概率论课后作业题目选讲(绿色版).ppt

概率论习题讲解 8 1设 x h 服从在A上的均匀分布 其中A为x轴 y轴及直线x y 1 0所围成的区域 求 1 Ex 2 E 3x 2h 3 E xh 4 s2 x s x x y x y 1 0 1 1 A 8 1设 x h 服从在A上的均匀分布 其中A为x轴 y轴及直线x y 1 0所围成的区域 求 1 Ex 2 E 3x 2h 3 E xh 4 s2 x s x 解 x h 的分布密度为 x y x y 1 0 1 1 A 由对称性得 因此 7 12设某单位有200台电话机 每台电话机大约有5 的时间要使用外线通话 若每台电话机是否使用外线是独立的 问该单位总机至少需要安装多少条外线 才能以90 以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用 7 12设某单位有200台电话机 每台电话机大约有5 的时间要使用外线通话 若每台电话机是否使用外线是独立的 问该单位总机至少需要安装多少条外线 才能以90 以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用 解 设x为每时刻用外线通话的电话机数 则x B 200 0 05 Ex 10 s2 x 9 5 近似有x N 10 9 5 假设有n根外线可满足题意的要求 即P x n 0 9 但 即 反查标准正态分布函数表得 解得 6 9如果x h的分布密度用下列表格给出 那么a b取什么值时 x h才相互独立 6 9如果x h的分布密度用下列表格给出 那么a b取什么值时 x h才相互独立 解 将表格重绘成如下形式 因为x与h相互独立 就导致上面两行成比例 上面三列也成比例 因为 1 3 是 1 6 的二倍 所以a和b就必须是1 9和1 18的二倍 因此 5 17设电子管的寿命具有密度函数 单位 小时 问在150小时内 1 三只管子中没有一只损坏的概率是多少 2 三只管子全损坏的概率是多少 5 17设电子管的寿命具有密度函数 单位 小时 问在150小时内 1 三只管子中没有一只损坏的概率是多少 2 三只管子全损坏的概率是多少 解 假设一只管子寿命小于150小时的概率为p 则 设x是三只管子中寿命小于150的数目 则x B 3 1 3 因此有 没有一只坏的概率为 三只都坏的概率为 4 8设一个口袋中有六个球 令A1 A2 A3依次表示这个球为四红 二白 三红 三白 两红 四白这三种情形 设验前概率为 从这口袋中任取一个球 得到了白球 求相应的验后概率 4 8设一个口袋中有六个球 令A1 A2 A3依次表示这个球为四红 二白 三红 三白 两红 四白这三种情形 设验前概率为 从这口袋中任取一个球 得到了白球 求相应的验后概率 解 设取得白球为事件B 则依题意有 根据全概率公式有 相应的后验概率为 同理算得 3 7在线段AD上任取两点B C 在B C处折断而得三个线段 求 这三个线段能构成三角形 的概率 3 7在线段AD上任取两点B C 在B C处折断而得三个线段 求 这三个线段能构成三角形 的概率 解 设A点为原点 线段的长度为a 任取的两点B C距A点的距离为x h 因此x h在一个方形区域G里服从均匀分布 如下图所示 先考虑hx的情况可由对称性获得 三条线段能构成三角形 要求每一条线段的长度小于另两条线段的长度 而三条线段的长度分别为h a x x h 因此得到三个不等式h a x x h h x h a x a x x h h 整理这三个不等式 得 h a x x h h x h a x a x x h h 满足不等式的区域如下图所示 由对称性 再加进h x的情况 则可构成三角形的区域如下图所示 由图中可看出所求概率为1 4 8 5证明 当k Ex时 E x k 2的值最小 最小值为s2 x 8 5证明 当k Ex时 E x k 2的值最小 最小值为s2 x 证 将E x k 2视为k的函数 即令f k E x k 2 则f k E x2 2kx k2 E x2 2kE x k2 将f k 对k求导数并令其为0 得 解得k E x 再将f k 对k求二阶导得 可知E x 在f k 处取最小值 证毕 8 12设x h相互独立 分布密度分别为 求E x h 8 12设x h相互独立 分布密度分别为 求E x h 解 因x h相互独立 E x h E x E h 而 因此 6 10设随机变量 x h 的分布密度函数为 1 求参数c 2 证明x与h相互独立 3 8某城市有50 住户订日报 有65 住户订晚报 有85 住户至少订这两种报纸中的一种 求同时订这两种报纸的住户的百分比 3 8某城市有50 住户订日报 有65 住户订晚报 有85 住户至少订这两种报纸中的一种