自重不计 物块F重30kN R 20cm r 10cm 求A C两点的约束反力 解 先研究整体 C D E 再拆开研究CED 再研究整体 例2 13 图示构架 杆和滑轮的自重不计 物块F重30kN R 20cm r 10cm 求A C两点的约束反力 解 先研究整体 C D E 再拆开CED 在研究整体 2 物体系平衡问题的解题技巧 1 对于物系问题 是先拆开还是先整体研究 通常 对于构架 若其整体的外约束力不超过4个 应先研究整体 否则 应先拆开 选择受力简单 已知量多未知量少的那一部分 对于连续梁 应先拆开 选择受力简单 已知量多未知量少的那一部分 不应先整体研究 定滑轮一般不要单独研究 而应连同支撑的杆件一起考虑 2 拆开物系前 应先判断系统中有无二力杆 若有 则先将之去掉 代以对应的约束力 在任何情况下 二力杆不作为研究对象 它的重要作用在于提供了力的方向 3 拆开物系后 应正确的表示作用力和反作用力之间的关系 字母的标注 方程的写法 4 根据受力图 建立适当的坐标轴 应使坐标轴与尽可能多的力的作用线平行或垂直 以免投影复杂 坐标轴最好画在图外 以免图内线条过多 取矩时 矩心应选在尽可能多的未知力的交点上 以避免方程中出现过多的未知量 桁架结构工程实例 桁架结构工程实例 1 桁架 桁架是由若干直杆两端互相连接形成几何形状不变的结构 桁架中各杆件的连接点称为节点 一 基本概念 2 2 4平面简单桁架的内力计算 实际工程中为简化计算 对桁架作了以下几个假设 1 杆件都是直杆 并用光滑铰链连接 2 外载荷作用在各节点上 并且作用线都在桁架平面内 3 杆件自重不计 或平均分配到杆件两端节点上 据此假设 桁架中每根杆件都可以视为二力杆 2 理想桁架 实际桁架的工程计算力学模型 本节只研究平面简单桁架 如图所示 以基本三角形ABC为基础 每增加一个节点 需要增加两根杆件 依次类推所得桁架称为平面简单桁架 3 平面简单桁架 二 计算桁架杆件内力的方法 1 节点法 以桁架的节点为研究对象 通过其平衡条件 求出由该节点连接的杆件内力的方法 说明 假定各杆都受拉力 2 选取的节点上最好只有两个未知力 3 使用节点法前 往往先求出外约束力 例2 14 平面桁架的尺寸和支座如图所示 在节点D处作用一集中力F 10kN 求此桁架各杆件的内力 解 1 求支座的约束力 以桁架整体为研究对象 作受力图 为平面任意力系 可解三个支座约束力 1 节点A 2 依次取一个节点为研究对象 计算各杆的内力 假设各杆皆受拉力 分别作出每个节点的受力图 每个节点皆为平面汇交力系 可解两个未知力 为计算方便 顺序求解只有两个未知力的节点 2 节点C 3 节点D 此时只有F5未知 3 判断拉 压杆原假定各杆均受拉力 计算结果内力为正值的杆为拉杆 内力为负值的杆为压杆 4 校核计算结果解出各杆的内力后 可用尚余节点的平衡方程校核已得的结果 例如 以节点B为研究对象 作出受力图 用已经求出的F4和F5的值代入平衡方程 如果和两个方程能够满足 则计算结果是正确的 零杆 判别零杆的方法有以下几种 如图所示 熟悉了零杆的判断方法 在计算时事先将桁架中的零杆找出来 常常可使计算大为简化 思考 零杆可否从桁架中去除 零杆虽然内力为零 但是它对保持结构的几何不变性以承受载荷是必不可少的 2 截面法 应用平面任意力系的平衡条件 研究桁架由截面 假想的 切出的某部分的平衡 审查 抽查几个 一般情况下 截断 的未知内力的杆不能超过三个 如图平面桁架 已知铅垂力FC 4kN 水平力FE 2kN 求FE CE CD杆内力 例2 15 1 求约束力 先取整体为研究对象 受力如图所示 联立求解得FAx 2kNFAy 2kNFB 2kN 列平衡方程 如图平面桁架 已知铅垂力FC 4kN 水平力FE 2kN 求FE CE CD杆内力 由平衡方程 2 作一截面m m将三杆截断 取左部分为分离体 受力分析如图 联立求解得 FAx 2kNFAy 2kNFC 4kN 练习题1 图示桁架 水平 铅直各杆长均相等 求6 7 8三杆的内力并说明是拉力还是压力 解 先找出零力杆 练习题2 图示桁架 ABC为等边三角形 E F为两腰中点 求CD杆的内力 