中学数学解题经典研究.ppt

中学数学解题研究第一章波利亚的解题观点 波利亚及其解题理论 波利亚 1887 12 13 1985 9 7 作为一个数学教育家 波利亚的主要贡献集中体现在 怎样解题 1945年 数学与猜想 1954年 数学的发现 1962年 三部世界名著上 涉及 解题理论 解题教学 教师培训 三个领域 波利亚对数学解题理论的建设主要是通过 怎样解题 表来实现的 著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过 每个大学生 每个学者 特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书 1952年2月2日 数学解题教学 没有一道题可以解决得十全十美 总存在值得我们探究的地方 美 G 波利亚 朱华伟 单墫 戴再平 数学解题策略北京 科学出版社 2009 8 解题研究 M 南京 南京师范大学出版社 2002 6 数学习题理论 M 上海 上海教育出版社 1991 3 1996 10 我国数学解题研究的代表人物和代表作 罗增儒 中学数学解题的理论与实践 M 南宁 广西教育出版社 2008年 9 前言数学解题学引论 M 西安 陕西师范大学出版社 1997 6 观点是指观察事物所处的位置或采取的态度 解题教学中的解题观点是指对 怎样解题 为什么这样解题 的整体认识和基本态度 怎样解题 乔治 波利亚 数学与猜想 数学的发现 在 数学的发现 中 波利亚共给出了四个具体的解题模式 双轨迹 笛卡儿 递归 叠加 下面我们借助于一些典型的例子 对这些解题模式进行论述 1 1双轨迹模式 给定一个三角形的三边 求作这个三角形 第一节四种具体的解题模式 求作三角形外接圆的圆心 这里同样要对未知成分所应满足的条件进行分割 未知量是 x y 已知量是 部分条件 是 鸡兔同笼问题 一个农夫有若干鸡和兔子 它们共有50个头140只脚 问鸡和兔子各有多少只 求解这个二元一次方程组 这里 我们碰到的是一个 多元的 未知量 1 2笛卡儿模式 Descartes 我这儿有好东东呵 第一 把任何问题化为数学问题 第二 把数学问题化为代数问题 第三 把代数问题化为方程式来求解 第二 把数学问题化为代数问题 第三 把代数问题化为方程式来求解 奇思妙想的解法 代数的解法 鸡兔同笼问题 一个农夫有若干鸡和兔子 它们共有50个头140只脚 问鸡和兔子各有多少只 由代数方法可轻松地得到上述 奇思妙想 已知有一正根 一负根 求a的范围 七位数是99倍数 试确定x y值 Descartes的思想对我们有什么指导意义 数学化 代数化 计算化 波利亚对其所说的 笛卡儿模式 作了如下概括 首先 要在很好地理解了问题的基础上 把问题归结为去确定若干个未知的量 用最自然的方式通盘考虑一下问题 设想它已经解出来了 然后 根据条件 把已知量和未知量之间所必须成立的一切关系式都列出来 析出一部分条件 使得你能用两种不同的方式去表示同一个量 这样可以得出一个联系未知量的方程 如此下去 就把条件分成了若干部分 从而得出与未知量个数相等的一组独立方程式 1 3递归模式 所谓递归 是指运用收集到的知识作为行动的基础去获得更多的知识 由于这里所涉及到的往往是多个 甚至是无穷多个未知量 因此 所谓的递归 事实上也就是指知识的 不断扩张 在解题的每一阶段 我们都把关于一个新的分量的知识添加到已经得到的知识上去 在每一阶段 我们又都要用已经得到的知识去得出更多的知识 我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国 在每个阶段 我们利用已被征服了的省份作为行动基地去征服下一个省份 关于前n个自然数的k次幂之和 的计算是应用递归模式解决问题的典型例子 如此下去 我们可以对任意的k 依次求出前n个自然数的k次幂之和 数学归纳法也可看成递归模式的直接应用 在此 我们同样是利用 已被征服了的省份 特例 数学归纳法的基础 作为行动的基地去征服下一个 省份 直至最终征服了 整个王国 即获得了普遍的公式或结论 1 4叠加模式 圆周角与圆心角关系定理的证明 波利亚指出 借助于上面的例子 我们又可以引出一个十分重要的模式 叠加模式 具体地说 所谓叠加模式就是指 从一个导引特款出发 利用特殊情形的叠加去得出一般问题的解 这就是说 叠加模式的应用通常包括以下两个步骤 第一 为了求得一般情形的解 首先处理一个特殊情形 这一特殊情形应当满足以下条件 它不仅易于解决 而且还特别有用 即可把我们引导到一般情形的解 因此 我们称它为 导引特款 第二 用某种指定的代数运算 这就是所谓的 叠加 把一些特殊情形组合起来 从而获得一般情形的解 波利亚通过对各种典型问题的细致剖析 提炼出四个常用的解题模式 可供仿照的楷模 双轨迹模式 1 把问题归结为要确定一个 点 2 把条件分成两部分 使得对每一部分 未知点都形成一个 轨迹 这两个 轨迹 的交集 就是我们要求的 点 笛卡儿模式 1 