折纸与数学ppt课件.pptx

折纸与数学 1 2 一 背景 折纸数理研究的进展折纸科学研究国际会议数学教育中的折纸日本英美等国中国教科书中的折纸 3 二 折纸数理学的成立 英语中有两种说法 一种为folding paper 另一种为origami第一本专著是桑达拉写于1896的 折纸中的几何练习 1924年拉波出版了 折纸的操作 贝洛柯于1935和1936年分别发表了优秀论文 用折纸解几何问题 和 用折纸解3次和4次方程 4 二 折纸数理学的成立 续 70年代 日本学者将目光重新投向折纸中的数理特别是伏见康治夫妇的著作 折纸几何学 之后在日本形成了一个研究折纸数理的高潮 结成了多个研究团体 也出版了许多的专著芳贺和夫 阿部恒 堀井洋子 布施知子 笠原邦彦 前川淳等学者作出了较大的贡献 5 二 折纸数理学的成立 续 进入90年代 在世界上许多国家掀起一股热潮起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开的第一届折纸科学国际会议有关 1994年在第二届折纸科学国际会议上 日本学者芳贺和夫提议 在origami的词未加上后缀ics 用来表示正在形成的用折纸来探究数理的一门新学问 6 三 折纸研究 数学工学 破坏工学 汽车新材料 气囊生活 易打开的地图 新型饮料瓶建筑学 轻巧 结实大楼的设计生物学 蛋白质折纸医学 微型手术刀 支架 人造血管航空 航天 太阳能集光板 射电望远镜 降落伞的折叠 航天飞船船帆艺术1艺术2 7 折纸的应用例 8 9 10 11 馆知宏 2006 12 13 人造血管 牛津大学ashi的发明 14 15 栗林的发明 16 17 四 折纸与分数 分数的概念同分母分数的加 减法分数的性质异分母分数的加减法分数的乘除法 18 五 折纸与图形的性质 几个概念垂直 平行 对称图形的面积三角形 平行四边形 梯形图形的性质三角形的中线 高 角平分线 19 六 折纸几何学公理 1 给定两点P1 P2 总能折一条线过这两点 连点折 2 给定两点P1 P2 总能将点P1折到点P2 合点折 3 给定两直线L1 L2 总能将直线L1折到直线L2上 合线折 20 4 给定一点P1及一直线L1 总能过点P1折一直线垂直于直线L15 给定两点P1 P2及一直线L1 总能过点P2折一直线使得直线L1过点P1 圆规折 6 给定两点P1 P2及两直线L1 L2 总能折一直线使得直线L1过点P1且直线L2过点P2 三维折 21 七 基本折法及其性质 1 基本折法连点折 圆规折 三维折 线自折 合点折 合线折 2 各种折法的性质连点折折痕为过两点的直线合点折折痕垂直平分连接两点的线段合线折折痕平分两线所成的角线自折折痕垂直于该线 22 八 折纸的种类 正方形折纸特殊比例的长方形折纸圆形折纸三角形折纸正多边形折纸 23 九 折纸问题的展开例 一 芳贺折纸三定理1 芳贺第一定理折法发现理由 24 设BA BC 1 BF a 则BE 1 2 EF FC 1 a 由勾股定理得解之得a 3 8 EF CF 5 8利用 AHE BEF与 IHG的相似关系可以求得AH 2 3 EH 5 6 HI 1 6 GI 1 8 HG 5 24 25 2 芳贺第一定理的一般化 1 一般化1 中点 任意点 26 27 2 一般化2 正方形 长方形 复印纸的特征长边 短边 1两大系列 A系列与B系列A系列最大尺寸为A0 其面积为1平方米 B系列最大尺寸为B0 其面积为1 5平方米 28 容易推得A4两边的长分别为与米 1189mm与841mm 容易推得B4两边的长分别为与米 1456mm与1030mm 详细见下表 29 A型 B型复印纸规格 单位mm 30 复印时的扩大与缩小 31 复印纸中的几个关系 32 复印纸的秘密 33 34 复印纸的芳贺第一定理折法 横放 折法 略 猜想 确认 35 3 一般化3 一边中点 正方形内任一点 EF所在直线的方程为折痕线FG的方程为注 如果求出Rt EFH各边的长 那么我们还能得到求毕达哥拉斯数的一般公式 