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定积分 第六章 中国人民大学出版社赵树嫄 微积分 第四版 1 第一节定积分概念的引例 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b a b 及x轴所围成的平面图形的面积 实例 求曲边梯形的面积 2 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 3 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 播放 4 曲边梯形如图所示 分割 近似 5 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 求和 取极限 1 分割 2 求和 3 极限 6 第二节定积分的定义 定义 记为 7 积分上限 积分下限 8 说明 1 2 有界是可积的必要条件 无界函数一定不可积 3 可积的充分条件 9 4 规定 5 由定义不难得到 10 定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形面积的相反数 11 若要求阴影部分的面积 则为 12 例1利用定义计算定积分 解 13 例2用定积分表示极限 解 14 第三节定积分的基本性质 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 性质1 此性质可以推广到有限多个函数和的情况 性质2 k为常数 性质1 2合称线性性 15 说明 不论a b c的相对位置如何 上式总成立 例如 则 性质3区间可加性 证略 16 证 性质4 保号性质 由极限的保号性可知 证略 17 推论1 证 18 推论2 证 即 19 性质5 估值定理 证 由性质2 有 再由性质4推论1 得 20 性质6 定积分中值定理 证 估值定理 由闭区间上连续函数的介值定理知 即 21 积分中值定理的几何解释 上的平均值 22 解 例1 于是 23 证 例2 即f x 单调减少 24 第四节微积分基本定理 用定义求定积分实际上是行不通的 下面介绍计算定积分的新方法 定理1 构造变上限积分函数 一 微积分基本定理 25 用定义求定积分实际上是行不通的 下面介绍计算定积分的新方法 定理1 构造变上限积分函数 一 微积分基本定理 第四节微积分基本定理 26 用定义求定积分实际上是行不通的 下面介绍计算定积分的新方法 定理1 构造变上限积分函数 一 微积分基本定理 第四节微积分基本定理 27 用定义求定积分实际上是行不通的 下面介绍计算定积分的新方法 定理1 构造变上限积分函数 一 微积分基本定理 第四节微积分基本定理 28 用定义求定积分实际上是行不通的 下面介绍计算定积分的新方法 定理1 构造变上限积分函数 一 微积分基本定理 第四节微积分基本定理 29 用定义求定积分实际上是行不通的 下面介绍计算定积分的新方法 定理1 构造变上限积分函数 一 微积分基本定理 第四节微积分基本定理 30 证 31 由积分中值定理得 32 原函数存在定理 该定理告诉我们 连续函数一定有原函数 原函数 33 变限积分函数的求导 证 34 更一般地 由 即可得结论 35 例1求下列变限积分函数的导数 36 例2 37 例3求下列极限 分析 这是型未定式 应用洛必达法则 解 38 例3求下列极限 分析 这是型未定式 解 等价无穷小替换 39 例3求下列极限 解 分析 这是型未定式 40 解 例4 分离非零因子 41 练习 解 42 定理2 微积分基本公式 证 二 牛顿 莱布尼茨公式 43 所以 牛顿 莱布尼茨公式 44 注意 上述公式通常称为微积分基本公式 它揭示了定积分与不定积分之间的关系 给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法 45 例5 例6 例7 例8 46 练习 计算 解 原式 47 例9求 原式 解 例10求 解 48 解 49 例12求 原式 解 50 解 例13 51 第五节定积分的换元积分法 定理 则有 52 证 53 注意 1 应用定积分的换元法时 与不定积分比较 多一事 换上下限 少一事 不必回代 2 3 逆用上述公式 即为 凑微分法 不必换限 54 例1 例2 例3 55 例4计算 解 原式 56 例5计算 解 令 原式 57 例6计算 解 令 原式 58 例7求积分 解 令 原式 几何意义 圆面积的1 4 59 例8计算 解 令 原式 60 例9 解 令 原式 61 证 利用函数的对称性简化计算 62 63 例10 奇函数 奇函数 奇函数 64 证 例11 65 第六节定积分的分部积分法 定理 例1 例2 66 例3 67 例4 例5 68 例6计算 