把问题归结为去确定若干个未知的量 2 设想问题已解出来了 列出已知量和未知量间根据条件必须成立的一切关系式 3 把某些关系式转化为方程 得出一个方程组 4 将方程组通过消元化归成一个方程 递归模式 1 设法将要求的量归结为依次排列起来的某序列的一个项 2 确定这序列的第一项或前面几项 3 找出递推关系式 将序列的一般项与它前面的那些项联系起来 这样 我们就可递推地把所有的项都找出来 叠加模式 1 先处理一 两种特殊情形 我们把它称之为导引特款 2 利用导引特款的叠加去得出一般问题的解 教师十诫 第一 对自己的科目要有兴趣 第二 熟知自己的科目 第三 要懂得学习的途径 学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现 第四 要观察你的学生的脸色 弄清楚他们的期望和困难 把自己置身于他们之中 第五 不仅要教给学生知识 并且要教给他们 才智 思维的方式 有条不紊的工作习惯 第六 要让学生学习猜测 第七 要让学生学习证明 第八 要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征 即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式 第九 不要立即吐露你的全部秘密 让学生在你说出来之前先去猜 尽量让他们自己去找出来 第十 启发问题 而不要填鸭式地硬塞给学生接受 第二节波利亚的怎样解题表 回答 一个好的解法是如何想出来的 这个令人困惑的问题 波利亚致力于解题的研究 专门研究了解题的思维过程 并把研究所得写成 怎样解题 一书 核心是 怎样解题 表 他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的 慢动作镜头 使我们对解题的思维过程看得见 摸得着 1弄清问题 1 未知数是什么 已知数据是什么 条件是什么 满足条件是否可能 要确定未知数 条件是否充分 或者它是否不充分 或者是多余的 或者是矛盾的 2 画张图 并引入适当的符号 3 把条件的各部分分开 并把它们写下来 波利亚的怎样解题表 2 拟订计划 考虑以前是否见过它 是否见过相同的问题而形式稍有不同 你是否知道一个可能用得上的定理 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题 能否利用它的结果或方法 为了利用它 是否引入某些辅助元素 能否用不同的方法重新叙述它 回到定义去 如果你不能解决所提出的问题 可先解决一个与此有关的问题 是否利用了所有的已知数据 是否利用了所有条件 是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念 3 实现计划 实现你的求解计划 检验每一步骤 你能否清楚地看出这一步骤是正确的 你能否证明这一步骤是正确的 能否检验这个论证 你能否用别的方法导出结果 能不能一下子看出它来 能不能把这结果或方法用于其他问题 4 回顾 检验与回顾 解题 如同在黑暗中走进一间陌生的房间 回顾 则好像打开了电灯 这时一切都清楚了 在以前的探索中 哪几步走错了 哪几步不必要 应当怎样走 等等 朦胧变成了自觉 正如波利亚所说 这是 领会方法的最佳时机 当读者完成了任务 而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候 去回顾他所做的一切 可能有利于探究他刚才克服困难的实质 他可以对自己提出许多有用的问题 关键在哪里 重要的困难是什么 什么地方我可以完成得更好些 我为什么没有觉察到这一点 要看出这一点我必须具备哪些知识 应该从什么角度去考虑 这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用 波利亚解题过程的四个阶段 1 弄清问题 认识 并对问题进行表征的过程 是成功解决问题的一个必要前提2 拟订计划 是探索解题思路的发现过程 是关键环节和核心内容 3 实现计划 是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置 我们所需要的只是耐心 4 回顾 是最容易被忽视的阶段 波利亚对其作 为解题的必要环节而固定下来 是一个有远见的做法 解题是数学的特点 例1 一大学教授向中学生介绍图论定义图G V E 由顶点集V与一些连结V中两个点的边的集E组成 定义如果E由连结V中每两个点的边组成 那么G V E 称为完全图 定义如果图G1 V E1 G2 V E2 具有相同的顶点集V 并且E1 E2 V E1 E2 是完全图 那么称G1为G2的补图 定理在 V 6时 G V E 或它的补图中必有三角形 解题是数学的特点 符合中学生特点的教法 任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互不相识 为什么 为了解决这个问题 为了叙述的方便 