07中考数学-新题型研究之探究性问题(课标版-原创)

1 A BCD丁AB CD丙AB CD戊ABCD甲ABCD乙新题型研究之 探究性问题（课标版原创） 【考点知晓】探究性试题通常是指必须经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探索活动把问题的条件、解题的依据、解题的方法或问题的结论加以明确的试题 .这类试题不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力同时发挥出来 .通过探究性试题的解题活动，不仅可以促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，还有利于思维能力的全面提高，有利于加强主体意识、探究态度、科学方法和创造才能的 培养，所以这类试题在中考中占有越来越大的比例 . 【考题漫步】 例 1 在平面内确定四个点，连接每两个点，使任意三点构成等腰三角形（包括等边三角形），且每两点之间的线段长只有两个数值 .举例如下： 如图，相等的线段有： AB=BC=DA AC=BD.请你再画出满足题目 条件的三个图形，并指出每个图形中相等的线段 . 思路分析： 本题以方案设计为背景，探究满足结论的条件 . 可以从平面上 唯一的四点构成六条线段入手，分别设计五条、四条、三条、两条分别 相等的情形 . 因为题目的示例是正方形，所以解题时，首先要找出类似 正方形的基本图形，如：菱形、等边三角形、等腰梯形 . 解： AB=BC=CD=DA=AC AB=BD=DA=AC BD=BD BC=CD AB=BC=CA AB=BC=DA AD=BD=CD=BC AD=BD=CD AC=BD=CD AB=AC 重要提醒： 这类试题是指在给定明确结论而未给出明确条件的前提下，需要采用证明、推断去探索发现并补充完善，使结论成立的试题 .从所给结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件 . 如上题，应紧紧抓住图形是由六条线段组成，而六条线段中 只有两类相等的线段 . 例 2 将一直角三角形的直角顶点 M 放在等腰直角三角形 ABC 斜边的中点，另两直角边分别与线段 BC、 AC 交于 D、 E 两点 . （ 1）如图，当点 D 是 BC 的中点时，求证： MD=ME； （ 2）当绕着直角顶点 M 旋转时，该直角三角形两直角边与 ABC 两直角边的交点位置随之发生变化 .有三位同学提出各自的判断： 甲： MDE 的周长会发生变化 乙： MDE 的面积会发生变化 丙： MDE 的形状会发生变化 你认为哪一位同学的判断是 错误 的？请给出证明 . AB CDABCDEMABCM 2 例 3 思路分析： 这是一道操作性的结论探究题 .由于 ABC 是等腰直 角三角形，直角三角形的直角顶点 M 又放在等腰直角三角形 ABC 斜边的中点，这一系列的特殊情况（特殊三角形、特殊点、特殊角）决定试题必有一些特殊 的结论，从而考查学生从特 殊中探究出一般性 结论 的能力 .由 三角形的中位线定理，可得 MD=ME；当绕着直角顶点 M 旋转时，没有发生变化的是 CD+CE 的值四边形 CEMD 的面积 MD=ME DME=900，由可得 MDE 的形状不会发生变化 . 解： （ 1）（略） （ 2） 连结 CM，证明 BDM CEM, 可得 MD=ME，所以 MDE 的形状不会发生变化，丙同学的判断是错误的 . 重要提醒： 这类试题是指在给定明确条件但未给出明确结论或 结论不唯一的前提下，通过论证推断、探索、发现与之相应的、 符合条件的结论的试题 .对于结论不明确的问题，应从所给条件（包括图形特征） 出发，进行探索、归纳，猜想出结论，然后对猜想的结论进行证明 . 触类旁通： 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形 .设格点多边形的面积为 S，它各边上格点的个数和为 x . （ 1）上图中的格点多边 形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出 S 与 x 之间的关系式 . 多边形的序号 多边形的面积 S 2 2.5 3 4 各边上格点的个数和 x 4 5 6 8 （ 2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有 2 格点 .此时所画的各个多边形的面积 S 与它各边上格点的个数和 x 之间的关系式是： S= . （ 3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有 n 个格点时，猜想 S 与 x 有怎样的关系？ 解：（ 1） S21x ； （ 2） S21x 1； （ 3）这是著名的皮克公式的探究过程 .可以尝试探究 当格点多边形内部分别有 3 个、 4个等格点时， S 的值，从 中找出 S 与 x 的关系： S=n +21x -1. ABCMDE 3 思路分析： 首先寻找以 BE、 DF、 EF 为边的 ABE、 ADF，结合同角的余角相等，设法证明 ABE、 ADF 全等，再由全等三角形对应边相等及边的关系可得出结论 . 解：如图 BE DF EF；如图 BE DF EF；如图 BE EF DF. 证明：四边形 ABCD 是正方形， AB AD； BE PA， DF PA， AEB AFD 90， ABE BAE 90； DAF BAE 90， ABE DAF， BE AF， AE DF； AF AE EF， BE DF EF. 重要提醒： 从题目中完备的条件出发，从不同角度探究数量关系和图形特征，在不同的情况下运用类比思想解决问题 . 触类旁通： 如图， O 是等边 ABC 的外接圆， AB=4 3 cm， P 是 BC 上的一个动点，（点P 不与点 B、 C 重合），连结 AP、 BP、 CP，延长 CP 到 D，使 PD=PB，连结 BD. （ 1）求 O 的半径； （ 2）找出图中一对全等的三角形，并加以证明； （ 3）试写出（ PB+PC）的一个数值，并说明你写出的数值符合要求 . 