罗默高级宏观经济学(第3版)课后习题详解(第10章 通货膨胀与货币政策).doc

Born to win经济学考研交流群 点击加入 罗默高级宏观经济学（第3版）第10章 通货膨胀与货币政策跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。10.1 考虑第10.1节中有关货币增长、通货膨胀与真实平衡分析中的离散时间形式。假设货币需求由给出，这里与是货币存量与价格水平的对数，并且简单地假设产出与真实利率是不变的（见10.56）。（a）解出用与表示的。（b）利用重复预测法则写出用与表示的。（c）重复向前推进这个过程，推出用、与所表示的（假设。这是一个类似习题7.9中的无泡沫条件）。（d）直观地解释，为什么对于任何的，的增加会提高。（e）设预期货币增长不变，使得。解出用与表示的。会怎样影响？答：（a）由，整理关于的同类项得到：，因此得到： （1）（b）方程（1）在各期都成立，可以将写为： （2）在方程（2）两边取期望值： （3）上面用到了重复迭代法则，即。如果这不成立，个人将预期向上或向下修改的期望值，说明原先的估计是不理性的。（c）将方程（3）代入（1）中： （4）由于方程（1）在各期都成立，因此可以写为： （5）在方程（5）两边取期望： （6）上面用到了重复迭代法则，即。将方程（6）代入方程（4）得到： （7）将写为：（8）（d）由于产出和实际利率不变，价格水平必须调整以出清货币市场。如果变高，需要变高以出清市场。因此，在时期，如果个人预期变高，他们将预期变高，即在时期，预期的通货膨胀将变高。这会降低在时期的实际货币需求。对于给定的，需要升高以出清货币市场。返回到更多期，假设在时期，个人预期将变高，则通过以上的推理，他们将预期需要升高。因此，在期，预期的通货膨胀将变高，实际货币需求将变低，需要升高以出清货币市场。逆向推理，只要人们预期在未来时期名义货币供给增加，在当前期价格水平将上升。（e）方程（8）可以写为： （9）将代入方程（9）得到： （10）运用下面的式子： （11） （12）方程（12）用了下面的结论： （13）对于，有： （14）在方程（14）两边关于求导得： （15）在方程（15）两边乘以得： （16）注意（13）和（16）是等价的。将方程（11）和（12）代入（10）中： （17）因此价格水平为： （18）方程（18）两边对求导，得： （19）因此，即使当前时期货币供给没有增加，货币增长率的增加也会引起当前价格水平向上跳动。10.2 考虑一个离散时间模型，在这种模型里，在一个时期内，价格对于非预期的货币冲击是完全无反应的，而在此后，则是完全可浮动的。设与曲线是和，式中、与是产出、货币供给与价格水平的对数，是真实利率，是名义利率，、与是正的参数。假设初始处在一定的水平上不变，可将此可变水平规范化为0，并且在其可变的价格水平上不变，我们可将此规范化为0。现在假设在一定的时期为了简化，设为第一个时期货币当局出人意料地转向在每个时期内使增加数量的政策。（a）在政策变化之前，、与是什么值？（b）一旦价格被充分地调整，利用这个事实找出第二个时期的、与。（c）在第一个时期内，、与以及由第一时期至第二时期的通货膨胀期望是多少？（d）什么因素会决定货币扩张的短期效应是提高或降低名义利率？答：（a）将正规化的、可变价格水平的产出代入到曲线中：，给定。求解在0期的实际利率得到： （1）因为名义货币存量预期不变，价格水平预期不变，因而从0期到1期的预期通货膨胀率为： （2）在0期的名义利率为：，仅等于实际利率： （3）将假设和以及方程（3）代入到曲线：，得到，简化为： （4）（b）在第二期，经济再次位于可变价格的均衡产出水平上，为0。将上述结果代入到曲线中以求解第二期的实际利率： （5）因为从第二期到第三期的预期的通货膨胀率等于，价格水平预期上升的数量与各期名义货币供给上升的数量相同。