考研数学高数真题分类—多元函数微分学.doc

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4分】二元函数在点处可微的一个充分条件是（）.6【2008-3 4分】已知，则，都存在不存在，存在不存在，不存在，都不存在7【2012-1 4分】如果在处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限存在，则在处可微（B）若极限存在，则在处可微（C）若在处可微，则极限存在（D）若在处可微，则极限存在8【2012-2 4分】设函数可微，且对任意都有，则使得成立的一个充分条件是(A) (B)(C)(D)9.【2012-3 4分】连续函数满足，则_。【小结】：1、二元函数在处连续当且仅当函数值等于极限值，这里的极限指二重极限，也即.2、二元函数在处的偏导数就是一元函数在处的导数，它存在当且仅当极限存在.注意，与连续性不同的是：这里的极限过程是一元函数的极限.3、判断函数在某一点是否可微的方法：首先计算函数在该点的两个偏导数.如果二者至少有一个不存在，则不可微.如果两个偏导数都存在，则计算极限，如果该极限不存在或不等于0则不可微，如果该极限等于则可微.4、多元函数各种概念之间的关系与一元函数有所区别，具体来说：在多元函数中，偏导数存在不一定可导，偏导数存在也不一定连续，但可微则一定是连续并且存在偏导数.常考题型二：偏导数的计算1链式法则的运用10【2000-3 3分】设，其中均可微，则11【2004-3 4分】设函数由关系式确定，其中函数可微，且，则.12【2005-3 4分】设二元函数，则.13【2014-2 4分】设是由方程确定的函数，则14【2006-3 4分】设函数可微,且,则在点处的全微分.15【2009-3 4分】设，则16【1998-3 5分】设，求与.17【1994-1 3分】设，则在点处的值为18【1998-1 3分】设具有二阶导数，则19【2007-1 4分】设是二元可微函数，则 _.20【2009-1 4分】设函数具有二阶连续偏导数，则.21【2011-1 4分】设函数，则_.22【2007-3 4分】设是二元可微函数，则 _23【2008-2 4分】设，则24【2012-2 4分】设,其中函数可微，则_。25【1992-1 5分】设，其中具有二阶连续偏导数，求26【2000-1 5分】设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求.27.【2001-1 6分】设函数在点处可微，且，求28【2004-2 10分】设,其中具有连续二阶偏导数,求.29【2009-2 10分】设，其中具有2阶连续偏导数，求与30【1997-3 5分】设有连续偏导数，和分别由方程和所确定，求.31【2013-2 4分】设，其中函数可微，则（）（A）（B）（C）（D）32【2005-1 4分】设函数, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（）.33【2007-3 4分】设是二元可微函数，则 _ .34.【2011-3 4分】设函数，则.35【1996-3 6分】设函数，方程，其中是的函数，可微，连续，且.求.36【2001-3 5分】设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定：和，求37【2003-3 8分】设具有二阶连续偏导数，且满足，又,求38【2005-3 8分】设具有二阶连续导数，且，求【小结】：多元函数的复合函数求导法则比一元函数复杂，根据复合函数中间变量的不同形式我们有如下求导公式：如果，则；如果，则，如果，则，.2隐函数求导39【2005-1 4分】设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数可以确定两个具有连续偏导数的隐函数可以确定两个具有连续偏导数的隐函数可以确定两个具有连续偏导数的隐函数40【2002-3 8分】设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求41【2004-2 3分】设函数由方程确定, 则_.42【1995-1 5分】设，其中都具有一阶连续偏导数，且，求.43【1999-1 5分】设是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求.44【2008-3 10分】设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时.（1）求（2）记，求.45【2010-1,24分】设函数由方程确定, 其中为可微函数, 且，则（）识_ . _46【2013-3 4分】设函数由方程确定，则_。47.【2015-2,3 4分】若函数由方程确定，则48.【2015-1 4分】若函数由方程确定，则【小结】：1.隐函数求导实际上是链式法则的应用，处理方式和一元函数中的方法一致，都是对等式两边同时求导，再解方程.2、隐函数存在定理是隐函数求导的理论基础，考试对隐函数求导的考查很多，但对该定理的要求不高，只需记住内容即可.该定理内容如下：设函数在点附近具有连续偏导数，且有，则方程在点附近能唯一确定一个函数，满足及，.3综合运用49【2006-1 12分】设函数内具有二阶导数，且满足等式（I）验证（II）若求函数50【1996-1 6分】设变换可把方程化简为，求常数.51.【1997-1 7分】设函数具有二阶连续导数,而满足方程,求.52【2007-2 10分】已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求.53【2010-2 11分】设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定的值，使等式在变换下化简为.54.【2011-1 9分】设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求55.