空间解析几何 第四章一般二次曲线与二次曲面.doc

佛山科技学院自用教材 教育科学学院 王豫黔第四章一般二次曲线与二次曲面这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。4.1直角坐标变换平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。4.1.1平面直角坐标平移设和是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点在坐标系中的坐标和在坐标系中的坐标有什么联系呢？设在中的坐标为，从点向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出： （4.1.1）这就是将原点平移到的坐标变换，其中和分别是平面上同一点在旧坐标系和新坐标系中的坐标。这种坐标变换叫做平移。如果用旧坐标表示新坐标，那么有 （4.1.2）（4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。 图4-1-1例1 用平移化简，并画出它的图形。解 原方程可以移项、配方成 将原点移到，即作平移：那么，在新坐标系中，方程简化成。这是一条开口向上，焦参数为2的抛物线，如图4-1-2。图4-1-24.1.2平面直角坐标旋转设坐标原点不动，将坐标系的两条轴同时绕原点旋转一个角度得到一个新的坐标系（图4-1-3），那么平面上任意一点的新、旧坐标之间的关系又如何呢？如图1.3所示，有利用两角和的三角展开式，我们有但，以此代入上面两个展开式中，即得 （4.1.3）这就是转角为的坐标旋转公式，其中和分别是平面上同一点在旧坐标系和新坐标系中的坐标。如果用旧坐标表示新坐标，那么从（4.1.3）中解出，则得到 （4.1.4）（4.1.3）和（4.1.4）都是旋转公式。例2 把坐标系旋转45，求曲线在新坐标系中的方程。解 因为，这时旋转公式（4.1.3）为代入所给的方程即得，化简后就是，这是一条等轴双曲线。4.1.3平面上的一般直角坐标变换我们现在来讨论一般坐标变换。设平面上有坐标系，以平面另外一点为原点建立一个新的坐标系，这个坐标系坐标轴的方向与旧坐标系的方向成角。那么这两个坐标系可以通过两步变换得到，先将坐标系的原点平移到得到一个坐标系，再将这个坐标系旋转角得到坐标系。假设在旧坐标系中的坐标为，平面上任意一点依次在、中的坐标为、，那么有从上面两组公式中消去，则得到 （4.1.5）如果要用旧坐标表示新坐标，从（4.1.5）中解出，则得到 （4.1.6）例3 将坐标系平移到点，再旋转45，写出新旧坐标之间的变换公式。解 由（4.1.5）式，有即由（4.1.6）有4.1.4空间直角坐标变换1.空间直角坐标平移将空间中的一点为原点建立坐标系，那么空间中任意一点在新旧坐标系中的坐标和之间的关系为： （4.1.7）或 2.空间直角坐标旋转在坐标系的原点，重新建立一个右手系的直角坐标架，那么空间中任意一点在新旧坐标系中的坐标和之间的关系为： （4.1.8）其中是正交矩阵，且。逆变换公式为：习题4.11. 在坐标系平移后，旧坐标系中的点在新坐标系中的坐标为，求新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标。2. 将坐标系旋转30得到新坐标系，求（1）旧坐标系中的点在新坐标系中的坐标；（2）新坐标系中的点在旧坐标系中的坐标。3. 椭圆的两焦点为，长半轴为5，求这椭圆的方程。4. 双曲线的两焦点为，一个顶点为，求它的方程。5. 抛物线的顶点为，焦点为，求它的方程。6. 求双曲线的渐近线方程。4.2二次曲线方程在坐标变换下系数的变化在中学学习的二次曲线方程是不含交叉项的二元二次方程含有交叉项的二次曲线方程的一般形式为 （4.2.1）记：，这里，那么方程（4.2.1）可以利用矩阵运算的特征改写成，即 本节我们讨论坐标变换对一般二元二次方程系数的变化规律。4.2.1一般二次曲线方程在坐标平移下系数的变化将坐标平移公式（4.1.1）代入（4.2.1）展开整理得：（1）并记展开整理后对应于（4.2.1）的方程为 与（1）式比较得：（4.2.2）这说明坐标平移不会改变二次项的系数。所以不能通过坐标平移消去二次曲线方程的交叉项。利用二元函数的偏微分形式，（4.2.2）还可以表示成： 显然，如果线性方程组 （4.2.3）有唯一解，将原点移到，可以使方程不含一次项。这时，二次曲线有唯一的对称中心。