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第七章 三维转动群无限群分为分立无限群和连续无限群。关于有限群的理论对分立无限群几乎全部成立。对于连续无限群的处理，则需要做某些修正，还要引进一些新的概念，广泛涉及到微分方程和拓扑学等理论。本章的目的在于，忽略严格的数学描述，而力求以一种易于理解的方式介绍连续群的基本概念。7.1 拓扑群和李群【定义7.1】 （连续群的维数） 连续群G的元素由一组实参数a1, a2, , an 所标明，其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够。则该组参数中连续参数的个数r称为连续群的维数。在具体的群中，参数的取法可能不唯一，如SO(2)，SO(3)群。例子： 线性变换做成的集合：，记为，乘法为：，逆元：。由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑。为简单起见，我们仅讨论其元素可与r维实内积空间的某个子集Sr有一一对应关系的群。该子集称为参数空间。【定义7.2】 （拓扑群） 群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群。连续性示意图： 乘法法则的连续性：对于任意x1x2=x3, 则x1与x2邻域中的所有元素相乘均属于x3的邻域。取逆法则的连续性：对于任意元素x，其邻域中的任何元素的逆均属于其逆x-1的邻域。【定义7.3】 （简单群和混合群） 拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接，亦即参数空间连成一片，则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。反之，如果群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。不连通的拓扑群参数空间示意图：【定义7.4】 （多重连通群）简单群根据其参数空间的拓扑，进一步分为单连通和多连通的。若任意群元在参数空间中的连通道路恰有k条，并且它们不能通过在参数空间内部的连续形变而重合，则称该群为k重连通。K称为连通度。多重连通性示意图 【定义7.5】 （紧致群） 若拓扑群的参数空间是紧致空间，即闭而有界的空间，则该群称为紧致群。【定义7.6】 （李群）r维拓扑群G的任意两个元素，x1(a1, a2, , ar)，x2(b1,b2,br)的乘法运算和取逆运算：x1x2=x3(c1, c2, , cr), x1-1= x4(d1, d2, , dr), 参数之间的关系称为组合函数： ci=ci(a1, a2, , ar；b1, b2, , br），di=di(a1, a2, , ar)，i=1,2,r。若以上组合函数均为解析函数，则该群称为李群。由于李群的组合函数是解析的，微积分的整套工具都可以用来研究李群，这使得李群成为研究最成功最深入的无限群群的诸多概念，如阿贝尔群，子群，陪集，共轭，类，不变子群，群的同构和同态，商群，线性表示，等价表示，不可约表示，特征标等同样是李群的基本概念。李群表示的每一个矩阵元和特征标在参数空间测度不为零的区域内都是群参数的单值连续函数。李群中单位元的参数可以选择为零，单位元邻域中的元素，其参数是无穷小量，称为无穷小元素。无穷小元素总是跟极限过程或微分运算相联系，因而不应该看成仅仅是一个参数很小的元素。无穷小元素决定了李群的局域性质。它与任意元素相乘得到该元素邻近的一个元素，把无穷多个无穷小元素相继作用到某群元上，可以得到从该元素出发的一条连续曲线。