我们用六个点表示六个人 如果两个人互相认识 就将相应的两点用线连结起来 这种由点及一些连结点的线组成的图形 就称为图 问题就成为 六个点的图中 一定有三个点两两相连 即构成三角形 或者有三个点互不相连 中小学开设数学课程的目的 数学技能就是解题能力 不仅能解决一般的问题 而且能解决需要某种程度的独立思考 判断力 独创性和想像力的问题 所以 中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练 数学的发现 第一卷序开设数学课程的主要目的是教会学生如何思考 教会思考 意味着数学教师不仅仅应该传授知识 而且也应当去发展学生运用所传授的知识的能力 数学的发现 第二卷 中小学开设数学课程的目的 波利亚将学生依照未来的职业分为三类 数学家 包括理论物理学家 天文学家及某些专门研究领域里的工程师 约占1 用到数学的人 工程师 科学家及一些社会科学家 数学教师 科学教师等 约占29 不用数学的人 实业家 律师 牧师等 约占70 他指出数学教育应当符合于两个原则 第一 每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么 第二 那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引 而不要由于拙劣的教育使他们嫌弃数学 弄清问题 问题应当用自己的语言重新叙述 通过复述 可以发现学生是否理解了题意 有没有忽略重要的部分 凡有学生来问问题 首先让他复述 切不可急急忙忙地把解答告诉他 因为比解答更重要的是解法 即如何从已知走向未知 而将题目中的 信息 重新编排 适当整理 正是走向未知的第一步 弄清问题 例摄制组从A市到B市有一天的路程 计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭 由于道路堵塞 中午才赶到一个小镇 只行驶了原计划的三分之一 过了小镇 汽车赶了400千米 傍晚才停下来休息 司机说再走从C市到这里的二分之一 就到达目的地了 问A B两市相距多少千米 图中D是小镇 E是傍晚休息处 D E之间的距离是400千米 EB是CE的二分之一 AD是AC的三分之一 AC比CB多100千米 求AB的长 弄清问题 实际上 改变问题的提法已不仅是弄清题意 可以说是向问题的解决进了一大步 波利亚主张 不断地变换你的问题 我们必须一再地变化它 重新叙述它 变换它 直到最后成功地找到某些有用的东西为止 怎样解题 表的实践 例1 给定正四棱台的高h 上底的一条边长a和下底的一条边长b 求正四棱台的体积F 学生已学过棱柱 棱锥的体积 讲解 第一 弄清问题 问题1 你要求解的是什么 问题2 你有些什么 第二 拟定计划 问题3 怎样才能求得F 问题4 怎样才能求得A与B 问题5 怎样才能求得x 第三 实现计划 第四 回顾 1 正面检验每一步 推理是有效的 演算是准确的 2 回顾解题过程 3 在解题方法上 4 在思维策略上 5 在心理机制上 6 在立体几何学科方法上 7 你能否用别的方法导出这个结果 8 你能不能把这一结果或方法用于其他问题 例2 设AB是 ABC的中线BC a AC b AB c 求证 例3 两角和的余弦公式 的推导 例4 已知是个正数 满足求证 1989年全国高中数学联赛题 例5 设为实数 且 求的值 四部曲 第三节解数学题的一般步骤 1 梅森的解题模式过程阶段点要过程状态 特殊化 进入 着手 一般化 回顾 所知道的所希望的 受阻 灵机一动 尝试 可能是为什么 检查回顾扩展 猜测 检验 开始进入 琢磨 继续 洞察怀疑 沉思 2 奥加涅相的解题过程理解数学题的条件制定解题计划实行解题计划研究所得 1 理解数学题的条件 1 开始研究题的条件时 你应当仔细做出直观的图形 平面图 表格或者说明问题的草图 以帮助你思考问题 2 清晰地理解题的情境中的各个元素 一定要弄清楚哪些元素是给定了的 哪些是所求的 3 深入地思考习题叙述中的每一个词的意义 尽力找出题的重要元素 在图上用直观的符号标出已知元素和未知元素 4 尽可能从整体上理解题的条件 找出它的特点 想想以前是否遇到过和这个题有些类似的题目 5 仔细想想题的叙述是否可以做出不同的理解 题的条件中有没有多余的 是否缺少什么条件 6 认真研究题目提出的目标 根据所提出的目标 哪些理论的法则同整个题目或者它的元素有些联系 7 如果在解题时有可能使用你熟悉的某种一般的数学方法 尽可能用那种方法的语言表示题的元素 2 制定解题计划 1 想方设法将所给的题同你会解的某一类题联系起来 2 要记住 题的目标是寻求解答的主要方向 3 将所得到的局部的结果同题的条件和目标作比较 用这种办法经常检查解题的意图是否合理 4 试试能不能部分地改变题目 换一种方式叙述它的条件 故意简化题的条件 试试能不能扩大题的条件 而且将该题有关的概念用它的定义来代替 5 将题的条件分成几个部分 尽可能将这几部分构成一个新的组合 6 