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小结思考题作业 弧长的概念 直角坐标情形 参数方程情形 7 4平面曲线的弧长 极坐标情形 2 设A B是曲线 在 弧上插入分点 依次用弦将 记每条弦 的长度为 折线长度的极限 如果当分点无限增加 弧长 长度 弧上的两个端点 光滑曲线弧是可求长 相邻两点联结起来 得到一条内接折线 一 平面曲线弧长的概念 3 弧长元素 弧长 小切线段的长为 弧段的长 设曲线弧为y f x 其中f x 在 a b 上有一阶连续导数 取积分变量为x 任取小区间 在 a b 上 二 直角坐标情形 现在计算这曲线弧的长度 弧微分 以对应小切线段的长代替小 4 解 所求弧长为 例 悬链线方程 计算介于 之间一段弧长度 5 解 例 计算曲线 的弧长 6 曲线弧为 弧长 其中 在 a b 上具有连续导数 三 参数方程情形 现在计算这曲线弧的长度 取参数t为积分变量 其变化区间为 对应于 上任一小区间 的小弧段的 长度的近似值 即弧长元素为 7 解 星形线的参数方程为 对称性 第一象限部分的弧长 例 求星形线 的全长 8 证 设正弦线的弧长等于s1 设椭圆的周长为s2 证明正弦线 例 的弧长 等于椭圆 的周长 对称性 9 曲线弧为 弧长 具有连续导数 四 极坐标情形 现在计算这曲线弧的长度 由直角坐标与极坐标的关系 弧长元素为 为参数的参数方程 10 解 求极坐标系下曲线 例 的长 11 解 求阿基米德螺线 例 12 平面曲线弧长的概念 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 求弧长的公式 四 小结 13 思考题 解答 仅仅有曲线连续还不够 不一定 必须保证曲线
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