若该元素选为单位元，而简单李群中单位元与任意群元都是连通的，则通过无穷小元素的连续相乘可以得到任意群元。对于混合李群，在每一片参数区中都需要先确定一个特定元素，然后通过无穷小元素相乘可以得到该参数区中的任意元素。对于紧致连续群的连续表示（连续群可以有不连续的表示，比如O(3)群与1,-1同态），有以下基本结论：任一连续表示都有等价的酉表示；不可约表示都是有限维的。【定理 7.1】 混合李群中，参数空间包含单位元的那个连续片对应元素的集合构成该混合李群的不变子群（它是一个简单李群），其他元素片对应元素的集合构成该不变子群的陪集。（证明见马中琪2版P.106）混合李群的性质完全由此简单李群（不变子群）和每一连续片中一个代表元素的性质确定。故重点只需研究简单李群的性质。【定义7.7】 （李群的生成元）李群G的单位元，其邻域的元素精确到一级近似可写为：，称为微分微量算符，可由求极限得到：（引入虚数i的原因是为了使得Ij是厄密算符）。r个算符只须定义在单位元附近，决定了李群的全部性质，称为李群的生成元。系1 对于简单李群，任意群元可以由生成元相继运用乘法得到。为了得到群元，把写为，N是一个大整数，使得是一个小量。注意到忽略2次以上高阶项，有等式于是：让N趋向无穷并利用代数恒等式，形式上有： 把上述结果推广到群的一般元素有： 7.2 轴转动群SO(2)【轴转动群SO(2)】 绕固定轴的转动做成的集合。该集合元素用一个参数标记，可以选定区间0,2上取值的转动角，记为，乘法法则：单位元为T(0)，逆元。该群为单参数、连续、连通、阿贝尔、紧致李群。若选择整个实数轴为参数，则每个群元对应无穷多参数，此时群为无穷多重连通。【SO(2)群的表示】 1. 在平面内的笛卡尔坐标系（x，y）在SO(2)群的旋转下的变换，可以生成群的表示：.2. 轴转动群是阿贝尔群，其所有不可约表示都是一维的。满足该群乘法的一维数形为：，c为复数。由单位元可求出，m为整数，不可约表示为：，每一个固定的m对应一个不可约表示。3. 若选择整个实数轴为参数空间，此时该群为无穷多重连通。此时该群有多值表示：，k为任意整数，称为SO(2)群的k值表示。一般而言，k重连通的李群G会有单值、双值、三值，。k值表示。对于物理上真实的系统，一般只有单值表示和双值表示。【SO(2)的生成元】 SO(2)是单参数李群，只有一个生成元。生成元的具体形式依赖于SO(2)群的具体形式。举例如下。1. 固定m，所有复数, ，与SO(2)同构。对应的生成元：2. 所有行列式为1的2阶正交矩阵构成SO(2)群，群元为：，生成元为：，与泡利矩阵相差一个负号。一般群元可以写为：3. 一半径为a的圆，x为沿圆周的长度，f(x)为定义在圆周上的函数，为绕通过圆心与圆平面垂直的轴转动角，即，由定义可得生成元I： 即生成元为，它正比于量子力学中的动量算符。SO(2)的一般群元可表示为：，它实际上是标量函数的变换算符。4. 若转动轴为z轴，而为对定义在（x，y）平面上的函数f(x, y)的转动变换：由定义易求得生成元：, 为垂直于平面（x，y）的角动量分量算符：。转动角度的元素表示为：7.3 三维转动群SO(3)【SO(3)群】 三维转动群SO(3)是三维实正交群(又称为转动反演群)O(3)的子群，由三维实空间中的所有转动构成，且。O(3)群是不连通的连续紧致李群，其参数空间分为两片；其中一片对应SO(3)群，由真转动构成，另一片对应非真转动（转动反演）。SO(3)群的参数有多种选择。我们考虑笛卡尔坐标系中，用代表绕轴转角表示一般群元。轴的方向由极角和方位角确定，如图所示。