第一讲格点与面积.doc

第一讲 格点与面积问学习锦囊 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？通过学习，我们就能发现正方形格点问题：多边形面积=边格点数2内格点数1。这个规律就是毕克定理用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，则它的面积为 例1 判断下列图形哪些是格点多边形？ 阅读与理解 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，且顶点要在格点上！ 分析与解答 只有（1）号是格点多边形。回顾与反思 这一讲的内容必须在认识什么格点多边形的基础上才行。 例2 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积。找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系吗？仔细观察图形：横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。第（1）组图形编号一周格点数46814中间格点数0000面积（平方厘米）1236中间没有格点时，面积=一周格点数21第（2）组图形编号一周格点数46814中间格点数1111面积（平方厘米）2347中间有一个格点时，面积=一周格点数2（11）1211第（3）组图形编号一周格点数46814中间格点数2222面积（平方厘米）3458中间有两个格点时，面积=一周格点数2（21）（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加；（2）各图形的面积见表格。各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：图形面积=图形一周的格点数2（中间格点数1） 正方形格点问题：多边形面积=边格点数2内格点数1。这个规律就是毕克定理若用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，则它的面积为 。接下来我们就可以用这各规律求出正方形格点多边形的面积。来试一试吧！ 你能运用毕克定理验证下列格点图形的面积吗？例3 如图，计算这个格点多边形的面积 初看，这些都是三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积但这样还得去分割，而利用毕克定理就很简单了！分析与解答 方法一：利用添补法如图（b）：矩形面积是；直角三角形的面积是：；直角三角形的面积是：；直角三角形面积是；所求三角形的面积是同学们，你觉得哪种更简便？方法二：利用分割法如图（c）：将它分成两个等底等高的三角形，面积=5222=10方法三：利用毕克定理：面积=62+8-1=10 当然运用毕克定理的前提还是等必须是格点多边形才行哦！ 1我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？2下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积： 拓展练习1下图中每个小正方形的面积为1平方分米,计算下面格点多边形的面积。2.右图是一个812面积单位的图形.求矩形内的箭形的面积. 3.右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ 你敢挑战吗？1. 右图是一个55的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？2第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？本讲你有什么收获？学习中最有趣的事情是什么？专题精析 大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法，迅速算出从1到100这100个自然数的总和。大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？这一讲我们就来学习巧求等差数列和的方法。 我们来观察下面几组数列：（1）1,2,3,4,，100； （2）1,3,5,7，99；（3）4,8,12，16400 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列。数列中的每一个数称为一项，第一项称为首项，最后一项称为末项。上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 等差数列的和=（首项+末项）项数2末项=首项+公差（项数-1）首项= 末项-公差（项数-1）第二讲 巧妙求和 例1 计算：1+2+3+4+5+100阅读与理解 这是一个等差数列，公差为1，首项为1，末项为100，共有100项。