试试能不能将所给的题目分成一连串的辅助问题 依次解答这些辅助问题就可以构成所给题目的解 对于所给题目的情境中的各个部分编一些局部性的题 这样做当然要服从基本的目标 7 研究题的某些部分的极限情况 看看这样会对题的基本目标有什么影响 8 改变题的某一部分 看看这样改变会对题的其他部分有什么影响 根据看到的改变题的某些部分所出现的结果 试试能不能就题的目标作出一个假设 9 如果所给的题目解不出来 你可以从课本或参考书中找一个与所给题相似的 但已经给出解答的题 3 弗里德曼的解题过程 怎样学会解数学题 他认为 应当学会这样一种对待习题的态度 即把习题看做是精密研究的对象 并把解答习题看做是设计和发明的目标 他把解题过程分成8个阶段 第一阶段 分析习题第二阶段 作习题的图示第三阶段 寻找解题方法第四阶段 进行解题第五阶段 检验题解第六阶段 讨论习题第七阶段 陈述习题答案第八阶段 分析题解 4 国内常见解数学题的思维程序释题 找出问题的已知条件和所求 将已知条件和所求分成若干部分 画出图形或列出一些数据 在图形或数据中引入恰当的符号 并尽可能多地将已知和所求的标出来 分析 1 寻找突破口 并努力向所求靠拢 2 思维受阻后的迂回 转换 解题 完成释题 分析中认为可行的一切细节 并加以完善 解题过程应力求清晰 详尽 规范 边完成解题细节 边用逻辑推理或直观观察的方法加以验证 反思 1 检验与改进 2 总结与应用 3 引伸与拓广 第二章常用的数学解题方法 第一节化归方法 有位数学教育工作者提出了这样一个问题 假设在你面前有煤气灶 水龙头 水壶和火柴 你想烧开水 应当怎样去做 对此 某人回答说 在壶中倒上水 点燃煤气 再把壶放到煤气灶上 提问者肯定了这一回答 但是 他又追问道 如果其他的条件都没有变化 只是水壶中已经有了足够多的水 那你又应当怎样去做 这时被提问者往往会很有信心地说 点燃煤气 再把水壶放到煤气灶上 但是 提问者指出 他对这样的回答并不满意 因为 只有物理学家才会这样做 而数学家们则会倒掉壶中的水 并声称把后一问题化归为前面所说的问题了 匈牙利著名数学家罗莎 彼得在其名著 无穷的玩艺 中曾通过一个有趣的事例 化归方法一 化归方法的含义1 所谓 化归 可以理解为转化和归结的意思 数学方法论中的化归方法是指 将一个问题进行变换 使其归结为另一个已能 或已经 解决的问题 最终获得问题的解的一种求解问题的手段和方法 或简单地说 化归就是问题的规范化 模式化 其解决问题的思维方式是 转化 或 再转化 解题过程可用下列框图来表述 2 化归与转化思想的实质是揭示联系 实现转化 除极简单的数学问题外 每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的 从这个意义上讲 解决数学问题就是从未知向已知转化的过程 化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想 解题的过程实际上就是一步步转化的过程 数学中的转化比比皆是 如未知向已知转化 复杂问题向简单问题转化 新知识向旧知识的转化 命题之间的转化 数与形的转化 空间向平面的转化 高维向低维转化 多元向一元转化 高次向低次转化 超越式向代数式的转化 函数与方程的转化等 都是转化思想的体现 3 转化有等价转化和非等价转化 等价转化前后是充要条件 所以尽可能使转化具有等价性 在不得已的情况下 进行不等价转化 应附加限制条件 以保持等价性 或对所得结论进行必要的验证 4 化归方法包括三个要素 化归对象 即把什么东西进行化归 化归目标 即化归到何处去 化归途径 即如何进行化归 5 化归与转化应遵循的基本原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于我们运用熟知的知识 经验和问题来解决 2 简单化原则 将复杂的问题化归为简单问题 通过对简单问题的解决 达到解决复杂问题的目的 或获得某种解题的启示和依据 3 和谐化原则 化归问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式 或者转化命题 使其变为有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律 4 直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 5 正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时 可考虑问题的反面 设法从问题的反面去探求 使问题获解 例1 2007 北京宣武区模拟题 某厂2006年生产利润逐月增加 且每月增加的利润相同 但由于厂方正在改造建设 元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等 随着投入资金的逐月增加 且每月增加投入的百分率相同 