大一微积分复习资料

1 大学的考试比较简单 主要以书本为主 下面的复习指导可作提引作用 10 11 学年第一学期学年第一学期 微积分微积分 期末复习指导期末复习指导 第一章第一章 函数函数 一 本章重点一 本章重点 复合函数及分解 初等函数的概念 二 复习要求二 复习要求 1 能熟练地求函数定义域 会求函数的值域 2 理解函数的简单性质 知道它们的几何特点 3 牢记常函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数等六类基本初等函数的表 达式 知道它们的定义域 值域 性质及图形特 点 其中 对于对数函数不仅要熟记它的运lnyx 算性质 还能熟练应用它与指数函数 互为反函数的关系 能熟练将幂指函数 x ye 作如下代数运算 lnvuv ue 对于常用的四个反三角函数 不仅要熟 习它们的定义域 值域及简单性质 还要熟记 它们在特殊点的函数值 4 掌握复合函数 初等函数的概念 能熟练地 分解复合函数为简单函数的组合 5 知道分段函数 隐函数的概念 三 例题选解三 例题选解 例 1 试分析下列函数为哪几个简单函数 基本初 等函或基本初等函数的线性函数 复合而成的 2 sin x ye 2 1 arctan 1 y x 分析 分解一个复合函数的复合过程应由外层向 里层进行 每一步的中间变量都必须是基本初等 函数或其线性函数 即简单函数 解 2 sin u yeuvvx 2 1 arctan 1 yuuvx v 例 2 的定义域 值域各是什么 cotyarcx cot1arc 答 是cotyarcx cot 0 yxx 的反函数 根据反函数的定义域是原来函 数的值域 反函数的值域是原来函数的定 义域 可知的定义域是cotyarcx 值域为 f D 0 f Z cot1 4 arc 四 练习题及参考答案四 练习题及参考答案 1 arctanf xx 则 f x 定义域为 值域为 f 1 0 f 2 arcsinf xx 则 f x 定义域为 值域为 f 1 3 2 f 3 分解下列函数为简单函数的复合 3x ye 3 ln 1 yx 答案 答案 1 22 0 4 2 2 1 1 2223 3 3 u yeux 3 ln 1 yuux 自我复习 习题一 A 55 习题一 B 11 第二章第二章 极限与连续极限与连续 一 本章重点一 本章重点 极限的计算 函数的连续及间断的判定 初等函 数的连续性 二 复习要求二 复习要求 1 了解变量极限的概念 掌握函数 f x 在 x0点有 极限的充要条件是 函数在 x0点的左右极限都存 在且相等 2 理解无穷小量与无穷大量的概念和关系 掌握 无穷小量的运算性质 特别是无穷小量乘以有界 变量仍为无穷小 例如 0 1sin limsin0 lim0 xx x x xx 3 会比较无穷小的阶 在求无穷小之比的极限时 利用等价无穷小代换可使运算简化 常用的等价 无穷小代换有 当 0 时 有 x sin x x tan x x 1 x e x ln 1 x x 1 1 n x x n 1cos x 2 2 x 参见教材 P79 4 掌握两个重要极限 0 sin lim1 x x x 1 0 1 lim 1 lim 1 x x xx ex x 记住它们的形式 特点 自变量的变化趋势及扩 展形式 变形式 并能熟练应用其求极限 特别是 应用重要极限 的如下扩展形式求型未定式1 极限 1 0 lim 1 lim 1 xk x xx k ekx x 1 0 lim 1 lim 1 xk x xx k ekx x 5 掌握函数连续的概念 知道结论 初等函数在 其定义区间内都是连续的 分段函数在定义区间 内的不连续点只可能是分段点 函数 f x 在分段点 x0处连续的充要条是 函数在 x0点极限存在且等 于 即 0 f x 0 0 lim xx f xf x 当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同 0 x 时 函数 f x 在分段点 x0处连续的充要条件则是 00 0 lim lim xxxx f xf xf x 6 掌握函数间断点及类型的判定 函数的不连续点称为间断点 函数在 f x 点间断 必至少有下列三种情况之一发生 0 x 在点无定义 f x 0 x 不存在 0 lim xx f x 存在 但 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x 若为的间断点 当及 0 x f x lim 0 xf xx 都存在时 称为的第一类间 lim 0 xf xx 0 x f x 3 断点 特别 时 即 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 存在时 称为的可去间断点 0 lim xx f x 0 x f x 时称为的跳 lim lim 00 xfxf xxxx 0 x