细心观察，把这个等差数列的首尾各项分组相加可以发现，1+100=2+99=3+97=50+51,这个数列的和为：（1+100）1002=5050,这样我们就得到等差数列的求和公式:等差数列的和=（首项+末项）项数2分析与解答 1+2+3+4+5+100 =（1+100）1002 =10150 =5050回顾与反思 对于一个等差数列，我们只要知道他的首项、末项和项数，就可以利用公式：等差数列的和=（首项+末项）项数2，求出这数列的和。这是利用等差数列首尾对称性来推导出求和公式。这种数学思想在以后解数学问题过程中有着广泛的应用。基础练习1. 13+14+15+16+26+272. 101+102+103+198+199 例2 求首项是5，公差为3的等差数列的前2008项之和。阅读与理解 我们已经知道这个等差数列的首项和项数，要求和就得首先求出末项。可以发现等差数列有这样的规律：首相加上1个公差就等于第2项，加上2个公差就得到第3项，要得到2008项就要在首项上加上（2008-1）个公差，所以这个等差数列的末项为：5+3（2008-1）=6026；让后利用求和公式进行计算。 分析与解答 末项=5+3（2008-1）=6026和=（5+6026）20082 =60311004 =6055124回顾与反思 由本题我们可以得到求末项的公式：末项=首项+公差（项数-1）；同理，我们也推出求首项的公式：首项= 末项-公差（项数-1）基础练习1.有一串数，第一个数是5，以后每个数都比前一个数大5，最后一个数是90，这串数连加，和是多少？ 2.有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，这20个数连加和是多少？例 3 用三根等长的火柴棒摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按照下图所示铺成一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么这个大的等边三角形中，一共要放多少根火柴？如图阅读与理解 细心观察，可以发现三角形排列有如下规律：如果把图上最上端的一个三角形看作第一层，与第一层相连的3个三角形（2个向上的三角形；1个向下的三角形）看做第二层，那么这个大的等边三角形中一共有10层三角形。自上而下，这10层三角形每层所需的火柴棒的根数分别为：3,6,9，310，这10个数构成等差数列，首项为3，末项为30，项数为10，这项就可以利用等差数列求和公式求出所需火柴棒的总数了。分析与解答 3+6+9+310=（3+30）102=335=165（根）答：这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。回顾与反思 这是等差数列问题的应用题。通过细心观察,深入分析，我们可以探索得出一些题目中隐含着一个等差数列，然后可以运用等差数列求和的公式求得结果。基础练习1. 12个同学聚会，如果见面时每个人都和其余的人握手一次，那么一共握手多少次？ 2.小红看一本书，第一天看了3页，以后每天都比前一天多看2页，10天刚好看完，这本书总共多少页？例4. 盒子里放有一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出，变成4只，放回盒子里;第2次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成4只球后，放回盒子里，第十次从盒子里拿出10只球，将每只球变成4只球后放回盒子里。这时盒子里共有多少只球？阅读与理解 每次把拿出的球变成4只球放回去。1只球变成4只球放回去，盒子里的球就增加了3只。第一次操作之后，盒子里就增加了3只小球，第二次操作之后，盒子里面增加了（3*2）只球，第十次增加了（3*10）只，按照次序，每次操作之后增加的球的数量1构成了一个等差数列，这样就可以求出增加的球的总数，再加上原有的一个，即得总数。分析与解答 31+32+33+310+1 = 3（1+2+3+10）+1 = 355+1 = 165+1 = 166（只） 答：盒子里共有166只球。回顾与反思 这个例子又是一个等差数列的一个重要应用，一开始得出的数列不是等差数列，但经过提取公因数3后得到的是一个等差数列，再运用等差数列求和公式，就比较容易得出结果。拓展练习1. 1+2+3+49+50+49+3+2+12.求下面这个数列前10项的和。101， 203，105, 207, 109, 211，117 ，219，3.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该时刻的时钟钟面数，每半点也敲一下。