【2014-2 10分】已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积常考题型三：方向导数与梯度*（数一）56【2008-1 4分】函数在点处的梯度等于（）57【1992-1 3分】函数在点处的梯度58【2012-1 4分】_。59【1996-1 3分】函数在点处沿点指向的方向导数为_.60【2005-1 4分】设函数，单位向量，则=_61.【2001-1 3分】设则常考题型四：极值1无条件极值62【2003-1 4分】已知函数在点的某个邻域内连续，且，则（）点不是的极值点. 点是的极大值点. 点是的极小值点. 根据所给条件无法判断点是否为的极值点. 63.【2014-2 4分】设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（）（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上64【2009-1 4分】设函数的全微分为，则点（）不是的连续点不是的极值点. 是的极大值点是的极小值点65【2011-1 4分】设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( )(A) ， (B)，(C)， (D)，66.【2011-2 4分】设函数均有二阶连续导数，满足且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (B) (C) (D) 67【2009-1,3 9分】求二元函数的极值.68【2004-1 12分】设是由确定的函数，求的极值点和极值.69.【2011-3 10分】已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，求.70【2012-1,2 10分】求的极值。71【2013-1 10分】求函数的极值.72.【2015-2 10分】已知函数满足，求的极值【小结】：计算函数无条件极值的工具主要是如下两个定理：1）必要条件：设函数在点具有偏导数，且在该点有极值，则有.2）充分条件：设函数在点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设.令（回忆定理）若，则函数在点具有极值.当时取得极小值；当时取得极大值.若，则函数在点没有极值.若，则函数在点可能有极值，也可能没有极值.2条件极值73【2006-1 4分】设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（）若，则若，则若，则若，则74【2008-1 11分】已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点75【2007-1 11分】求函数在区域上的最大值和最小值.76【2005-2 10分】已知函数的全微分，并且，求在椭圆域上的最大值和最小值.77【2008-2 11分】求函数在约束条件和下的最大值与最小值.78.【2008-1,2 11分】已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.79【19993 6分】设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入量，为产出量，若生产函数为，其中、为正常数，且.假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量为时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？80.【2000-3 6分】假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是其中和分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，和分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.81【2010-3 10分】求函数在约束条件下的最大值和最小值 . 82【2002-1 7分】设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为（1）设为区域上的一个点，问在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界曲线上找出使（1）中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置83【2012-3 10分】某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为（件）和（件），且固定两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(万元)2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。84.【2013-2 11分】求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。【小结】：拉格朗日乘数法是我们处理条件极值问题的主要方法，现对其应用过程总结如下：要求函数在约束条件下的极值点.方法：1）作拉格朗日函数2）解方程（这三个方程其实是找三元函数的驻点）3）根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值.常考题型五：空间曲线的切线与法平面*（数一）85【1992-1 3分】在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（）只有1条只有2条至少有3条不存在86【2001-1 3分】设函数在点附近有定义，且则（）曲面在点的法向量为曲线在点的切向量为曲线在点的切向量为【小结】：考试对曲线的切线与法平面的考查仅限于计算，考生只需记住相应的计算公式即可.相关公式可以这样总结：曲线在曲线上