第二期的名义利率为： （6）因为在0期，在接着的各期增加，在第二期名义货币供给为。将上式和以及代入曲线得到：。求解得： （7）（c）在第一期中价格水平对未预期的货币冲击完全没有反应。因此，第一期的价格水平与0期的价格水平值没有发生变化。即： （8）因此，从第一期到第二期的预期的通货膨胀率为： （9）上步用到了方程（7）和（8）以将代入到中。将方程代入到方程中：，得到： （10）根据假定，在时期1时名义货币供给为，另外，等价于。将上述结论以及方程（8）代入到方程（10）中得到： （11）简化并整理得到： （12）因此，时期1的实际利率为： （13）将式（9）与式（13）代入得： （14）因此，时期1的名义利率为： （15）（d）运用方程（3）和（15），从0期到1期的名义利率的变化为：化简得： （16）因为，名义利率从0期到1期下降的条件为：化简得： （17）（产出关于实际利率变化的弹性）越小，（实际货币需求的收入弹性）越小，（实际货币需求的收入弹性）越小，（17）中的条件越有可能得到满足，对于货币扩张名义利率越有可能下降。对于名义利率的下降，需要用流动性效应来抵消预期的通货膨胀效应，即需要实际利率的下降超过预期通货膨胀率的上升的幅度。在时期1假设价格水平固定，和必须调整以确保货币市场均衡。如果较小，的变化并不会太大影响实际货币需求。需要上升来增加实际货币需求，并使得等于更高的实际货币存量。如果较小，需要上升来完成。如果上升很多，需要实际利率下降很多。进一步的，如果较小，需要下降很多来增加产出。因此，较小的、和使得下降很多，从而名义利率也会下降。10.3 与习题10.2一样，假设在一个时期内，价格对非预期的货币冲击完全无反应，并且在此后的时期内完全可浮动。也假设了并且在各时期成立。然而，假设货币供给遵循随机游走：，这里是一个均值为零、系统不相关的扰动。（a）设代表时期的期望，解释对于任何，并且。（b）利用（a）部分的结论，求解用与表示的、与。（c）费雪效应在这个经济中成立吗？也就是预期通货膨胀的变化反映在对应的名义利率中吗？答：（a）在时期1的名义货币供给的任何冲击完全反映在第二期的价格水平上，即价格水平从到期的变化的唯一原因是在期的非0实现。由重复迭代法则，有： （1）因为在期的期望值是0，价格水平从到期没有发生变化。因此： （2）因为方程必须在各期都成立，有： （3）上式使用了。在方程（3）两边取期望值： （4）上式用到了方程（2）。另外，因为和仅依赖于的冲击，其期望值为0，因而它们的期望值为其平均值。（b）整理方程（4）可以得到： （5）因为，将（5）式两边减去，得到： （6）预期的通货膨胀率等于，因此有： （7）将代入方程（7）并整理得： （8）求解期的产出。重新整理方程求解得到： （9）由方程（7）可以得到： （10）将方程（10）代入方程（9）得： （11）将方程（11）和代入到方程中得到： （12）整理得到： （13）求解为： （14）因此，期的产出为： （15）为了决定实际利率，重新整理方程得到： （16）将方程（15）代入方程（16）得： （17）即： （18）因此，期的实际利率为： （19）名义利率是，其中，得到： （20）将方程（19）代入方程（20）得： （21）（c）因为，由方程（21）可以得到： （22）由方程（22），预期通货膨胀率的变化并没有一对一地反映在名义利率中。这是因为在一期中价格对货币的扰动完全没有反应。这意味着产出和名义利率将调整以出清货币市场。为了使产出变化，实际利率必须变化。因此，一般而言，名义利率不会与通货膨胀率一对一地变化。10.4 设想检验这样的假说，即：真实利率不变，使得名义利率的一切变化反映在预期的通货膨胀中。因而，假说是。（a）考虑对一个常数与的回归。是否真实利率是常数的假说可形成关于的系数的一般预测？请解释。