36 4 芳贺第一定理的应用应用芳贺第一定理我们可以折出任意的真分数 并能折得任意精度的角 1 折分数方法1 利用前述的芳贺定理一般化 1 中得到的y2的公式可知当x 1 n时 y 2 n 1 对折后可得1 n 1 即由1 n可折得1 n 1 这样我们由1 2开始可连续折可折得任一单位分数 方法2 利用前述的分数表可快速折得任一真分数 37 4 芳贺第一定理的应用第一定理我们可以折出任意的真分数 并能折得任意精度的角 1 折分数该怎样折任一分数 方法1 利用前述的芳贺定理一般化 1 中得到的y2的公式可知当x 1 n时 y 2 n 1 对折后可得1 n 1 即由1 n可折得1 n 1 这样我们由1 2开始可连续折可折得任一单位分数 方法2 利用前述的分数表可快速折得任一真分数 38 利用上面的结果 我们可以折出任意精度的角 原理 如右图所示 若要折的角 的正切值与某分数接近 则我们先想法折出该分数 把表示该分数的点E与点B连接得角 则 即为所要折的角 例 由于tg32 00538 5 8 所以只要折出表示5 8的点E 再折一条连接点B E的折痕线即可得很精确的32 角 2 折任意角 39 利用顺藤摸瓜的方式可折出其他一些角32 16 8 4 2 1 58 29 74 37 82 41 86 43 88 44 89 61 53 49 47 这样我们可以折出48种角度的角 通过其它的一些辅助角 可以得到1 89 的所有角 40 44 22 11 46 23 68 34 17 79 67 56 73 56 28 14 7 62 31 76 38 19 83 59 52 26 13 71 64 77 41 40 角的近似折法因为所以 只要我们能折出485 578就能得到相当精确的40 角实际上 只需进行三次芳贺第一定理折法 便可得到485 578 具体方法是 先取前述的第一定理一般化1中 先取x为1 4得y2 2 5 由此依次折出3 5 3 10便得7 10 再取x为7 10得y2 14 17 最后取x为14 17 得y1 93 578 并由此得485 578 42 5 芳贺第二定理芳贺第三定理 折法 对点F G的位置作出猜想 给出理由 折法 对点点H的位置作出猜想 给出理由 43 6 芳贺第二 第三定理的一般化 44 二 三角形折纸 1 米仓定理问题的起源米仓的发现 45 46 47 米仓定理的证明 米仓定理的一般化1 田尻定理 证明 48 米仓定理的一般化2上村定理 证明 49 证明思路 EOA与 OAB同为等腰三角形且底角相等 而 ACB等于 AOB的一半 故 ACB AEF 50 上村定理变式1 51 上村定理变式2 52 田尻定理的一般化 渡边定理 内心与外心相对定理 53 正三角形折纸如右上图所示 将正三角形一顶点A折至对边BC上的任一点D B C除外 你有何发现 能说出理由吗 这个结论对一般三角形是否成立 54 角平分线分对边成比例线段的证明 55 猜想 理由 三 折图形面积的1 n 折法 56 折一面积为原面积n分之一的正方形 57 波兰科学院院士施泰因豪斯 H D Steihaus 1887 1972 数学万花镜 参见沈康身著 数学的魅力1 58 59 四 正方形折纸线边合折问题 子母线问题 60 发现了什么规律 为什么 61 线边折交点性质说明图 62 五 X型折线问题 你对图形中的数量关系有什么猜想吗 63 说明图中数量关系的图 64 六 圆形折纸问题 65 七 二次曲线用圆形折纸折椭圆 用圆形折纸折双曲线 抛物线的折法 66 八 用折纸来探究 1 梯形面积公式的推导 67 三角形面积公式的推导 68 九 用折纸来探究 续 2 三角形的中线 高线 角平分线 69 十 几个课题1 正三角形的折法 折法1 70 折法2 71 折法3 72 2 拉丁十字架 能折成什么样的立体 73 74 能折成什么样的立体 拉丁十字架的展开 75 76 77 3 一刀剪 1 剪正方形 78 2 剪五角星 79 3 剪三角形 80 4 剪乌龟 81 4 三浦折法 82 用三