故有三个只有参量（O(3)有3三个连续参量，一个不分立参量，为4参数3维连续李群）。的操作可以通过三个连续的转动实现，即先通过一个转动使得与z轴重合；然后绕z轴转动角；最后把z轴通过转动回到原位置。设将z轴转向与重合的转动为，则将转向z轴的转动为，于是有：而转动S可以通过两个相继的转动操作实现：故容易求出转动元素以为参数的矩阵形式，对应生成元也容易求出。S转动将(0，0，1)变换到与转轴的方向矢量(u1, u2, u3)重合，因而有：，于是 , 下边求对应的变换算符时要用到。【SO(3)变换算符群及其生成元】 与相应的标量函数变换算符为，具有微分算符形式。由关系相应地有，将代入，有：下边来求的具体形式，将其作用于任意函数上：由此得， ，或。故：。SO(3)为三参数李群，有三个生成元，分别对应取x，y，z轴的单位矢：有：其他亦有：。生成元的线性组合仍然可以看成是群的生成元，故实际上以为基可以构成了一个线性空间L，并且其向量满足李代数的二元乘法法则，因而构成李代数。生成元之间的对易子中的系数称为该李群的结构常数，完全确定了李群的结构。李代数的重要性在于这样一个事实：李代数的一个矩阵表示，就能生成李群的一个表示。与李群的所有生成元对易的算子称为Casimir算子，用其本征值可以标志李群的不可约表示。SO(3)群的Casimir算子为，用本征值，用l可以标记SO(3)群的不可约表示。【SO(3)群的不可约表示】转动群SO(3)中的任意两个转轴可以通过群中的元素的操作而重合，因而具有相同转角的元素形成共轭类。SO(3)群具有无穷多个共轭类，因而具有无穷多个不可约表示。寻找适当的基函数，可以得到转动群的不可约表示。球谐函数正是这样的基函数，它是拉普拉斯方程在求坐标系中分离变量形式解的角度部分，式中是伴随（又称缔合）勒让德多项式。球谐函数是量子力学中角动量平方算符的本征函数：具有重简并。在量子力学中已知角动量算符与之对易：，而与转动对应的函数变换算符为，可见它与对易，。于是：，故：也是的本征函数，可以写为个简并本征函数的线性组合：，其中有2l1个取值，故2l1个简并的球谐函数形成SO(3)算符群的表示空间的基，由于没有群不变的子空间，故得到的是2l1维的不可约表示，但是表示矩阵求起来比较麻烦，这一点可以由SU(2)与SO(3)具有同态关系，由SU(2)的表示求出。下面计算这些不可约表示的特征标。特征标是类函数，对于SO(3)群，具有相同转角的群元特征标相同，特征标是转角的函数。故只要找出一个类中一个特殊元素的表示矩阵，就可以求出该类的特征标。显然，选取绕z轴转角的转动最为方便。由于：，故： 。于是：。故得到表示矩阵的形式为：，故在第l个表示中，转角为的类的特征标为：此即转角为的类的特征标。以上以球谐函数为基得到的表示是构成了转动群的所有不等价不可约表示。l取正整数，转角为对应的类的特征标为：由于函数系是完备的，故是类函数空间完备系。推广有限群的类函数完备性定理，可知，取非负整数时，由球谐函数得到的表示构成了转动群的所有不等价不可约表示。【用欧拉角表示的转动】确定一个转动需要三个参量，用绕轴（由极角和方位角确定）及其转角表示的转动的好处是直观，物理意义明确。转动操作还可以用欧拉角来表示，即。用欧拉角表示的转动是三个转动的相继操作，定义如下：坐标系Oxyz固定不动，设想另有一个可转动坐标系，它初始时与此坐标系Oxyz重合。欧拉角表示的转动为，（i）将可转动坐标系（及其空间）绕z轴转动角，并以标记三个坐标轴；（ii）将可转动坐标绕轴转动角，各轴用表示；（iii）最后将可转动坐标绕轴转动角。这样用欧拉角表示的任意转动可表示为：，这种表示可以转化为对固定坐标轴的转动，利用共轭元的概念容易证明可表示为绕固定轴的转动的联合作用，即，。