求时钟一昼夜总共敲打多少下?挑战练习1.一堆相同的立方体堆积如下图所示。第一层1个，第二层3个，第三层6个，第十层有多少个立方体？成长小档案 本讲你有什么收获？学习中最有趣的事情是什么？第三讲 周期问题学习锦囊 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。解答此类问题时，首先要找到解题关键循环周期，利用周期性规律使看似复杂的问题迅速的化难为易。例1 有一列数2，9，8，2，6从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字，例如：第四个数就是第二、第三两数乘积98=72的个位数字2，那么这一列数的第100个数是几？你知道了吗？阅读与理解1 初读这道题，我们发现不了它有规律，因此我们就需要多写几位，就能清晰所见了！2，9，8，2，6，2，6分析与解答 第100个数相当于把前3个数去掉，原来100个数就是现在的第97个数，972=48（组）1个，就相当于是第一组的第1个，所以第100个数应该是2。回顾与反思 这一类问题的关键是发现它的周期规律，找到每个循环周期就是解题的突破口。模仿练习 1左手单手手指计数，一个小朋友按下图所示的规则练习计数，当他数到25时，对应的是什么指？数到2008时，对应的是什么指？每个手指上是数都是有循环规律的哦！ 例2 有 4567个3连乘，它的积的个位数字是几？两数相乘，积的个位数是这两个数的个位数的乘积的个位数，因此题中的333，我们就可以想到它的积的个位，应该是这样的 4567个 一列数：3,9,7,1,3,9,7，45674=1141（组）3个你想到了吗？吗？4567个积的个位就相当于第1组的第3个，因此4567个3连乘，它的积的个位数字是遇到类似的看似数据大，初想很复杂的题目，往往其中会蕴藏规律，关键在于我们应该细细去观察、去寻找规律20032003表示几个几相乘，两数相乘，积的个位数是这两个数的120032003 的个位数字是几？2 777777+888888+999999的个位数字是几？ 例3 3200 被13除的余数是几？ 3200表示200个3相乘，那么我们可以从1个3 被13除，2个3 被13除，它们的余数中找到周期规律 3113=03 3413=63 3213=09 3513=189你会填吗？3313=21 3613=561 不难发现3n13的余数以“3、 9 、1”不断循环当n=200时2003=662，所以余数为（ ） 从本题中我们会发现，可以通过举例按顺序地从第1个开始，一个接一个的枚举，就会找到其中的周期存在，问题也就迎刃而解了！ 可以列竖式去找到周期，试试？1 接连写 100个12得一个自然数，这个数除以13的余数是几？ 257商的小数点后面第1000个数字是几？例4 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（81）7=1.没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，经过几天这才是这道题的关键。 2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天，927=13（周）1（天）余1天就是从星期一往后数一天，即星期二。 运用“算尾不算头”的方法计算天数也可以理解为只中一头的植树问题，平时计算天数时也可以运用。1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？2. 1999年的11月17日是周三，这一年的2月6日是周几？ 拓展练习1按下面摆法摆80个三角形,有（ ）个白色的. 2 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_.3. 时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是_.4. 把自然数1,2,3,4,5如表依次排列成5列，那么数“1992”在_列.第一列第二列第三列第四列第五列1234598761011121314181716155. 7777所得积的个位数是_. 50个你敢挑战吗？1. 1999年1月1日是星期五，那么2001年1月1日是星期几？2在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？本讲你有什么收获？学习中最有趣的事情是什么？专题精析 同学们都知道曹冲称象的故事吧。曹冲让大象上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。再把大象赶上岸，把这条船装上石头，当水面淹没到记号的位置时，就可以知道船上的石块共有多重，大象就有多重。