（提示，对于单变量OLS回归，右边变量的系数等于右边与左边变量的协方差除以左边的变量的方差。）（b）考虑对一个常数与的回归。真实利率不变的假说可形成关于的系数的一般预期吗？请解释。（c）有些人认为有关真实利率不变的假说意味着，在长期内名义通货膨胀率随真实通货膨胀发生一一对应的变动，即：假设在一个关于常数与的现期和众多延滞值的的回归中，通货膨胀变量的系数和将是1。这个论断正确吗？（提示：实际通货膨胀行为由给出，其中是白噪声。）答：（a）在理性预期下，满足下面的式子： （1）其中是扰动项，与期的任何值无关。考虑回归： （2）的估计值为： （3）由和方程（1）可以得到分子的方差： （4）因为和是无关的，与期的任何值无关，因此： （5）根据方程（1），方程（3）分母的方差为： （6）上步用了。将方程（5）和（6）代入到方程（3）中，得到最小二乘估计值： （7）根据实际利率不变的假说，预期通货膨胀率的变化引起名义利率的一对一的变化。这仅预示着的系数应该为正，且小于1，但不能说明它取任何特定值。（b）考虑回归的形式： （8）的最小二乘估计式为： （9）方程（9）中分子的协方差与（5）中的一致。因为，可以写出方程（9）的分母： （10）上步用到了。将方程（5）和（10）代入方程（9）得到： （11）实际利率不变从而的假说预示着的系数为1。（c）考虑下面的回归： （12）系数代表保持其他的不变，的变化对的直接影响。假定真实通货膨胀的行为是： （13）如果，其中保持不变，预期通货膨胀的变化将引起一对一的变化。因为，的变化将引起以及改变，因此可以预期。现在，控制，其他变量，不会提供关于任何新的信息。任何对的影响，已经间接的被对的影响所取代。因此可以预期在回归中。因此，题目中的说法是错误的，因为而不是。10.5 政策规则、理性预期与体制变动（卢卡斯，1976；萨金特，1983）。设总供给由卢卡斯供给曲线，给出。设货币政策由决定，其中是一个白噪声扰动。设个人并不知道或的现值。因此，给定、与时是的期望。最后假设总需求由给出。（a）找到由、以及相关的任何其他变量或参数表示的。（b）是否与是人们为了找到需要去了解的关于货币政策的变量？（c）设货币政策初始像上面一样被决定，在的条件下，并且货币当局宣布，它正在移向一种新体制，在那里，。假设个人行为者相信，宣布为真的概率是。用、以及的初始值表示的。（d）利用这些结论，描述货币产出关系的检查如何用于度量所宣布的体制变化的可置信度？答：（a）由于和因此可以得到：，可以写出卢卡斯供给函数为： （1）令总供给等于总需求得到： （2）求解得到： （3）根据理性预期，方程（3）两边的期望值必须相等。因此有： （4）其中用到了的期望值为，因为是白噪音。方程（3）减方程（4），可以得到： （5）将方程（5）代入方程（1）得： （6）（b）由方程（6）可以知道，需要知道、和来决定当前的产出水平。方程（6）说明只有没有预期到的货币供给才影响产出，因为与的差别为随机冲击。不过，如果不知道，便不能决定从期到期有多少变化是因为，有多少变化是因为。（c）在理性预期的情况下，方程（3）两边的期望值一定相等。不过，此时的期望值为，因为个人相信的概率为。因此： （7）方程（3）减方程（7）得到： （8）将方程（8）代入方程（1）得： （9）（d）方程（6）在各个时期都成立，如果在期没有新政策的变化，可以得出： （10）方程（6）减方程（10）得到： （11）令，可以得到： （12）方程（12）表明不存在政策变化的情况下，产出的增长由货币的增长的变化所决定。如果在期有新政策的变化，方程（9）成立。方程（9）减方程（10）得到：简化为： （13）在原假设：宣布政策变化没有可信度的情况下，方程（13）的右边的第一项等于0。因此，如果宣布是不可置信的，方程（12）和方程（13）是相同的。可以设定一个关于和一个哑变量的回归，在政策变化的那一期哑变量等于1。