到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同 问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是 A m NB m NC m ND 无法确定 解析 每月的利润组成一个等差数列 an 且公差d 0 每月的投资额组成一个等比数列 bn 且公比q 1 a1 b1 且a12 b12 比较S12与T12的大小 若直接求和 很难比较出其大小 但注意到等差数列的通项公式an a1 n 1 d是关于n的一次函数 其图象是一条直线上的一些点列 等比数列的通项公式bn a1qn 1是关于n的指数函数 其图象是指数函数上的一些点列 在同一坐标系中画出图象 直观地可以看出ai bi则S12 T12 即m N 故选A 点评 把一个原本是求和的问题 退化到各项的逐一比较大小 而一次函数 指数函数的图象又是每个学生所熟悉的 在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵 通过对问题的反思 再加工后 使问题直观 形象 使解答更清新 计算圆台的体积 圆台的体积 解 圆锥的体积 解 圆锥的高 解 相似三角形的计算 解 在实际应用中 化归往往不是单向的 完全确定的过程 而是一种包含了多次反复与尝试 即信息的交流与反馈 的复杂过程 例2 分析 根据题设等式结构的特点 遵循简单化原则 予以简化 令条件等式就可化为 在此条件下求 关系就明朗许多 由新条件等式中与的特殊关系 我们可想到在等式中用代 仍会得到一个关于的等式 这样 问题就化归为求解这两个等式组成的关于的方程组 这是一个简单问题 1 化归目标简单化原则化归目标简单化原则是指化归应朝目标简单的方向进行 即复杂的待解决问题应向简单的较易解决的问题化归 这里的简单不仅是指问题结构形式表示上的简单 而且还指问题处理方式方法的简单 例3 一个凸n边形 无三条对角线共点 它的边和对角线一共可以组成多少个三角形 分析 我们根据目标 由凸n边形的边和对角线组成的三角形 是否含有凸n边形的顶点 含有多少个顶点 将所求的三角形所成的集合分为4个集合 的每4个三角形对应于凸n边形顶点集的一个四元子集 反之 不同的四元子集对应于中完全不同的4个三角形 于是 2 和谐统一性原则化归的和谐统一性原则是指化归应朝着使待解决的问题在表现形式上趋于和谐 在量 形 关系方面趋于统一的方面进行 使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当 例4 分析 由于条件给出的是的运算关系 由和谐统一性原则 欲证结论 我们只需证 如何证明 1 不妨把它化为 例4 试求常数m的范围 使曲线y x2的所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 分析 正面解决较难 考虑到 不能 的反面是 能 被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称 于是问题转化为 抛物线y x2上存在两点关于直线y m x 3 对称 求m的取值范围 再求出m的取值集合的补集即为原问题的解 3 正难则反原则 评析 1 在运用补集的思想解题时 一定要搞清结论的反面是什么 所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 的反面是 至少存在一条弦能被直线y m x 3 垂直平分 而不是 所有的弦都能被直线y m x 3 垂直平分 2 在探讨某一问题的解决办法时 如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难 则应从反面的方向去探索 例5 2011 江苏启东5月 已知集合A y y2 a2 a 1 y a a2 1 0 B y y2 6y 8 0 若A B 则实数a的取值范围为 解析 由题意得A y y a2 1或y a B y 2 y 4 我们不妨先考虑当A B 时a的取值范围 如图 例6 已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 证明 不能同时大于 包含多种情形 不易直接证明 可用反证法证明 假设三式同时大于 a b c 0 1 三式同向相乘得 1 a b 1 b c 1 c a 这与假设矛盾 故原命题正确 转化与化归的常见方法 1 直接转化法 把原问题直接转化为基本定理 基本公式或基本图形问题 2 换元法 运用 换元 把超越式转化为有理式或使整式降幂等 把较复杂的函数 方程 不等式问题转化为易于解决的基本问题 3 数形结合法 研究原问题中数量关系 解析式 与空间形式 图形 关系 通过互相变换获得转化途径 4 参数法 引进参数 使原问题的变换具有灵活性 易于转化 5 构造法 构造 一个合适的数学模型 把问题变为易于解决的问题 6 坐标法 以坐标系为工具 用计算方法解决几何问题 