曹冲称象就是运用到了“等量代换”的方法，两个相等的量，可以互相代换。解数学题，经常用到这种思考方法。 第四讲 等量代换例1 已知：（见下图）求：一个等于几个。阅读与理解 由已知的天平图改写成等式： 2=6（1） 3=3（2）由（1）式得：=3（3）由（2）式得=（4）将（3）式代入（4）式的：=3，及一个=3个。分析与解答 一个等于3个回顾与反思 本题中由图（1）可推知一个等于3个，这是本题的关键。然后进行适量的等量代换，推出一个等于3个。基础练习1、+=27 41-=5 +=13+=+ =+ -=3=（ ） =（ ） =（ ）=（ ） =（ ） =（ ）2、+=21 -=38 +=15+=18 -=45 +=12-=（ ） -=（ ） +=（ ）3、+=+ =+=+ =+=（ ）个 -=（ ）个48克 例2 已知（见下图）求：最大的球的重量是多少克?阅读与理解 由图（1）得3个黑圆等于2个黑圆+48所以黑圆=48克。由图（2）得三个=2个黑圆，及三个=248，所以=2483，所以=2483=32（克）。由图（3）得：=4=432=128（克）。分析与解答 =48（克）=2483=34（克）=4=432=128（克）答：最大的球的重量是128（克）。回顾与反思 本题充分利用图1中的已知条件，推出一个黑球的重量，然后逐步一个大球的重量。 基础练习1下面图中每只梨重500克，那么，1根香蕉比1个苹果轻多少千克？2已知1头猪=2只羊，1只羊=8只兔子。 1头猪=（ ）只兔子； 2头猪=（ ）只兔子； 3只羊=（ ）只兔子； 24只兔子=（ ）只羊；32只兔子=（ ）头猪例 3 百货店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？阅读与理解 根据“2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双鞋？”可以求出每个纸箱多少双鞋，也就能求出一个木箱能装多少双鞋。分析与解答： 300（22+60=30010=30（双）。302=60（双） 答：每个纸箱里装30双球鞋，每个木箱里装60双球鞋。回顾与反思 解答本题时需根据条件“2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多”进行等量代换。将两个量转化成一个量，问题迎刃而解。基础练习 1买6千克荔枝和8千克桂圆，共付312元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。荔枝的单价是多少元？桂圆的单价是多少元？ 2甲、乙二人共同生产一种零件，甲生产了8小时，乙生产了6小时，一共生产了312个零件。已知乙5小时的工作量等于甲2小时的工作量。甲生产了多少个零件？乙生产了多少个零件？3甲、乙两数之差是180，如果将乙数的小数眯向右移动一位就与甲数相等。甲、乙两数各是多少？例4 如下图，BDFE是正方形，求出最大的长方形ACGH的周长。阅读与理解 因为BDFE是正方形，所以，DF=FE=BE=BD,由于长方形ACGH的宽等于正方形BDFE的边长，而CF与BH长度的和等于长方形ACGH长与宽的和，既长方形ACGH长于宽的和是7+5=12（厘米）。所以长方形ACGH的周长可求。分析与解答 （7+5）2=24（厘米）。答：图中最大长方形ACGH的周长是24厘米。 回顾与反思 充分运用已知数据，理解本题中CF与BH长度的和等于长方形ACGH长于宽的和，是本题的关键所在。基本练习1.如右图，阴影部分是正方形，求长方形ABCD的周长。拓展练习1. 已知13个李子的重量等于2个苹果的和一个桃子的重量，而4个李子和一个苹果的重量等于一个桃子的重量。多少个李子的重量等于一个桃子的重量？2百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱里，6个纸箱里，如果2个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多，每个木箱和纸箱各装多少双球鞋？3.有两辆汽车运一批化肥，小汽车运5小时，大气车运8小时，一共运化肥624袋，已知小汽车5小时运的等于大汽车的2小时运的，这两种小汽车每小时各运多少袋？4.一些质量相同点的铁块，每小块50克，8个铁块和4只香蕉质量相等，11个铁块等于5个梨的质量，问：一个梨比一只香蕉多多少克？成长小档案 本讲你有什么收获？学习中最有趣的事情是什么？第五讲 简便计算专题精析 计算是数学学习的基础，在计算中，我们既要做到正确，还要做到快速、巧妙，这样不仅能节省计算时间，还能提高分析问题的能力，促进我们思维的发展。 在整数加减法和乘除法中，要运用运算定律、运算性质或利用某些公式使计算简便。常用的方法：凑整；改变运算顺序；拆分。 