函数与方程思想的应用.ppt

函数与方程思想的应用 高考对数学思想的考查是与数学知识的考查结合进行的 是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度 对数学思想方法的考查是考查考生能力的必由之路 体现的思想 在 方法型解法 中 建立了已知量与未知量之间的等量关系 体现了数学中一种重要的思想 方程的思想 两式相加 得 由正弦定理得 由余弦定理得 解得或 舍 例1 体积法 在单位正方体ABCD A1B1C1D1中 求A到截面A1BD的距离 o 例1 体积法 在单位正方体ABCD A1B1C1D1中 求A到截面A1BD的距离 另一方面 解 设A到截面A1BD距离为d 一方面 在三棱体A A1BD中 若定义在R上的函数的图象满足 既关于直线对称 又关于直线对称 且 则是周期函数 且是它的一个周期 例2 函数的对称与周期的关系之一 解 由条件 得 由 3 4 得 这表明 是周期函数 且 于 1 式中用替换 得 于 2 式中用替换 得 于 5 式中用替换 得 算两次原理 函数的对称与周期的关系 续前例 思路点拨 利用题中的两个对称条件 运用算两次原理 得到一个关系式 进而证明问题 背景函数 例3 2007全国 理 16题 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 已知正三棱柱的底面边长为2 则该三角形的斜边长为 解 在等腰直角 A1BC中 易知A1C为斜边 从而PA1 PC且P为BB1的中点 设BB1 h 一方面 在Rt AA1C中 从而 解之 另一方面 在等腰Rt A1PC中 算两次原理 考试大纲 的说明中指出 所谓方程的思想 就是突出研究 建立 已知量与未知量之间的等量关系 通过设未知数 列方程 等式 或方程组 解方程或方程组等步骤 达到求值目的的解题思路和策略 它是解决各类计算问题的基本思想 是运算能力的基础 方程的思想应用的关键点 难点 是建立等式 算两次原理就是方程思想的一个典型运用 教材中一些定理 公式的证明都利用了方程的思想 下面举例说明 例4 关于两角和余弦公式的证明 解 如图在直角坐标中作单位圆和角 为了得到一个等量关系式 教材上用两种方法得到 一方面 以的终边OP2按逆时针 另一方面 以的始边OP1按顺时针方向旋转 得OP4 于是 P2OP4 旋转 得OP3 于是 P1OP3 综合起来 就得到 P1OP3 P2OP4 于是有 再将P1 P2 P3 P4的坐标分别用和的三角函数的表示 代入两点间距离公式 整理即得 例5 正弦定理和余弦定理的向量证法 对于 ABC 考虑向量等式 对于 1 式 我们有两种思路 都是研究方程问题的常用手段 思路一 两边平方 展开 得 即 从而 注意到 这就是余弦定理 再考虑等式 就得到 余弦定理的另两个公式 背景知识 我们知道 利用不等式可以求函数的最值 例如 求的最大值就可以利用 不等式来求解 当且仅当时 函数有最大值 提出问题 函数的最大值 能用上述方法求解吗 我们尝试一下 小试牛刀 两边平方 求函数的最大值 当且仅当时 函数的 最大值为 小试牛刀 导数方法 求函数的最大值 令 解得 舍 在上 在上 原函数为增函数 原函数为减函数 从而 当时 函数的最大值为 例5 正弦定理和余弦定理的向量证法 对于 ABC 考虑向量等式 对于 1 式 我们有两种思路 都是研究方程问题的常用手段 思路一 两边平方 思想二 两边乘以一个恰当的向量 如乘以的单位法向量 例6 求的值 解 设 则 解之得 建立方程两边平方 解 由导函数图象可知 函数 在 1 2 上递增 在 1 2 上递减 所以在x 1处取得极大值 所以 即 由导函数图象可设 另一方面 由得 即 又由知 对比 1 2 得 算两次原理 就可得到一个等量关系式 进而证得 证明 一方面 设 代入椭圆方程 得 解得 另一方面 我们来求的长 如图 作 我们再从两个角度来考虑 其一 易知 故 其二 由椭圆定义知 所以有 解得 由 得 所以 解得 即 我们作第 问 思路的选择取决于对知识掌握程度 体积法 方程的思想 转化法 化归与转化的思想 向量法 数形结合的思想 一方面 思路1 另一方面 作AP CD 连结OP 在Rt APD中 在Rt OAP中 设B到平面OCD的距离为h 对比 1 2 得 算两次原理 线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 所以点B到平面OCD的距离为 过点A作 思路2 转化的思想 思路3 设平面OCD的法向量为 即 设点B到平面OCD的距离为 则 数形结合 考试中心对考试大纲的说明中指出 高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查 使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算 而在解答题中 则从更深的层次 在知识的网络的交汇处 从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查 解之得 从两道简单的例子谈数学思想与方法 一 从两道简单的例子谈数学思想与方法 一 从两道简单的例子谈数学思想与方法 二 可得 即 从两道简单的例子谈数学思想与方法 二 由 得 思路一 不等式法 当且仅当时 等号成立 从两道简单的例子谈数学思想与方法 二 思路二 方程的思想 解得 即 从两道简单的例子谈数学思想与方法 二 思路三 导数法 所谓函数思想 还不仅仅是使用函数的方法来研究解决函数的问题 构建函数关系式 使用函数的方法来研究解决非函数的问题应该是函数思想的核心 因此 可以认为函数思想的精髓是构建函数关系 产生使用函数方法来解决问题的思路 在研究方程 不等式 数列 解析几何等其他内容时 函数思想也起着十分重要的作用 分析 此题若讨论不等式组 解的情况 将十分烦琐 注意到一元二次不等式解的讨论是借助于二次函数的图象得到的 故得如下解法 有且只有一个点 所以 解得 评注 这个解法体现了三种数学思想方法 若在区间上存在实数使不等式成立 则等价于函数在区间上的最大 小 值大 小 于 若不等式在区间上恒成立 则等价于函数在区间上的最小 小 值大 小 于 若不等式在区间上恰成立 则等价于不等式的解集为 解 这是不等式能成立的问题 于是 解得或 则存在使能成立 而 设 即 另解 令 使能成立 由题意知存在 于是的图象与x轴有交点 从而 即 解 依定义 则 在区间 1 1 上是增函数 设 则 对称轴为 t的取值范围是 分析 用函数思想去分析题意 设函数 即可 比如 设 所以 当时 亦即 单调递增 当时 单调递减 则 分析及解 1 最小值为 当公比时 当公比时 故选D 解2 函数思想 令 解得 故选D 分析及解 将化成同一个角的表达式 所以当 即当时 的最大值为 设在点处切线的斜率为 倾斜角为 点到 对称轴的距离为 先利用导数求切线的斜率 我们的首要任务是建立与之间的函数关系 由导数的几何意义 知即为点处 将 代入 式 得 由于 容易求得 令 所以 得 易知 所以 令 所以 联想等差数列前项和公式的函数特征 得 可以口算通项公式 分析 由条件知 故和都是关于的方程的实数解 构造 易证是上的增函数 例11 设不等式2x 1 m x2 1 对满足 m 2的一切实数m的取