利用线性方程组的知识，我们知道方程组（4.2.3）有唯一解的充要条件是系数行列式 （4.2.4）因此（4.2.4）是判断一个二次曲线方程是否有对称中心的判别条件。下面我们来证明这个事实。设二次曲线（4.2.1）上任意一点为，那么关于点的对称点为，于是由于在二次曲线（4.2.1）上，所以，且由（4.2.3）知，所以，当时，曲线（4.2.1）关于点对称。即二次曲线（4.2.1）是中心型曲线。这种情形下的坐标平移变换（4.1.1）叫做中心变换。4.2.2一般二次曲线方程在坐标旋转下系数的变化将坐标旋转公式（4.1.3）代入（4.2.1）展开整理得：（2）仍然记展开整理后对应于（4.2.1）的方程为 与（2）式比较得： （4.2.5）这说明坐标旋转不会改变常数项，同时二次项系数的改变只与二次项系数有关，一次项系数的改变只与一次项系数有关。利用三角变换，（4.2.3）可以改写成： 显然，当旋转角满足： （4.2.6）时，旋转后的新方程不含交叉项，所以只有通过坐标旋转才能消去二次方程的交叉项。利用二倍角公式（4.2.6）可以改写成： 旋转角满足（4.2.6）的旋转变换（4.1.3），称为二次曲线的主轴变换。在主轴变换下，新方程的二次项系数变成： （4.2.7）一次项系数满足： （4.2.8）习题4.21. 判断下列二次曲线方程是否是中心型曲线，如果是，求出对称中心：（1）；（2）（3）2. 旋转角取多大时，可以消去下列方程的交叉项？（1）；（2）（3）4.3二次曲线方程的化简4.3.1 中心型曲线的化简通过4.2.1的学习，我们知道，当时，二次曲线方程（4.2.1）是中心型曲线。对于中心型曲线，通过先平移后旋转的顺序要比先旋转后平移的顺序简单一些。具体步骤是：第一步，先解方程组 （4.2.3）求出曲线的中心，第二步，将坐标原点平移到中心处，由于平移不会改变二次项的系数，因此得到一个不含一次项的二次曲线方程： （1）其中。第三步，利用（4.2.6）确定旋转角，消去（1）式的交叉项，得到方程： （2）其中，例3 化简方程，并作出它的图形。解 由于，所以曲线是中心型曲线，先解方程组：得中心坐标为，作坐标平移：此时所以平移后的方程为：其次，由于，此时，解之得（舍去），于是作坐标旋转：，由于，所以化简后的方程为：。这是一个椭圆（如图4-1-3。图4-3-14.3.2 非中心型曲线的化简当时，方程组（4.2.3）没有唯一解，这时二次曲线是非中心型曲线。对于非中心型曲线，化简的步骤就要先旋转、后平移才相对简单。具体步骤是：第一步：利用（1.2.6）确定旋转角，消去（4.2.1）式的交叉项，由于曲线是非中心型曲线，旋转后的新方程两个平方项不会同时出现。利用，选取适当的，使新方程不含（或）得到方程： （或 ）（3）其中 ，。第二步，对（3）式配方成为（或）的形式，再作平移：就可以将方程（4.2.1）标准化为（或）。例4 化简方程，并作出它的图形。解 由于，所以曲线是非中心型曲线。利用（4.2.6）得：即 解之得 （舍去）于是 ，作旋转 代入得：展开整理得： 再作平移 得 这是一条抛物线，图形如图4-3-2所示。图4-3-2习题4.3化简下列二次曲线方程，并作出其图像：1. 2. 3. 4. 5. 6. 4.4二次曲线方程的不变量与半不变量对于二次曲线方程（），它完全由系数矩阵（）唯一确定。这个矩阵是对称矩阵。现用它的元素引进下列记号： （4.4.1）容易验证，与还可以写成： （4.4.2）利用这些量构造一个方程： （4.4.3）这个方程叫做二次曲线的特征方程。4.4.1二次曲线的不变量对于给定的二次曲线方程（4.2.1），有时我们并不想通过繁琐的坐标变换来寻求其标准方程，而是想知道它的图形形状。那么，能否直接根据方程的系数结构来进行判断与运算呢？为此我们先来看看二次曲线（4.2.1）在坐标变换下，那些性质得到保留（或不变）：首先，我们来观察在坐标平移下，的变化特点。由于坐标平移不会改变二次项系数，所以，和都在坐标平移下保持不变，即它们是平移不变量。其次，在坐标平移下，（4.2.1）的系数矩阵的行列式变成其中，将行列式的第一列、第二列分别乘以、后都加到第三列，由于，这时再将后面一个行列式的第一、第二行分别乘以、加到第三行，那么从而也是平移不变量。即都是坐标平移不变量。其次，再来看坐标旋转的情形。对于将首尾两个等式相加，即得，所以是旋转不变量。同时于是所以，即也是旋转不变量。由此立即得到特征方程（4.4.3）的解也是坐标旋转变换不变量。这个方程的根叫做二次曲线（4.2.1）的特征根。