巧算的根据：（1）乘法交换率：（2）乘法结合率：（3）乘法分配率：（4）积不变规律： 聪明的同学们，根据以上的知识，你们能解决下面的问题吗？例1 计算 199999+19998+1997+196+10阅读与理解 前四个加数分别加上1、2、3、4就能凑成整十万、整万、整千、整百的数，而最后的10又能拆成1+2+3+4，与前面四个数相加，这样比较简便。 分析与解答 199999+19998+1997+196+10 （ 199999+1）+（19998+2)+(1997+3）+（196+4） 200000+20000+2000+200 222200 回顾与反思 此例用凑整法求解独树一帜。例2 简便计算 （1） 597-（197-69） （2）849-273+173 阅读与理解 （1）式是一个数减两个数的差，根据a-（b-c）a-b+c可以使计算简便。但要注意，由于括号前面是“-”号，所以去括号后要变号。（2）式是减去一个数再加上一个数，根据a-b+ca-（b-c）可以使计算简便。但要注意，小括号内的“变号”。分析与解答 （1） 597-（197-69） （2）849-273+173 597-197+69 849-（273-173） 400+69 849-100 469 749回顾与反思 这两题巧算的根据和方法是什么？例3 简便计算 12588 2532125 阅读与理解 由于1258=1000,254=100，所以只要把算术中的88分解成811，把32分解成48，再运用乘法的交换律和结合律分别与25,125相乘，使计算变得简便。分析与解答 12588 2532125 =125811 =（254）（8125） =100011 =1001000 =11000 =100000回顾与反思 几个数相乘时，结合题目数字的特点，将一些数字进行适当的“分解”后，运用乘法的运算定律可以使一些计算简便。例4 计算下面各题。（1）1399 （2）147101 （3）9473+2794 （4）18716-8716.阅读与理解 观察一、二题，题中的一个乘数可以“拆分”为整十、整百、整千的数与一个一位数的和或差，然后运用乘法分配计算。 对于乘法分配律，我们既要会正过来运用，也要学会反过来运用，仔细观察三、四，同样可以运用乘法的分配律。分析与解答 1399 147101 =13（100-1） =147（100+） =13100-131 =147100+1471 =1300-13 =14700+147 =1287 =14847 9473+2794 18716-8716 =94（73+） =16（187-87） =94100 =16100 =9400 =1600回顾与反思 巧妙的计算并非无源之水，首先要做到熟练掌握各种运算定律、运算性质，通过适当的变式，进行凑整，并达到巧算的目的。因此在计算过程中要多动脑筋多观察，结合所学知识不断变化方法，积累经验，从而形成一些自己特有的计算技巧。基本练习536+（541+464）+459 4253-（253+158） 847-（647-130）12536 （5）558-825 （6）1255325拓展练习（1）9999999919999 （2）6179586171043-617挑战练习（1）19891999-19882000成长小档案 本讲你有什么收获？学习中最有趣的事情是什么第六讲 阶段性自我回顾一 同学们，通过前面的学习，你一定有不少收获吧！那就让我们一起来分享吧！一、 我来填一填1.计算 ： 199999+19998+1997+196+10 19891999-198820002.如右图，阴影部分是正方形，求长方形ABCD的周长。3.买一支自动铅笔与一支钢笔共用13元，已知铅笔比钢笔便宜5元，那么买铅笔花（ ）元，钢笔花（ ）元。1. 甲班与乙班共植树300棵，甲班植的棵数是乙班的5倍，甲班植树（ ）棵。2. 哥哥7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，当哥哥（ ）岁时，正好是妹妹年龄的3倍。3. 被除数、除数与商的和是79，已知商是4。被除数是（ ），除数是（ ）。4. 小丽今年7岁，小丽妈妈今年35岁。小丽（ ）岁时，妈妈的年龄是小丽的8倍？5. 数一数，右图一共有（ ）个角。6. 有一组算式：1+1，23，35，1+7，29，3+11，1+13那么和是1997的算式是左起第（ ）个算式，第1999个算式的和是（ ）。二、我会解决1. 有两块同样长的布，第一块卖出25米，第二块卖出14米，剩下的布第二块是第一块的2倍，求每块布原有多少米？2.今年小玲12岁，妈妈40岁。当妈妈的年龄是女儿5倍的时候，母女两人年龄的和是多少岁？3.图中，含“A”的正方形有（ ）个。（请简要写出思考过程）还记得吗？4长方形操场的长与宽相差80 米，沿操场跑一周是400 米，求这个操场的长与宽是多少米？ 长 宽 5工厂新建一宿舍，每间住4人，则有34人没床位，每间住6人，则又多5间房，共有多少名工人要安排住宿？