是转化方法的一个重要途径 7 类比法 运用类比推理 猜测问题的结论 易于确定转化途径 8 特殊化方法 把原问题的形式向特殊化形式转化 并证明特殊化后的结论适合原问题 9 一般化方法 若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决 可将问题通过一般化的途径进行转化 10 等价问题法 把原问题转化为一个易于解决的等价命题 达到转化目的 11 加强命题法 在证明不等式时 原命题难以得证 往往把命题的结论加强 即把命题的结论加强为原命题的充分条件 从而能将原命题转化为一个较易证明的命题 加强命题法是非等价转化方法 12 补集法 如果正面解决原问题有困难 可把原问题结果看作集合A 而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U 通过解决全集U及补集 UA获得原问题的解决 以上所列的一些方法是互相交叉的 不能截然分割 RelationMappingInversionMethod 关系映射反演法 中国著名数学教育家 数学方法论专家 徐利治 如果原问题 化归 为一个新问题后 新问题与原问题是同构的 即 只是形式不同 数学结构完全相同 这种 化归 在数学上又称为 RMI 方法 一 关系映射反演方法 原象关系结构 原象系统中的问题 映射 映射关系结构 映射系统中的问题 在映射系统中求得解决 在原象系统中作出解决 反演 二 关系映射反演方法的基本含义 问题 问题 解答 解答 映射法 称大象的问题 转化 称石头的问题 石头问题得到解决 大象问题得到解决 转化 映射 反演 原象系统中的问题 映象系统中的问题 在映象系统中求得解决 在原象系统中作出解决 曹冲称象与关系映射反演法 利用映射 双二次方程可化归为二次方程而得到解决 例如 对数计算法是应用映射法来简化问题的典型例子 取对数 取反对数 这是求取某个未知量的具体问题 几何问题 代数问题 代数结论 几何结论 解析几何的创立也可归结为映射法的成功应用 解析表示 坐标系 这是涉及到理论的整体性结构的高层次的问题 化归与转化思想在教学中应用非常普遍 我们在解每一道题时 实际上都在转化和类比 将问题由难转易 由陌生的问题转为熟悉的问题 从而从问题得到解决 类比与转化的类型很多 归纳如下 高次问题低次问题复杂未知多元问题一元问题问题问题超越运算代数运算转化转化无限问题有限问题简单已知空间问题平面问题问题问题几何问题代数问题 第二节构造法 1 在科学发展的历史中我们可以看到 科学的发展总是和思维的发展有着紧密的联系 数学的主要思维方法是什么 这是数学家们历来关注的一个重要问题 2 历史上不少著名的数学家 如欧几里德 高斯 欧拉 拉格朗日维尔斯特拉斯 康托等人 都曾经用 构造法 成功的解决过数学上的难题 一构造法的概述1 欧几里德的素数定理2 构造法的历史及作用直觉数学阶段 克隆尼克 彭加勒 算法数学阶段 马尔科夫及其合作者 现代构造数学阶段 比肖泊 3 构造法的基本概念和特点 构造法解题模式 对题设条件特征的分析 通过创新思维 实现转化 构造 通过推演 实现转化 结论 函数关系式图像方程等 二 构造法举例 1 构造辅助数与式例1 正数满足求证 2 构造函数1 构造函数解方程例2 解方程 2 构造函数证明等式例3 已知互不相等 求证 例4 设两两不等 证明 3 构造函数解不等式例5 解不等式 4 构造函数证明不等式例6 已知 为三角形的边 求证 5 构造函数求参数的范围例7 已知不等式对于一切大于1的自然数n都成立 试求实数的范围 分析 本题的关键是找到的最小值 构造函数f n 则可以找到解题的突破口 3 构造方程例8 已知 求的值 例9 设且 求的范围 4 构造图形例10 求函数的值域 例11 求函数的最值 例12 若求证 5 构造向量法例13 求函数的最大值 例14 已知a b c为正数 求函数y 的最小值 例15 已知 a b a b 1 求证 6 构造模型法例16 求不定方程的正整数解的个数 例17 若 求证 7 构造数列例18 设任意实数 满足求证 第19届莫斯科数学竞赛试题 例19 求证 其中nN 8 构造等式例20 解方程 9 构造特例例21 证明存在两个无理数 使得是有理数 10 构造对偶式例22 已知是方程的两个根 且 不解方程 求的值 例23 对于正数x 规定f x 计算f f f f f f 1 f 1 f 2 f 3 f 2004 f 2005 f 2006 例24 求的值 三构造法的优点1 还原功能 转化到已知的熟悉的领域 2分解功能 分解成若干步骤 3简化功能 加工 处理 换元 4数形转化功能 数形结合 一 引子 晏子春秋 里有一个 二桃杀三士 的故事 大意是 齐景公养着三名勇士 他们名叫田开疆 公孙接和古冶子 这三名勇士都力大无比 武功超群 为齐景公立下过不少功劳 但他们也刚愎自用 目中无人 得罪了齐国的宰相晏婴 晏子便劝齐景公杀掉他们 并献上一计 