限于教学时限和篇幅，的旋转不变性这里就不证明了，留给读者自己证明。又有平面上的一般坐标变换总可以分解成一个平移与一个旋转的复合，所以我们有：定理4.4.1 ：二次曲线（4.2.1）的和特征根都是坐标变换不变量。4.4.2二次曲线的半不变量对于，在一般情形下，它不是一个坐标变换不变量，但是在一定的前提下，这个量还是保持了坐标变换的不变性。下面我们在的条件下来讨论在坐标变换下的性质。首先，在主轴变换下，由（4.2.9）及的旋转不变性，得所以是主轴变换不变量。其次，当方程（4.2.1）经过主轴变换后，得到 由于，所以方程的平方项不能同时出现（否则曲线是中心型，那么有的矛盾），不失一般性，不妨设。由于，所以，即方程成为： 此时 方程可以配方成：作坐标平移：，方程化成，此时 即所以，当时，是上述平移变换的不变量，我们把所满足的这两种特殊的坐标变换下的不变性叫做半不变性。叫做半不变量4.5用不变量确定二次曲线的标准方程同一条曲线在不同的坐标系中有不同的方程，对二次曲线来说，这表现为它们方程系数的不同。而这些不同的方程既然要表示同一条曲线，那么它们的系数就应该有某些共同特点，也就是它们的系数应该有某些不因为坐标变换而改变的共同的东西。由于，所以二次曲线（4.2.1）的特征方程（4.4.3）一定有两个实数根。即定理4.5.1：二次曲线（4.2.1）的特征方程（4.4.3）一定有两个实数根有了不变量及特征根做基础，我们就可以用来解决二次曲线（4.2.1）的标准方程用不变量表示的问题了。定理4.5.2 二次曲线（4.2.1）的标准方程通过适当的坐标变换后，其标准方程可以用不变量给出如下：1）当时，曲线是中心型（椭圆或双曲线型）曲线，曲线方程是： （4.5.1）2）当时，曲线是非退化的抛物线型，曲线方程是： （4.5.2）3）当时，曲线是退化的抛物线型（一对平行或重合的直线），曲线方程是： （4.5.3）证明 我们只需证明（4.5.1）、（4.5.2）、（4.5.3）在各自的前提条件下与（4.2.1）的不变量和半不变量相同即可。1）当时，由于是的根，所以于是 2）当时，显然有3）当时，显然有例4 不通过坐标变换，直接写出二次曲线的标准方程，并判定曲线类型。解 计算方程的不变量：解特征方程：，即得。所以曲线的标准方程是这是一个椭圆。例5 不通过坐标变换，直接写出二次曲线的标准方程，并判定曲线类型。解 计算方程的不变量：解特征方程：，即得。所以曲线的标准方程是这是双曲线。例6 不通过坐标变换，直接写出二次曲线的标准方程，并判定曲线类型。解 计算方程的不变量：， 所以曲线的标准方程是 这是抛物线。例7 不通过坐标变换，直接写出二次曲线的标准方程，并判定曲线类型。解 计算方程的不变量：，所以曲线的标准方程是 这是两条平行直线。利用不变量可以细致地判定二次曲线的类型，并且直接写出标准方程，参见表4-1。表4-1类型曲线名称不变量特征标准方程椭圆型1）椭圆2）虚椭圆3）点，双曲型4）双曲线5）一对相交直线抛物型6）抛物线7）一对平行直线8）一对平行虚直线9）一对重合直线习题4.5利用不变量判定下列曲线的类型，并写出它的标准方程：1）2) 3) 4) 5) 6) 4.6*二次曲面的不变量与标准方程简介在第三章我们已经在比较特殊的坐标系中介绍了二次曲面的标准方程和曲面形状以及一些主要几何性质。在这一节我们将简要介绍一般二次曲面方程在坐标变换下的不变量以及用这些不变量来确定二次曲面的标准方程及其类别。一个三元二次方程总可以写成下面的形式： （4.6.1）如果记当时，那么方程（4.6.1）可以用矩阵表示为4.6.1二次曲面的不变量记： (4.6.2)称、为二次曲面（4.6.1）的不变量。记 （4.6.3）称、为二次曲面（4.6.1）的半不变量。由、确定的方程：（4.6.4）叫做二次曲面（4.6.1）的特征方程，其根叫做特征根。定理4.6.1：在一般空间直角坐标变换下，二次曲面（4.6.1）按（4.6.2）和（4.6.3）确定的各量满足：（1）、是不变的；（2）当时，是不变的；当时，是不变的。定理4.6.2：二次曲面（4.6.1）的三个特征根都是实数。定理4.6.3：经过适当的空间直角坐标变换，二次曲面方程（4.6.1）的标准方程可以由不变量和特征根表示如下：（1）当时，二次曲面（4.6.1）是中心型曲面，其标准方程为： (4.6.5)（2）当时，二次曲面（4.6.1）是抛物型曲面，其标准方程为： （4.6.6）（3）当时，二次曲面（4.6.1）是中心型柱面，其标准方程为： （4.6