容易得到的矩阵形式：。用欧拉角表示的转动同用绕轴转动一个角度表示的转动可以互相转换。设为转轴的方向余旋。欧拉角与及的关系为：，。7.4 二维特殊幺正群SU(2)【二维特殊幺正群SU(2)】 若二维矩阵为酉矩阵，为单位矩阵，且其模为1，即，则称为二维幺模幺正酉矩阵或酉矩阵。由所有二维幺模酉矩阵构成的群，称为二维特殊幺正群或二维幺模幺正群，记为。（相应的由所有二维幺正矩阵构成的群称为二维幺正群，记为，其元素满足）。二维幺模幺正矩阵的一般形式为：，其中a，b为，各由2个实参量确定，它们满足。故的每个群元都由三个独立参量确定。【U(n)群和SU(n)群的生成元】 所有n阶酉矩阵构成U(n)群，所有行列式为1的n阶酉矩阵构成特殊酉群SU(n)。一个酉矩阵有n2个独立元素，故U(n)群是连续、连通的n2个参数的紧致李群。SU(n)群的元素还需满足行列式为1的条件，故SU(n)群是连续、连通的（n21）个参数的紧致李群。 容易找到U(n)群的n2个生成元。首先，对于酉矩阵u，总可以通过厄密矩阵h表示为的形式。而所有n阶厄密矩阵构成一个n2维的实矢量空间，故任何厄密矩阵可以表示为n2个独立厄密矩阵hi (i=1, n2)的实系数线性组合。于是，对于任意酉矩阵有：，故任意n2个线性无关的厄密矩阵hi (i=1, n2)都可以构成U(n)群的生成元。由于厄密矩阵的对角元为实数，故行列式，a为厄密矩阵h的迹为实数，故酉矩阵的行列式的模为1。对于SU(n)群，由于其元素的行列式为1，由知，与幺模酉矩阵对应的厄密矩阵的迹为0。而所有迹为0的厄密矩阵构成的集合形成一个（n21）维的实矢量空间。该空间的任意（n21）个线性无关的0迹厄密矩阵都可以构成SU(n)群的生成元。一般可以先确定SU(n)的（n21）个生成元，再加一个单位元就可以构成U(n)群的n2个生成元。对于SU(2)群，可以选取三个泡利矩阵为生成元：，。U(2)群的生成元可以选为生成元,其中E为二阶单位矩阵。【SU(2)群与SO(3)群的同态】和SO(3)的每个群元都由三个独立参量确定，两者实际上构成同态关系。下面我们会发现与SO(3)是2：1的同态。 三个泡利矩阵是线性无关的零迹厄密矩阵，任意一个二维的零迹厄密矩阵h都可以表示成三个泡利矩阵的线性组合（它们是群的生成元），组合系数为实数，即：形式上可写为矢量的点乘：其中，。有此可见，任意一个2维零迹厄密矩阵h都对应三维实空间R3中的一个矢量，并且，。用任意元素，对零迹厄密矩阵h作相似变换，可以定义与对应的R3中的一个变换：即： 可以发现，是一个真转动：由于相似变换不改变行列式，即，于是有：，即保持矢量长度不变，是一个实正交变换。实正交变换的行列式只能是1或者1，由于连续依赖于参数a和b，而当时的矩阵u为单位矩阵，对应的为恒等变换，其行列式值为1。当a，b连续变化时，不可能从1突然跳到，这样对于所有参量a，b，只能取1。因而是一个转动。以上结果表明，SU(2)群的任意元素u对应于转动，容易发现，这种对应关系或映射保持群的乘法规则不变：即：下面证明，这种映射还是一个满映射，即任意一个转动都可以找到SU(2)群的元素与之对应。将任意转动用欧拉角表示为，寻找与之对应的幺模幺正矩阵。首先，用欧拉角确定三组（a，b），即它们对应三个幺模幺正矩阵：， 对应的转动，对应的转动， 对应的转动，。，与对应的二维幺模幺正矩阵显然为，与，对应的为：故SU(2)群到SO(3)群的映射为同态满映射，即SU(2) SO(3)。容易发现与SO(3)是2：1的同态。 