哑变量的系数将反映政策制定者宣布的可信度。事实上，因为可以估计并决定，可以由哑变量的系数计算的估计值。10.6 体制变化与利率的期限结构（布兰查德，1984；曼昆、迈伦与威尔，1987）。考虑一个货币为中性的经济。具体而言，假设并且在0水平且不变。设货币供给由给出，为白噪声扰动。（a）假设关于利率的期限结构的理性预期理论成立（参见教材中方程见10.6）。具体而言，假设时期二的利率由给出，表示由到时期的名义利率。因此，依据费希尔等式，它等于。（1）作为与的函数的是什么？（设在时刻已知。）（2）作为与的函数的是什么？（3）与之间的关系是什么？即作为与的函数的是什么？（4）的变化将会如何影响与之间的关系？请直观地解释。（b）设第二个时期的利率包括一个时间可变的期限升水：式中，是一个独立于的白噪声扰动。考虑OLS回归（1）在关于期限结构的理性预期理论条件下（对于一切，），人们预期的值将是什么？（提示：对单变量OLS回归，右边变量的系数等于右边与左边变量的方差除以右边变量的方差。）（2）现在设有方差，人们将预期的值是什么？（3）的变化将怎样影响你对（2）部分的回答？随着趋于1，将会发生什么变化。答：（a）（1）因为实际利率在0时被假设为常数，一期的名义利率为，又因为，可以得到： （1）由于货币增长率为： （2）因为方程（2）在各期都成立，可以写为： （3）将方程（3）代入方程（1）得： （4）上式用到了在期已知和。（2）在时间，从期到期的预期的名义利率为： （5）因为方程（2）在各期都成立，可以得到： （6）将方程（3）代入方程（6）得到： （7）将方程（7）代入方程（5）得： （8）上步用了在期已知并且是均值为0的扰动项。（3）在期限结构的理性预期理论情况下，两期利率为： （9）将方程（8）代入方程（9）得： （10）解方程（4）可以得到，所以方程（10）可写为： （11）（4）由方程（11），在给定第一期利率的情况下，的增加将提高二期的利率。对于期的给定的通货膨胀率水平，期的预期的通货膨胀将提高。对于给定的期的一期利率，在期一期的预期的利率将提高。因此，是期的利率和期的预期利率的平均数，对于给定的，将会提高。随着接近于1，货币增长和通货膨胀接近随机游走，二时期的利率等于一时期的利率。（b）（1）方程（4）在各期都成立，因此期的真实的一期利率为： （12）将方程（3）代入方程（12）得： （13）因此有： （14）由方程（11）可以得到： （15）将代入上式得到： （16）在下面的回归中： （17）的最小二乘回归估计为： （18）根据方程（14）和（16），方程（18）的分子的协方差为： （19）因为是白噪声并且，得到： （20）根据方程（16），方程（18）的分母的方差为： （21）将方程（20）和（21）代入方程（18）得： （22）（2）对于可变期限的升水，方程（16）变为： （23）使用方程（14）和（23），方程（18）的协方差为： （24）因为和是白噪声，可以简化为： （25）协方差与不存在时间可变的期限升水一致。不过，的方差将会发生变化。 （26）上一步用了和的协方差为0的的结论。将方程（25）和（26）代入方程（18）得： （27）（3）因为在时达到最大值，当时，最小二乘估计最大。对于，的增加（更多的持续货币增长和通货膨胀）降低了最小二乘估计值。随着接近于1，货币增长、通货膨胀和一期的名义利率接近随机游走，最小二乘估计值变为0。10.7 （费希尔与萨默斯，1989）设通货膨胀由第10.3节决定，并且政府可减少通货膨胀成本，即假设政府减少了方程（10.11）中的参数。请直观地解释社会由这种变化而改善还是受损？答：如教材中所描述，在均衡时，产出水平为，通货膨胀率等于。将上述结果代入到教材的方程（10.11）的损失函数中去，得到均衡时的损失函数： （1）简化为： （2）不论的值如何变化，均衡时的产出水平为。