6.王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共250只，其中鸭比鹅的2倍少l 0只鸡比鸭的3倍多20只。王奶奶养了几只鸡，几只鸭和几只鹅呢？7用一根绳子测井深，把绳子三折，超出井口3分米，把绳子四折，低于井口2分米，绳子有多长？井有多深？成长小档案本讲你有什么收获？学习中最有趣的事情是什么？第七讲 错中求解专题精析 同学们在四则运算题的计算中，如果粗心大意将式子中的一些数字或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。如小马在计算除法时，把被除数420错写成240，结果得到的商是48。能不能利用48这个错误的商，求出正确的答案呢？解答这类题目须掌握以下几点：1纠正加法中的错算题时，先要认真分析加数与和相对应的变化，再根据和的变化规律，用错误的和加上少加的数，减去多加的数，得到正确的和。2纠正减法中的错算题时，先要认真分析被减数、减数与差相对应的变化，再根据差的变化规律，用错误的差加上多减的数，减去少减的数，得到正确的差。3纠正乘法中的错算题时，先要认真分析因数与积相对应的变化，再根据乘、除法的关系，用积的变化前后的差除以其中一个因数变化前后的差，求出另一个因数。4纠正除法中的错算题时，先要认真分析被除数、除数与商和余数相对应的变化，再根据除法各部分间的关系，求出被除数或除数，进而求出正确的商和余数。聪明的同学们，根据以上的知识，你们能解决下面的问题吗？例1 小华在计算两个加数相加时，把第一个加数百位上的7错写成1，把第二个加数十位上的6错写成了9,这样算得和是443.正确的和应是多少？阅读与理解 因为“把第一个加数百位上的7错写成1”，所以第一个加数减少了600；又因为“把第二个加数十位上的6错写成9”，所以第二个加数增加了30,根据和的变化规律，和因此也减少了600，后又增加了30，所以，用错误的和加上600，再减去30,就得到了正确的和。分析与解答 443+（700-100）-（90-60）= 443+600-30 = 1013答：正确的和应是1013。回顾与反思 从这道题可以看出，纠正错算的关键是要找到错因。如本题错算的原因就是加数发生了变化，从而和也发生了变化，于是要根据和的变化规律，把错误的和纠正为正确的和。基础练习 1.两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31.求这两个数。2.甲乙两个学生同算两数之和，甲得685，计算正确，乙得460，计算错误。乙算错的原因是将其中一个加数末尾的0漏掉了。两个加数各是多少？例1 小红做两位数乘两位数的题时，把第二个因数的个位数4错当成1，乘得的结果是525，实际应为600.这两个数各是多少？阅读与理解 用以下的一个算式帮助我们来分析： 4 1_ _6 0 0 5 2 5 第二个因数的个位数4错当做1，所得的结果比原来少了（4-1）个第一个因数；实际的结果与错误的结果相差（600-525=75），正好是第一个因数的3倍。分析与解答 第一个因数：（600-525）（4-1）= 753 = 25。第二个因数：60025 = 24.答：这两个因数分别是25和24.回顾与反思 纠正乘法中的错算时，先要认真分析因数与积相对应的变化，再根据乘除法的关系，用积变化前后的差除一其中一个因数变化前后的差，求出另一个因数。基础练习1.一学生在做两位数乘法时，把一个因数个位上的8错写成5，得到的结果是800，而正确的答案是896。这两个两位数分别是多少？例2 王芳在做一道乘加混合运算（4+）15时，错抄成了4+15，这样，他算出的结果与正确结果相差多少？阅读与理解 可以先比较题中的两个算式：（4+）15=415+15415+15比4+15多多少，就是这两次计算结果相差多少。分析与解答 （4+）15-（4+15）= 415-4 = 60-4 = 56答：他算的结果与正确结果相差56.回顾与反思 此题关键是将（4+ ）15根据乘法分配律展开，去掉相同的15，只要比较415与4相差多少即可。基础练习1.小强在做计算题（1800-）25+192时，没有注意题里的括号，先用里的数除以25，然后按加减运算的顺序计算，得1968.这道题应该得多少？2.小军在做题时，由于粗心，把被减数个位上的3写成了8，把十位上的0写成了6，这样算得的差是199.正确的差是多少？例4 小东在计算除法时，把除数末尾的“0”漏掉了，结果得到的商是700。正确的商是多少？阅读与理解 除数的末尾“0”漏了，相当于除数缩小10倍，则商扩大了10倍，正确的应缩小10倍，由此可得到如下解法。分析与解答 70010=70.答：正确的商为70.回顾与反思 此例根据商的变化规律，使问题迎刃而解。 基础练习：1.