分部积分法与换元法结合 解 令 原式 69 例7计算 解 得到递推公式 70 而 若n为正偶数 则 若n为大于1的奇数 则 71 即 例如 另外 沃利斯 Wallis 公式 72 例8 解 73 解 练习 采用分部积分的方法 74 第七节定积分的应用 一 平面图形的面积 面积元素 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b a b 及x轴所围成的平面图形的面积 面积 微元法 75 若f x 有正有负 则曲边梯形面积为 76 面积元素 所围成的平面图形的面积 X 型平面图形的面积 77 一般地 78 Y 型平面图形的面积 及y轴围成的平面图形的面积为 一般地 79 围成的平面图形的面积为 一般地 80 解 选x为积分变量 例1 由 得交点 81 解 由对称性知 例2 总面积等于第一象限部分面积的4倍 82 利用圆面积 解 由对称性知 例2 总面积等于第一象限部分面积的4倍 83 解 两曲线的交点 例3 此法麻烦 84 此题选y为积分变量比较好 选择积分变量的原则 1 尽量少分块 2 积分容易 85 例4 围成的平面图形的面积 解 由对称性 交点 86 例5 解 87 例6 作草图如右 解 利用圆面积 88 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 二 旋转体的体积 89 a b 体积元素 旋转体的体积为 切片法 90 直线OP的方程为 解 例7 91 例8 解 92 例9 解 93 例9 解 利用圆面积 94 95 例10 解 下面再介绍一个新方法 96 套筒法 柱壳法 体积微元 97 上例 98 例11 解 套筒法 推广 99 解 例12 100 解 例12 101 解 例13 圆锥体积 102 三 经济应用问题举例 设总成本函数为C C Q 总收益函数为R R Q 其中Q为产量 则总成本函数为 则总收益函数为 所以总利润函数为 称为固定成本 103 某商品每周产量为Q 固定成本为200元 成本函数变化率为 例14 解 求成本函数 如果该商品的销售单价为20元 且假设产品可以全部售出 求利润函数L Q 并问每周产量为多少时 可获得最大利润 成本函数为 104 某商品每周产量为Q 固定成本为200元 成本函数变化率为 销售收入为 所以利润函数为 得唯一驻点 所以当每周产量时 利润最大 最大利润为 例14 解 如果该商品的销售单价为20元 且假设产品可以全部售出 求利润函数L Q 并问每周产量为多少时 可获得最大利润 最大利润为多少 求成本函数 成本函数为 105 例15 解 所以需求函数为 106 1 若固定成本C 0 1 万元 求总成本函数 总收益函数和总利润函数 2 当产量从100台增加到500台时 求总成本与总收益的增量 3 产量为多少时 总利润最大 最大利润为多少 例16已知生产某产品x单位 百台 的边际成本函数和边际收益函数分别为 107 总收益 总利润 解 1 总成本 108 第八节广义积分 在定积分的定义中 有两个限制 无界函数的积分 称为瑕积分 无限区间上的积分 称为无穷限积分 1 积分区间有限 2 被积函数有界 当这两个条件至少有一个不满足时 称广义积分 现一般称为反常积分 109 一 无穷限广义积分 定义 如果上述极限不存在 即 110 类似地 注意 上式只有右边两个广义积分均收敛时才有意义 111 例1讨论下列无穷限积分的敛散性 解 所以 112 例1讨论下列无穷限积分的敛散性 解 所以 113 例1讨论下列无穷限积分的敛散性 解 114 115 例1讨论下列无穷限积分的敛散性 解 比较 116 解 例2 积分发散 所以 117 例3 其中 练习 118 例4 解 令 原式 119 计算广义积分 例5 解 原式 120 二 无界函数的广义积分 定义 如果极限 即 存在 则称广义积分 121 存在 则称广义积分收敛 即 122 例6讨论下列瑕积分的敛散性 解 0为瑕点 原式 注 123 例6讨论下列瑕积分的敛散性 124 例6讨论下列瑕积分的敛散性 125 例6讨论下列瑕积分的敛散性 126 例7 解 发散 所以 127 比较 例7 解 发散 所以 128 例8讨论下列瑕积分的敛散性 解 0为瑕点 129 例8讨论下列瑕积分的敛散性 解 130 例8讨论下列瑕积分的敛散性 是瑕点 解 131 发散 思考题 是瑕点 132 三 函数 定义 变量t的函数 称为 函数 函数的性质 证 133 证 证 134 例9计算广义积分 解 在第八章中将证明 练习计算广义积分 解 135 END END 136 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 137 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边