以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子 让他们自己评功 按功劳的大小吃桃 三名勇士都认为自己的功劳很大 应该单独吃一个桃子 于是公孙接讲了自己的打虎功 拿了一只桃子 田开疆讲了自己的杀敌功 拿起了另一桃 两人正准备要吃桃子 古冶子说出了自己更大的功劳 公孙接 田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大 感到羞愧难当 赶忙让出桃子 并且觉得自己功劳不如人家 却抢着要吃桃子 实在丢人 是好汉就没有脸再活下去 于是都拔剑自刎了 古冶子见了 后悔不迭 仰天长叹道 如果放弃桃子而隐瞒功劳 则有失勇士尊严 为了维护自己而羞辱同伴 又有损哥们义气 如今两个伙伴都为此而死了 我独自活着 算什么勇士 说罢 也拔剑自杀了 晏子采用借 桃 杀人的办法 不费吹灰之力 便达到了他预定的目的 可说是善于运用权谋 汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道 一朝被谗言 二桃杀三士 谁能为此谋 相国务晏子 值得指出的是 在晏子的权谋之中 包含了一个重要的数学原理 抽屉原理 在 二桃杀三士 的故事中 把两个桃子看作两个抽屉 把三名勇士放进去 至少有两名勇士在同一个抽屉里 即有两人必须合吃一个桃子 如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的羞耻 那么悲剧的结局就无法避免 抽屉原则 把n 1个元素分为n个集合 那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素 把nm 1个元素分为n个集合 那么必有一集合中元素含有m 1个或m 1个以上的元素 把n个元素分为k个集合 那么必有一个集合中元素的个数 n k 也必有一个集合中元素的个数 n k 把q1 q2 qn n 1个元素分为n个集合 那么必有一个i 1n 在第i个集合中元素的个数qi 把无穷多个元素分为有限个集合 那么必有一个集合含有无穷多元素 例1 在边长为1的正方形内任意放置5个点 试证 其中必有两个点 它们之间的距离不大于 证明 将边长为1的正方形划分成如图所示的四个边长为的小正方形 则每个小正方形中任意两点间的距离不大于 据抽屉原理 5个点放入四个正方形中 其中至少有一个正方形中至少有2个点 则这两个点间的距离不大于 例2 证明 边长为1的的正三角形内任意放置5个点 其中必有两点 其距离不超过 例3 在边长为1的正方形中有任意九个点 试证 在以这些为顶点的各个三角形中 至少有一个三角形 其面积不大于 例2 证明 边长为1的的正三角形内任意放置5个点 其中必有两点 其距离不超过 例3 在边长为1的正方形中有任意九个点 试证 在以这些为顶点的各个三角形中 至少有一个三角形 其面积不大于 例4 设ABC为一个等边三角 E是三边上点的全体 对于每一个把E分成两个不相交子集的分划 问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点 例5 九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2 3的两个四边形 证明 这九条直线中至少有三条经过同一点 例6 求证 任给五个整数 必能从中选出三个 使得它们的和能被3整除 例7 在1 4 7 10 13 100中任选出20个数 其中至少有不同的两组数 其和都等于104 试证明之 证明 因为任意一个整数被3除的余数只能是0 1 2 若任给的5个整数被3除的余数中0 1 2都出现 则余数为0 1 2的三个整数之和能被3整除 若5个数被3除的余数只出现0 1 2中的两个 则据抽屉原理知 必有3个整数的余数相同 而余数相同的3个数之和能被3整除 故任给五个整数 必能从中选出三个 使得它们的和能被3整除 例8 求证 对于任给的1987个自然数 从中总可以找到若干个数 使它们的和能被1987整除 例9 在任意一次集会中 其中必有两个人 他们认识的人一样多 试证明之 例10 证明 在全世界所有人中任选六个人 其中一定有三个人 他们之间或者互相认识 或者互相不认识 例11 平面上有1987个点 任取三个点都有两点的距离小于1 求证 存在半径为1的圆 它至少盖住994个点 例11 十七个科学家 其中每一个和其他所有的人都通信 在他们的通信中 只讨论三个题目 而且每两个科学家之间只讨论一个题目 求证 至少有三个科学家相互之间在讨论同一个题目 例12 一个国际社团的成员来自六个国家 共有1978人 用来编号 试证明 该社团至少有一个成员的编号与他的两个同胞的编号之和相等 或是其一个同胞编号的二倍 例13 在100个连续自然数中 任取51个数 试证明在这51个数中 一定有两个数 其中一个是另一个的倍数 例14 任给7个实数 证明其中必有两个数 记为 满足 例15 设a a a 是严格上升的自然数列 a a