小兰在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13，还余52，正确的商是多少？2.王小红在计算一道除数是三位数的除法算式时，由于漏写除数十位上的“0”而成18，结果得到的商是234.这道题正确的商应该是多少？拓展练习1.有5个数的平均数是7，小明把其中的一个数错看成9后，求得这5个数的平均数为8。看错的那个数原来是多少？2.小兰在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少3，但余数恰好相同。这道题的除数和余数各是多少？3.一个学生在做两个整数的乘法时，把其中一个因数的个位数4误看成1，得出的乘积是525，另一个学生却把这个因数的个位数字误看成8，得出的乘积是700.正确的乘积是多少？4.小明在计算除法时，把被除数末尾的“0”漏写而成18.结果得到的商比正确的商少54，正确的除法算式是怎么样的？挑战练习1.小红在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174.这样商比原来多了3，余数比原来多了1.这道题的除数和余数各是多少？2方方和圆圆做一道乘法算式题，方方误将一个因数增加了14，计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数增加了14，积增加了168，那么，正确的积是多少？成长小档案 本讲你有什么收获？学习中最有趣的事情是什么第八讲巧求周长专题精析 在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不通，这时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，然后灵活运用长方形、正方形周长公式进行计算。聪明的同学们，根据以上的知识，你们能解决下面的问题吗？例1 如下图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和形区域乙和丙。甲的边长为厘米，乙的边长是甲的边长的倍，丙的边长是乙的边长的倍，那么丙的周长为多少厘米？长多少厘米？ 阅读与理解 图形虽然复杂了，但万变不离其中，L型丙的周长就等于谁的周长呢？分析与解答 乙的周长实际上是正方形的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形的周长。由于，所以丙的周长为厘米，（厘米）。回顾与反思 在此题中运用移动边的方法把L型的丙图形的周长转化为ABCD的周长是关键。 基础练习1. 下图的周长与长厘米，宽厘米的长方形周长相同，所以它的周长为厘米（单位：厘米）。2. 下图的周长可以看成一个长由个1厘米的小线段组成，宽由个1厘米的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是厘米。 例2 下图中的阴影部分是正方形，线段长厘米，线段长厘米，则长方形的周长是几厘米？ 阅读与理解 长方形的周长=（长+宽）x2. 长和宽之和在题中可以间接的得到分析与解答 由于图中阴影部分是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形的宽。的和应为长方形的长加上正方形的边长，所以等于长方形的长与宽之和。所以长方形的周长为：厘米。回顾与反思 此题中长方形的长和宽之和是关键。 基础练习1.一个正方形被分成了4个相等的长方形.每个小长方形的周长都是40厘米,求正方形的周长是多少厘米?如图所示.例3 用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？阅读与理解 先观察图形找规律，几个图形为一组。 分析与解答大平行四边形上、下两边的长为厘米，观察上边，每厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是个。回顾反思 解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，基础练习：1. 用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？例4 有个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是平方厘米，求这个大长方形的周长。阅读与理解 从图上可以知道，小长方形的长的倍等于宽的倍。分析与解答 长方形的长是宽的倍。每个小长方形的面积为平方厘米，所以宽宽，所以宽为厘米，长为厘米。大长方形的周长为厘米。回顾反思 找到等量关系，运用等量代换解决。基本练习： 下图的长方形被分割成个正方形，已知原长方形的面积为平方厘米，求原长方形的长与宽。拓展练习：1. 把一块长20厘米,宽12厘米的长方形