下面分析均衡时的损失如何随着的变化而变化。用方程（2）求关于的导数： （3）方程（3）表明下降会导致增加，即通货膨胀成本的降低增加了社会的损失。通货膨胀与其最优水平的偏离都会降低社会成本。不过，问题是这导致均衡的通货膨胀水平变高。对于给定的，额外的通货膨胀的边际成本对政策制定者来讲是降低了，因而制定更高的通货膨胀水平是最优的。不过，公众知道这一情况，因此变高了。这证明了超过了原先的水平，说明与的任何偏离都会降低对社会的成本。10.8 通过惩罚解决动态不一致性问题（巴罗与戈登，1983）。考虑这样一个政策制定者：其目标函数是。式中，并且。在每个时期内，仍由卢卡斯供给曲线（10.10）决定。预期的通货膨胀由如下条件决定：在以前所有时期内，如果已等于（这里是一个参数），那么，。如果永远不等于，那么，在随后时期内，。（a）如果永远不同于，在所有后续时期内，模型的均衡是什么呢？（b）设总是等于，所以。如果货币当局的选择不同于，那么，它所选择的值是什么呢？其终生目标函数在此策略下获得什么样的水平？如果在每个时期内，货币当局继续选择，其将获得什么水平的终生目标函数？（c）为了什么样的，货币当局选择？是否存在、与的值，使得时，货币当局选择？答：（a）假定在时期时不同于，则对于之后的时期，。将此代入到卢卡斯供给函数中：，给出后续时期的产出： （1）预期的通货膨胀保持不变，每一期的均衡独立于先前时期的政策制定者的决策。先集中在一个代表性的时期期，均衡在所有的时期都相同。将方程（1）代入到政策制定者在期的目标函数中：，得到： （2）通货膨胀选择的一阶条件为： （3）因此政策制定者选择： （4）因为，由卢卡斯供给函数可以得到： （5）（b）假定货币当局在0期选择偏离。因为永远等于，即。将上面的结论代入卢卡斯供给函数可以得到： （6）货币当局在0期选择偏离，的选择并不影响和未来时期的均衡。因此只有当前时期的目标函数对政策制定者产生作用。他将选择来最大化： （7）关于的最优选择的一阶条件是： （8）因此政策制定者选择： （9）对于通货膨胀率的选择，使用卢卡斯供给函数，在时期0的产出为： （10）将方程（9）和（10）代入到政策制定者的目标函数，得到： （11）简化为： （12）如同（a）部分分析的，在政策制定者发生偏离后的时期里，和。将上述值代入到目标函数中：，得到： （13）因此，政策制定者的终身的目标函数为： （14）将从加总项中提出来，又因为，得到： （15）因此，终身的目标函数为： （16）简化为： （17）如果政策制定者在每期都选择，则在每期产出都将等于。因此，政策制定者在每期的目标函数为： （18）如果政策制定者不出现偏离时的终生目标函数为： （19）将从加总项中提出来，又因为，得到： （20）因此，终生效用的目标函数为： （21）（c）解决问题的一个方法是计算偏离的收益和成本以及其他参数。下面计算的范围（成本超过收益的范围）和政策制定者不出现偏离时的范围。在时期，偏离的收益是时期的福利，即：（参考方程（12），而不是（参考方程（18）。因此偏离的收益为：即： （22）偏离的成本是在时期之后的各个时期，福利将为（参考方程（13），而不是。因此，在未来各个时期偏离的成本为，或者简化为。偏离的总成本为： （23）将方程（15）的结果代入到方程（23）得到下面的偏离的成本： （24）下面求偏离的收益。由方程（22）可以得到： （25） （26）是在时抛物线的最低点。由方程（22），在点，。最后，在的最低点，。作为的函数的偏离所得收益的图象，如图10-1所示。 图10-1 偏离收益与偏离成本下面分析偏离的成本。由方程（24）得到： （27） （28）是逆转的抛物线，在点达到最大。由方程（24）可以知道，在点偏离的成本为。另外，在时，。，即，此种情形如图10-1（a）所示。，即，此种情形如图10-1（b）所示。下面求解偏离的收益等于偏离的成本时的值。