a 求证 在这个数列中有无穷多个a可以表示为a xa ya 这里p q是两个正整数 而x y是两个适当的整数 例16 设为实数 满足求证 对于每一个整数存在不完全为零的整数使得并且 例17 在直角坐标系中 格上点的坐标 x y 满足1 将这144个格点分别染成红 蓝 白三色 证明 存在一个矩形它的边平行于坐标轴 它的顶点具有相同颜色 例18 已知1与90之间的19个不同的正整数 两两的差中是否一定有三个相等 例19 在一个面积为20 25的长方形内任意放进120个面积为1 1的正方形 证明 在这个长方形内一定还可以放下一个直径为1的圆 它和这120个正方形的任何一个都不相重叠 例20 任意地给定一个三角形 ABC及其一个内点p 直线AP BP CP与对边的交点分别记为A B C 求证 在下列三个比值AP PA BP PB CP PC 中至少有一个不大于2 也至少有一个不小于2 第三节分类讨论 例 2009 连云港调研 已知不等式的解集为 a b a b是常数 且0 a b 求a b的值 分析由于的对称轴为x 2 区间含参数可按a b 2的大小关系进行分类 解设显然 其对称轴为x 2 1 当a 2 b时 如图1所示 函数f x 的最小值为1 a 1 又a x b 图1 此时 函数f x 在 a b 上的最大值为f 1 或f b f b 为最大值 又由于f x 在 1 b 上的值域为 1 b f b b 2 当2 a b时 如图2所示 函数f x 在 a b 上递增 f a a f b b 图2 解之 得a b 4 这与已知0 a b矛盾 应舍去 3 当0 a b 2时 如图3所示 函数f x 在 a b 上递减 f a b f b a 图3 解之 得这与0 a b矛盾 应舍去 综上可知 a 1 b 4 探究拓展对称轴与目标区间的相对位置关系影响函数最值的获取 本例是典型的 定轴 动区间 类问题 要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨论 另一类与之相对应的问题是 定区间动轴 问题 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时 为叙述方便 使问题表述有层次 有条理 需作讨论分别叙述 例 设A点的坐标为 a 0 a R 求曲线y2 2x上的点到点A距离的最小值d 分析本题是求两点间距离的最小值问题 代入距离公式 转化为求二次函数的最值问题 注意抛物线上的点 x y 应满足x 0 解设M x y 为曲线y2 2x上一点 2 当a 1时 二次函数f x 在区间 0 上单调递增 当x 0时取最小值 由于x 0 二次函数f x x a 1 2 2a 1的顶点的横坐标为x a 1 由此作如下讨论 1 当a 1时 当x a 1时 MA min 规律方法总结1 分类讨论是 化整为零 各个击破 积零为整 的数学方法 其原则是 1 分类标准统一 对象确定 2 所分各类没有重复部分 也没有遗漏部分 3 分层讨论 不能越级讨论 有时 还要对讨论的结果综合起来概述 2 需要分类讨论的知识点大致有 绝对值的概念 根式的性质 一元二次方程的判别式符号与根的情况 二次函数二次项系数的正负与抛物线开口方向 反比例函数 k 0 的比例系数k 正比例函数y kx的比例系数k 一次函 数y kx b k 0 的斜率k与图象位置及函数的单调性的关系 幂函数y xn的幂指数n的正 负与定义域 单调性 奇偶性的关系 指数函数y ax a 0且a 1 对数函数y logax a 0 a 1 中底数a的范围对单调性的影响 等比数列前n项和公式中公比q的范围对求和公式的影响 复数概念的分类 不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号方向的影响 排列组合中的分类计数原理 圆锥曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系 运用点斜式 斜截式直线方程时斜率k是否存在 角的终边所在象限与三角函数符号的对应关系 等等 3 分类讨论产生的时机 1 涉及的数学概念是分类定义的 2 运算公式 法则 性质是分类给出的 3 参数的不同取值会导致不同的结果 4 几何图形的形状 位置的变化会引起不同的结果 5 所给题设中限制条件与研究对象不同的性质引发不同的结论 6 复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便于解决 7 实际问题的实际意义决定要分类讨论 避免分类讨论的有关策略 一 用等比定理推导 当q 1时Sn na1 因为 所以 合比定理 第四节一题多解专题 例1 等比数列求和公式的推导 Sn a1 a2 a3 an 1 an a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 a1 q a1 a1q a1qn 3 a1qn 2 a1