解 先找出零杆ED 0 沿m m截面截开 研究右侧 受力如图 作业 练习册2 192 202 23 前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的 忽略了物体之间的摩擦 事实上完全光滑的表面是不存在的 一般情况下都存在有摩擦 例 平衡必计摩擦 2 3摩擦 当物体的接触表面确实比较光滑 或有良好的润滑条件 以致摩擦力与物体所受其它力相比的确很小时 可以忽略 然而 在很多日常生活和工程实际问题中 摩擦成为主要因素 摩擦力不仅不能忽略 而且还应作为重点来研究 目的是为了掌握其规律 用其利 避其害 由于摩擦是一种十分复杂的物理现象 涉及面广 本节只限于讨论工程中常用的近似理论 主要介绍滑动摩擦和滚动摩阻定律 重点研究有摩擦存在时物体的平衡问题 滑动摩擦力 两个相互接触的物体由于具有相对滑动或具有相对滑动趋势时而在接触面产生的阻碍彼此运动的阻力 动滑动摩擦力 具有相对滑动时的滑动摩擦力 静滑动摩擦力 具有相对滑动趋势时的滑动摩擦力 一 滑动摩擦 按接触面的运动情况看 摩擦分为滑动摩擦和滚动摩擦 1静滑动摩擦力 重量为P的物体放在粗糙的固定水平面上 受到一个水平拉力F的作用 Fx 0 当力F增加到某个数值FK时 物体处于将动未动的临界状态 此时静摩擦力达到最大值Fsmax 我们称这个最大值Fsmax为最大静摩擦力 F Fs 0 Fs F 2 静滑动摩擦力 在相互静止 但有相对滑动趋势物体间的接触面上出现 存在条件 方向 恒与物体相对滑动的趋势方向相反 沿两物体的接触面上公切线方向 1 静滑动摩擦定律 Fsmax fsFN fs 静摩擦系数 Fsmax往往不是实际存在的静摩擦力 而只是表示了接触面的一种物理性质 比如 剧场定员是500人 并不说明每场观众的实际人数 Fd fFN f 动摩擦系数 3 动滑动摩擦定律 动滑动摩擦力 动摩擦力 物体间具有相对滑动时 接触面间的滑动摩擦力 Fd是实际存在的摩擦力 一般 f fs 且随相对速度而变化 在相对速度不大时 视之为常数 二 摩擦角与自锁现象 摩擦角是全约束力与支承面法线的夹角的最大值 在静摩擦力达到最大值时 FR与法线间夹角才达到摩擦角 如果改变水平力FK的作用线方向 则Fsmax及FR的方向也将随之作相应的改变 若FK在水平面转过一圈 则全约束力FR的作用线将在空间画出一个锥面 称为摩擦锥 全约束力与接触面法线所形成的夹角 不会大于 m 即全反力作用线不可能超出摩擦锥 如果物体所受的主动力合力的作用线在摩擦锥之外 即 m时 则全约束力就不可能与共线 此时两力不符合二力平衡条件 物体将发生滑动 F FR F 如果物体所受的主动力合力F的作用线在摩擦锥之内 即 m时 则无论主动力多大 总是能够与之相平衡 因而物体将保持不动 主动力合力的作用线在摩擦锥的范围内 物体依靠摩擦总能静止而与主动力大小无关的现象 称为自锁 自锁条件 m F FR FR 如果物体所受的主动力合力F的作用线在锥面上 即 m 则物体处于临界状态 考虑有摩擦的平衡问题时 其解法与平面一般力系一样 只是在受力分析和列平衡方程时要将摩擦力考虑在内这样增加了未知量 因此还需增加补充方程0 Fs fsFN 因此有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围 为了避免解不等式 往往先考虑临界状态 Fs fsFN 求得结果后再讨论解的平衡范围 需要强调的是摩擦力的方向在临界状态下不能假设 要根据物体相对运动趋势来判断 三 考虑摩擦时物体的平衡问题 物体A重P 10N 放在粗糙的水平固定面上 它与固定面之间的静摩擦因数fs 0 3 动摩擦因数f 0 2 今在物体A上施加F 4N的力 q 30 试求作用在物体上的摩擦力 例题2 16 假设物块不动取物块A为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 解 解得 最大静摩擦力 所以作用在物体上的摩擦力为 因为 物体A重P 10N 放在粗糙的水平固定面上 它与固定面之间的静摩擦因数fs 0 3 动摩擦因数f 0 2 今在物体A上施