令方程（22）和（24）的右边相等得到：可以推出：即： （29）在方程（29）两边乘以得到等价条件。 （30）求解得到： （31）进一步的代数运算可以得到： （32）解出： （33） （34）使偏离的收益正好等于偏离的成本的值如图10-1所示。注意对于，是负的，是不相关的，舍去。对于的情况，对于任何满足的，偏离的成本超过了偏离的收益。对于这些参数值，政策制定者选择不偏离。在的右边，政策制定者是无差异的。事实上，在，偏离与不偏离的情形一样。最后，对于任何的，偏离的收益超过了偏离的成本，因此政策制定者选择偏离。对于的情况，对于任何满足的，偏离的成本超过了偏离的收益。对于这些参数值，政策制定者选择不偏离。在和的右边，政策制定者是无差异的。最后，对于任何或的值，偏离的收益超过了偏离的成本，因此政策制定者选择偏离。对于政策制定者选择，如果，在处，偏离的成本超过了偏离的收益。如上面的讨论，只要，这种情况便成立。因此不管和的值如何，如果，且，政策制定者选择。10.9 巴罗戈登模型中的其他均衡。考虑习题10.8中所描述的情形。找出参数值，对于该值，如下的每个状况处在均衡中：（a）一时期的惩罚。在每个时期，如果，否则如果，则。（b）严厉的惩罚（阿布勒，1988；罗格夫，1987）。如果，则，如果，并且，则；否则如果每时期，则。（c）重复的相机选择均衡。在每个时期，。答：（a）下面检验偏离，使得偏离的成本超过偏离的收益的的范围。这给出了使得政策制定者每期都选择的的范围。偏离的收益与习题10.8中的结果相同。因此得到： （1）在一些时间偏离的成本是在接下来时期，而不是。当时，政策制定者选择。因此在接下来时期中产出等于。因为政策制定者在发生偏离的时间里选择，在后续时间里预期的通货膨胀恢复到。因此在这样的设定中只有一期的偏离成本。特别的，偏离发生后的成本，政策制定者目标函数的值为，而不是。贴现的偏离成本为： （2）可以将偏离的收益和成本作为的函数。偏离的收益与习题10.8一致。由方程（2）可以知道： （3） （4）是一个倒转的抛物线，在达到最大。由方程（2），因为，所以在处偏离的成本是。下面求解，此时偏离的收益等于偏离的成本。令方程（1）和（2）的右边相等得到：可以推出： （5）在方程（5）两边乘以得到的等价条件： （6）求解上式： （7）简单的代数运算可以得到： （8）最后得到： （9） （10）由图10-2可以得出，对于任何满足的，偏离的成本超过了偏离的收益。对于这些参数值，政策制定者将选择不偏离。对于任何的大于而小于，偏离的收益超过了偏离的成本。因此，政策制定者事实上将偏离。图10-2 巴罗戈登模型（b）偏离的收益仍然不变，由方程（1）可以得到：下面决定对于政策制定者将来偏离的成本。假定政策制定者在时间发生偏离，则在时间，也可以写为：，。当政策制定者视预期的通货膨胀为既定，选择令通货膨胀等于。因此，使用卢卡斯供给函数，产出在期为： （11）因此，在偏离后，产出低于自然率水平。在期政策制定者的目标函数是： （12）因此，在期偏离的成本是由方程（12）给定的福利，而不是等于将期的成本贴现到期： （13）化简得： （14）考虑在期，偏离后的两期预期通货膨胀等于。将预期的通货膨胀视为给定，政策制定者选择通货膨胀等于，产出在自然率水平上。在期，政策制定者的目标函数为： （15）因此，在期偏离的成本是而不是。将期偏离的成本折现到期： （16）在期，因为上期的真实的通货膨胀率等于上期的预期的通货膨胀率，预期的通货膨胀率返回到，因此在期没有进一步的偏离成本。因此，偏离的总成本为： （17）简化为： （18）由方程（18）可以得到： （19） （20）因此，是逆转的抛物线并在达到最大。在处偏离的成本为。由前面的分析，在处偏离的收益为。因此如果变量的值足够高，在处偏离的成本将超过收益，将会有零通货膨胀的均衡。特别的，需要下面的条件成立： （21）即： （22）下面决定在处的。