（浙江专用）2020版高考数学专题四大题考法课一圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课时跟踪检测.docx

圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1(2019全国卷)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解：(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆(2)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x .设u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，其方程为y(xu)由消去y，得(2k2)x22uk2xk2u280.(*)设G(xG，yG)，则u和xG是方程(*)的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.2(2017浙江高考)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解：(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以1x0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且|PQ|8，线段PQ的中点到y轴的距离为3.(1)求抛物线C的方程；(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C上相异的两点，满足x1x22，且AB的中垂线交x轴于点M，求AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程解：(1)设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则PQ的中点坐标为.由题意知3，xPxQ6，又|PQ|xPxQp8，p2，故抛物线C的方程为y24x.(2)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为ykxb(k0)，由消去y并整理，得k2x2(2kb4)xb20，x1x22，得bk，直线AB的方程为yk(x1).AB中点的横坐标为1，AB中点的坐标为.可知AB的中垂线的方程为yx，M点的坐标为(3,0)直线AB的方程为k2xky2k20，M到直线AB的距离d.由得y2ky2k20，y1y2，y1y2，|AB| |y1y2|.设AMB的面积为S，则S4 .设 t，则0t0)的焦点为F，P为抛物线上的点(第一象限)，直线l与抛物线相切于点P.(1)过P作PM垂直于抛物线的准线于点M，连接PF，求证：直线l平分MPF；(2)若p1，过点P且与l垂直的直线交抛物线于另一点Q，分别交x轴、y轴于A，B两点，求的取值范围解：(1)证明：设P(x0，y0)，则y2px0，因为点P不是抛物线的顶点，所以直线l的斜率存在，设为k，则k，所以切线l：yy0(xx0)，即y0yp(xx0)设切线l与x轴交于点C，则C(x0,0)，所以|FC|x0，由抛物线的定义得|PF|PM|x0，所以|PF|FC|，所以PCFFPCMPC，因而直线l平分MPF.(2)由(1)及已知得，过点P且与l垂直的直线的斜率为y0，因而其方程为yy0y0(xx0)，则A(x01,0)，B(0，x0y0y