通过与对应的群元参数a, b的依赖关系可以找到与SO(3)群单位元对应的幺模酉矩阵u，即SU(2) 到SO(3)的同态核，反解出参参数a，b为，故同态核由以下两个元素构成：。SU(2) SO(3)是一个2：1的同态，每一个转动元素都有两个SU(2)群元与之对应。【SU(2)群的不可约表示】 SU(2)群是一个由所有2维幺模幺正矩阵构成的群，它本身就是它的一个2维忠实表示。假设该表示的基为，则在SU(2)群的群元作用下变换为,即，即： 。为能求得SU(2)群的其他表示，我们选取的齐次单项式作为SU(2)群表示的基函数，例如：3维表示基函数：；4维表示基函数：；;对于n+1维表示：。基函数的一般形式为，可以将齐次单项式的幂指数改写为：，基函数的一般形式为：，对于n次齐次函数，jn/2 （n为奇数时j取半整数）, 相应地m有n1（或2j1）个取值，对应一个n1维表示的基函数。为了使求得的表示具有幺正性可以将上述基函数增加一个因子，即：。以2j1个2j次齐次函数为基构成的线性空间在SU(2)群元素的作用下具有不变性，构成SU(2)群的表示空间。n维（即2j1维）表示的矩阵由下式确定：将代入，有：，利用二项式定理，上式可以化为：。令，对上式做整理可得：与式比较，容易得到SU(2)群第j个2j1维表示的矩阵元为：。由于负整数的阶乘是无限的，上式求和中只须遍及所有分母为有限的那些r值即可，即只对满足的r求和。当j为整数时，称为偶表示；当j为半整数时候，称为奇表示。由上式容易验证：1. j=0对应的一维表示为恒等表示。2. j=1/2对应的二维表示的矩阵为，为其自身。3. j1的三维表示的矩阵为：。可以证明，以，为基得到的表示是SU(2)群的所有不等价不可约酉表示。 l 是酉表示 变换保持如上2j1维复线性空间向量内积不变，故为酉变换：l 是不可约表示根据以下的两个结果以及舒尔引理二可以证明是不可约表示。容易发现：（i）若矩阵A是对角元互不相同的对角矩阵，若A与矩阵B可以对易，则B也是对角矩阵；（ii）若对角矩阵A与矩阵B对易，且B中有一列元素皆不为0，则矩阵A是单位矩阵的常数倍，即。首先，可以发现与SU(2)群的表示可以对易的矩阵一定是单位矩阵乘上一常数。假设矩阵Y与全体可交换，则其与b0的群元对应的表示矩阵对易，而，即为对角元互不相同的对角矩阵。由（i）知Y为对角矩阵。检验一般群元的表示矩阵的表达式可以发现，表示矩阵第一列的元素仅当ab0时为0，故皆不为0。而对角矩阵Y与之对易，根据（ii）知，Y必为单位矩阵的常数倍，。由此可见，不存在的矩阵使之与对易，由舒尔引理知，为不可约表示。l 是SU(2)群的不确实表示的表达式满足：。故当j取正整数时，两个不同的群元对应于同一个表示矩阵，可见不是的确实表示，此时称之为偶表示；而当j取半整数时，表示矩阵与群元一一对应，此时称为奇表示。l 包括了SU(2)群的所有不等价不可约表示将有限群的类函数空间的完备性推广应用到紧致李群SU(2)，可以发现，构成了SU(2)群的所有不等价不可约表示。 首先看SU(2)群的类。由于任意酉矩阵可以通过幺正变换对角化，由此任意SU(2)群元总与对角元共轭，而通过酉矩阵相似变换为。故SU(2)群的共轭类可用()标志,其特征标为： 。 如，时的特征标为：，等等。由类函数的全体组成类函数空间完备系，。由连续群的特征标理论，当j取遍所有非负整数和半整数时，包含了SU(2)群的所有不等价不可约表示。【SO(3)群的双值表示】 SU(2)群与SO(3)群是2：1的同态，可知由SO(3)群的任意一个表示可以得到SU(2)群的一个表示，而反过来，SU(2)群的一个表示并不一定是SO(3)群的表示。由于任意转动对应两个二维幺模幺正矩阵，而j取非负整数时SU(2)群的偶表示有，故虽然一个