由方程（18），得到： （23）可以推出： （24）即： （25）求解得到： （26）因此，在处偏离的成本等于0，大于偏离的收益等于0的情况（即），此时政策制定者选择不偏离，即为均衡。基本的观点是变量的值越大，导致偏离的成本超过偏离的收益的的范围越大，在这一范围内，政策制定者选择不偏离。（c）如果政策制定者将预期的通货膨胀率视为给定，他将选择通货膨胀率等于。因此，如果，政策制定者选择，公众的预期实现从而产出在自然率水平上。政策制定者没有动机选择不同的通货膨胀率，因而公众没有动机改变预期的通货膨胀率，因此对于任何的，将是一个均衡。10.10 考虑习题10.8中所分析的情形，但假设只存在一些有限数量的而非无限数量的时期，什么是唯一的均衡？（提示：从最后一时期进行逆向推理。）答：考虑上一期的情形，定义为，政策制定者关于的选择对于下一期的预期通货膨胀率没有影响，因为没有下一期。因此政策制定者在最后一期的问题是将预期的通货膨胀率视为给定，并选择来最大化期的目标函数。由问题10.8的分析可以知道，政策制定者的关于通货膨胀的选择是。因为公众知道政策制定者的行为，预期通货膨胀率等于，因此产出等于。下面考虑期的情况。重要的是政策制定者知道他的选择对下一期和最后一期没有影响。不管他在期选择的的水平如何，下一期的预期的通货膨胀率的水平为。因为政策制定者的问题对于将来没有影响，他将选择，将视为给定，以最大化期的目标函数。因此最优的选择是。公众知道政策制定者的选择，因此选择，在期产出的选择等于。逆向归纳，在每一期同样的事情都会发生。政策制定者知道本期他怎么做，预期的通货膨胀率等于。因此他选择来最大化一期的目标函数，结果导致产出等于自然率水平。因此，对于所有各期，唯一的均衡为和。10.11 借助声誉解决动态不一致性问题（库克曼、迈尔茨瑟，1986）。考虑在职时间为两个时期的一个政策制定者，其目标函数是政策制定者是由一个具有不同偏好的可能政策制定者的集团中随机选择出的。具体而言，是在那些其有均值与方差的可能政策制定者中是正态分布的。与对于一切可能的政策制定者是相同的。政策制定者不能完全地控制通货膨胀。相反，。在这里由政策制定者选择（把取做给定的），并且是正态分布的，其均值为0，方差为。、与是独立的。公众并不单独地观察与，只观察。同理，公众并不观察。最后，假设是的线性函数，即。（a）政策制定者选择的是什么？作为的一个函数，第二期目标函数的最终期望是什么？（b）把与取做给定的并且考虑对的影响，政策制定者所选择的的值是什么？（c）假设是在理性预期的条件下，是什么？（提示：利用第6.2节中所描述的信号精炼程序。）（d）直观性地解释：较之于第二个时期，政策制定者在第一个时期选择一个较低的值。答：（a）政策制定者选择和来最大化目标函数： （1）将式代入目标函数得到：（2）政策制定者选择的一阶条件是： （3）求解，注意对于政策制定者是确定的，得到： （4）将方程（4）代入政策制定者第二期目标函数的期望值中得到： （5）因为政策制定者的信息集不是随机的，方程（5）可以写为： （6）由于和，方程（6）简化为： （7）即： （8）（b）运用方程（2），政策制定者选择的一阶条件是： （9）因为在方程（9）右边，对于政策制定者而言是不确定的，求解得到： （10）（c）和是和的线性函数，这两个变量是正态随机变量，因此和也是正态随机变量。因此有： （11）方程（11）是很直观的。假设和有正的协方差，即当高于其均值时，倾向于高于其均值。如果观察到大于它的预期值，方程（11）右边的第二项是正的，即对于给定的，可以预期到高于无条件均值。下面求解、和。由于，可以得到： （12）假定公众知道政策制定者将根据方程（10）来选择。对于理性预期，的预期值必须等于方程（10）右边的预期值。另外，上一步用了。因为，所以可以得到： （13）上一步用了假设公众知道政策制定者将根据方程（4）来选择。