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空间解析几何 第六章 3 向量的数量积 向量积与混合积 数量积 向量积 混合积 3向量的数量积 向量积与混合积 一 两向量的数量积 1 数量积的定义 定义1 对这个定义作几点说明 两向量的数积是一个数量而不是向量 2 若a b中至少有一个是零向量 则不能确定 但它们的数积是0 3 两个向量的数积等于零的充要条件是a 0或b 0或 规定 零向量垂直于任何向量 因此 两向量垂直的充要条件是它们的数量积等于零 当a b为两非零向量时 根据定理有OM 射影baa b a 射影ab b 射影ba 见下图 定理 向量的数量积满足下列运算规律 特别地 当b为单位向量e时 有a e b 射影ea 射影ea当a b 则有a a a a cos0 a 2 2 数量积的坐标表示法 在直角坐标系下 向量的数量积有下面性质 定理 设a X1 Y1 Z1 b X2 Y2 Z2 则a b X1X2 Y1Y2 Z1Z2 3 向量的模与方向余弦的坐标表示法 定理 设向量a Xi Yj Zk 则 a 非零向量与三坐轴之间的夹角叫做该向量的方向角 方向角的余弦叫做向量的方向余弦 向量的方向余弦也可用向量的坐标表示 定理 设非零向量a Xi Yj Zk与x轴 y轴 z轴的夹角分别为 即a的三个方向角 则有 例1在xoy平面上找一单位向量 使它与向量垂直 解 设在xoy面上所找的向量为 则 即 例2求与向量a 2i j 2k共线且满足a x 18的向量x 解 因为a与x共线 则必存在 0 使 所以 2x 4 2 4 x a 2 2 又a x 18 即4 4 18 解 因 所以 构成一个等边三角形且 且 求 二 两向量的向量积 1 向量积及其运算规律 定义2 则称c为a b的向量积 记为c a b 又称为叉积或矢量积 设有向量a b 定义c如下 c的方向由a b按右手法则确定 c的模 c a b sin 其中 为a b的夹角 注 a b是一个向量 而且其特征为方向与a与b都垂直 模等于以a b为邻边的平行四边形的面积 即 2 向量积的坐标表示法 设有向量a axi ayj azk b bxi byj bzk 则有a b aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 定理 向量a与b平行 aybz azby azbx axbz axby aybx 0 上式说明 两非零向量平行 对应坐标成比例 例4求与两向量a 2 3 1 和b 3 1 1 都垂直的单位向量 解 显然 c a b与两向量都垂直 先求c 上式中 若有分母为零 则对应的分子也为零 例5求一向量 使此向量与三个点M1 3 0 2
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