解答：（ 1） O 的半径为 4 cm； （ 2） 120180 B A CB P C 601 2 01 8 0BPD BPD 是等边三角形 60, B P ADBPBD 在 BEC 和 ABP 中 BCDBAP ABPBDC （ 3）取 PB+PC= 7(cm) CPBPDCPA 当 P 与 A(C)重合时， ,PA 最小， 34PA 当 P 是 BC 的中点时， PA 为 O 直径，这时 PA 最大， PA=8 834 PA 取 PB+PC=PA=7(cm) B D O A C P 4 例 4 如图， O 与 P 相交于 B、 C 两点， BC 是 P 的直径，且把 O 分成度数的比为 1:2的两条弧， A 是 上的动点 (不与 B、 C 重合 )，连结 AB、 AC 分别交 P 于 D、 E 两点 . （ 1） 当 ABC 是锐角三角形 （ 图 ） 时，判断 PDE 的形状，并证明你的结论； （ 2） 当 ABC 是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在 图 2、 图 3 画出相应的图形 （ 不要求尺规作图 ） ，并按图 标记字母； （ 3） 在你所画的图形中， (1)的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明 . 思路分析： 这类试题一般是利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律 .而大凡有“ 判断 三角形 的形状 ”试题，基本上可考虑它是特殊形状的三角形，如正三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、直角三角形、含 300角的直角三角形等等 .利用“直径所对的圆周角是直角”这一基本结论， 考虑连 DC，再联系到有弧的 1： 2 的比，这样 A 的度数就可知，利用圆心角、圆周角之间的数量关系，问题就可证了 .而当图形发生了规律性的变化后，试题的证法却往往是类似的 . 解： （ 1） PDE 是等边三角形 . (2)图 、图 为所画图形 . (3)图 和图 中 PDE 仍为等边三角形 . 重要提醒： 这类试题是指数学对象所具备的状态或关系未知，需对其本质属性进行探索，从而寻求、发现其所服从的某一特定规律或具有的不变性 .在探究图形的某一因素发生改变前后结论的状况时，大多有两种情况，是结论发生规律性的变化； 是结论仍旧不变 . 触类旁通： 如图 ， AB 为 O 的直径， P 为 AB 延长线上的一个动点 .过点 P 作 O 的切线，切点为 C，连结 AC；作 APC 的平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E. （ 1）当点 P 在何处时， A=300？ （ 2）在点 P 运动过程中， ADE 的形状是否会发生变化？请证明你的判断 . 解答：（ 1）当 BP=BC 时， A=300； 证明：（ 2） ADE 的形状不会发生变化 AB 为 O 的直径， ACB=90 点 P 与 O 相切于点 C， PCB= CAB PD 是 APC 的平分线， CPD= DPA CDP= CAP+ DPA， CED= PCB+ CPD O A B P C D E 5 BAC3C2C1BA CDP= CED CDE是等腰直角 即 ADE 的形状不会发生变化 . 【轻松演练】 1.根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（ B ） . 000 110 010 111 001 101 A、 100， 011 B、 011， 100 C、 011， 101 D、 101， 110 2.如图所示， A、 B 是 4 5 网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1，请在图中清晰标出使以、为顶点的三角形 是等腰三角形的所有格点的位置 解： 3.两个全等的含 300, 600角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图放置， E,A,C 三点在一条直线上，连结 BD，取 BD 的中点 M，连结 ME， MC试判断 EMC 的形状，并说明理由 解： EMC 是等腰直角三角形 证明：由题意，得 DE=AC， DAE BAC 900， DAB=900. 连接 AM DM=MB， MA=12DB=DM, MDA= MAB=450. MDE= MAC=1050， EDM CAM ， EM=MC, DME= AMC ， 又 EMC= EMA+ AMC= EMA+ DME=900， CM EM 所以 EMC 是等腰直角三角形 4.如图，在 ABC 中， AB=AC=1，点 D,E 在直线 BC上运动设 BD=x, CE=y (l)如果 BAC=300， DAE=l050，试确定 y 与 x 之间的函数关系式； (2）如果 BAC= , DAE= ,当 , 满足怎样的 6 关系时， (l）中 y 与 x 之间的函数关系式还成立？试说明理由 解： (l）在 ABC 中， AB=AC =1， BAC=300, ABC ACB=750, ABD ACE=1050, DAE=1050， DAB CAE=750, 又 DAB+ ADB= ABC=750, CAE ADB ADB EAC AB BDEC AC， 即 11, y =1xxy 所 以. (2）当 、 满足关系式 0902 时，函数关系式 1y=x成立 理由如下：要使 1y=x，即 AB BDEC AC成立，须且只须 ADB EAC. 由于 ABD ECA，故只须 ADB EAC. 又 ADB+ B