对于理性预期，的预期值必须等于方程（4）右边的预期值。另外，上一步用了。现在寻找第一期的通货膨胀的方差： （14）因为和是独立的，得到： （15）最后，和的协方差为： （16）因为、和是独立的，因此： （17）将方程（12）、（13）、（15）、（17）代入方程（11）得： （18）可以解得： （19）给定在第一期观察到的通货膨胀，公众想在第二期形成关于通货膨胀的预期。为做到这一点，公众希望确定政策制定者对通货膨胀的偏好。问题是在第一期真实的通货膨胀依赖于的真实值，不过也依赖于随机的、观察不到的冲击。现在如果公众观察到大于他的期望值，他会知道这是因为政策制定者制定了比的平均值更高的通货膨胀。如果是这样，公众将从向上调整关于的估计值。不过，大于他的期望值也可能是因为变大。如果情况是这样，则对公众关于的估计值没有影响。方程（18）说明如果政策制定者对于通货膨胀的偏好的方差是，相对于随机冲击变得非常大，将接近于1。公众将大部分高于的平均值的部分归结为政策制定者偏好更高的，从而相应的提高的期望值。（d）政策制定者知道他关于的选择将影响在第二期公众关于通货膨胀的预期。当变高时，公众将其中一部分归结为政策制定者有更高的，从而提高。由方程（8），更高的将降低政策制定者第二期目标函数的期望值。因此政策制定者选择一个较低的，来建立一个好的名声，从而保持较低。在第二期，没有下一期，因此不必担忧本期的通货膨胀会影响将来预期的通货膨胀。10.12 在货币政策控制授权的条件下，对冲击做出反应的变通性与低通货平均膨胀之间的替代性（罗格夫，1985）。设产出由给出，并且社会福利函数是，在这里是一个均值为0、方差为的随机变量。是在被观察之前决定的。然而，在被获知后，政策制定者选择。假设政策是由那些其目标函数为的人所决定的。（a）给定、与，政策制定者所选择的是什么？（b）是什么？（c）真正的社会福利函数的期望值是什么？（d）可最大化期望社会福利的值是什么？请给出解释。答：（a）政策制定者选择通货膨胀来最大化他的目标函数：（卢卡斯供给函数）得到：一阶条件为： （1）因此，政策制定者关于的选择是： （2）（b）公众知道政策制定者将根据方程（2）来制定通货膨胀。对于理性预期，预期的通货膨胀率必须等于方程（2）的右边的期望值。 （3）（c）真实的社会福利函数是。对这个方程两边取关于公众的信息集的期望值，以使是随机的，得到： （4）上步用了。将政策制定者关于的选择，方程（2）和关于公众对通货膨胀的预期，方程（3）代入方程（4）。 （5）化简后可以得到： （6）因为，所以方程（6）可以转化为： （7）下面使用随机变量的关系式 （8） （9）可以得到： （10） （11）将方程（10）和（11）代入到方程（7），可以得到真实社会福利的期望值： （12）（d）为得到最大化的一阶条件，使用方程（12）求社会福利函数关于的导数： （13）求解得到： （14）由方程（2）可以知道，选择更保守政策的政策制定者，可以得到更好的通货膨胀的表现。不过，政策制定者无法对冲击作出很好的回应，因此存在关于保守率的最优水平来平衡这两股力量。最大化真实社会福利的期望值的值是的减函数。因为的平均值等于（因为的平均值等于），产出将等于充分就业时的产出水平。由方程（2）可以知道，对于给定的值，如果的平均值变高，通货膨胀将变高。因此抵消这一效应将是福利改进的，政策制定者保持较低的值来保持较低的通货膨胀，因此政策制定者应该更加保守。不过，最大化真实社会福利的期望值的值是的方差的增函数。冲击变化越大，中央银行应当越不保守。因为政策制定者在发生变化后才行动，他应该选择抵消与其期望值的偏离，从而增加社会福利。因此变化越大，政策制定者越关心冲击的效应，并且采取行动来抵消它。10.13 （a）在第10.4节所分析的声誉模型中，当政策制定者证明是类型1或类型2时，社会福利较高吗？（b