f x 跃间断点 不是第一类间断点的都称为第二类间断点 7 了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数 的性质 特别要知道闭区间上的连续函数必有最大 值与最小值 8 能够熟练地利用极限的四则运算性质 无穷小 量 无穷大量的关系与性质 等价无穷小代换 教材 P69 公式 2 6 两个重要极限 初等函数 的连续性及洛必达法则 第四章 求函数的极限 三三 例题选解例题选解 例 1 单项选择题 下列极限中正确的是 A B sin lim1 x x x 1 sin lim1 1 x x x C D 2 0 sin lim1 x x x 0 tan lim1 x x x 当时 是的0 x 2 121x 2 sin x A 低阶无穷小 B 高阶无穷小 C 同阶无穷小 但不是等价无穷小 D 等价无穷小 分析与解 1 A 与 C 显然都不对 对于 D 记 tan x f x x 则 tan 0 tan 0 x x x f x x x x 00 tan lim lim1 xx x f x x 00 tan lim lim1 xx x f x x 0 lim x f x 即 D 也不对 剩下的 B 就是正确答案 2 由于 2 22 222 000 2 121 2 limlimlim1 sin xxx x xx xxx 代换 应选择 D 例 3 求极限 0 lim x 2 ln 1 1cos x x lim x 2 5 x x x 解 此极限为型 0 0 当时 有0 x 2 ln 1 x 2 x 1cos x 2 2 x 0 lim x 2 ln 1 1cos x x 2 2 0 lim2 2 x x x 此极限为型 可用重要极限 1 lim x 2 5 x x x x x x 5 3 1 lim x x x x x 5 3 3 5 5 3 1 lim x x x x x 5 3 3 5 5 3 1 lim 3 e 3 5 3 lim 5 3 lim x x x x xx 例 2 判断函数 的间断点 2 2 9 6 x y xx 并判断其类型 4 解 由于 2 2 9 3 3 6 3 2 xxx y xxxx 是函数 y 无定义的点 因而是3 2xx 函数 y 的间断点 33 3 3 36 limlim 3 2 25 xx xxx xxx 为函数 y 的可去间断点 3x 22 3 3 3 limlim 3 2 2 xx xxx xxx 为函数 y 的第二类 无穷型 间断 2x 例 3 函数 2 1cos 2 0 0 x f xx x x k 在点处连续 求常数 k 0 x 分析与解 由于分段函数在分段点的 f x0 x 左右两边表达式相同 因此在连续的 f x0 x 充要条件是 0 lim 0 x f xfk 2 22 000 1cos 82 lim limlim xxx xx f x xx 代代换换 1 8 1 8 k 四四 练习题及参考答案练习题及参考答案 1 填空 当时 与0 x 1 sin2 x ex 相比 是 11 ln 12 xx 无穷小 21 lim 23 x x x x 22 0 cos 3 1 tan 3 lim 1 ln 15 x x x x ex 2 单项选择题 设 下面说法正确的是 2 3 2 56 xx y xx A 点都是可去间断点 3 2xx B 点是跳跃间断点 点是无穷间断2x 3x 点 C 点是可去间断点 点是无穷间断2x 3x 点 D 点是可去间断点 点是跳跃间断2x 3x 点 下面正确的是 A B 0 tan lim1 x x x 0 1 limsin0 x x x C 不存在 D 0 tan lim x x x 0 tan lim1 x x x 答案 1 同阶而不等价的 2 e 3 20 2 C B 自我复习 习题二 A 11 4 24 4 27 4 28 30 37 习题二 B 14 第三章第三章 导数与微分导数与微分 一一 本章重点本章重点 导数的概念 导数及微分的计算 二二 复习要求复习要求 1 掌握函数在处可导的定义 并能熟练 x 0 x 应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数 导数是一个逐点概念 在处的导数的 x 0 x 5 定义式常用的有如下三种形式 00 0 0 lim x f xxf x fx x 00 0 lim h f xhf x h 0 0 0 lim xx f xf x xx 2 知道导数的几何意义 会求在处的切线 x 0 x 方程 3 熟记基本求导公式及求导的运算法则 熟练掌 握下列求导方法 并能熟练应用它们求函数的导数 运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导 复合函数求导法 隐函数求导法 取 对数求导法 4 理解高阶导数的概念 能熟练求函数的二阶导 数 5 理解微分的概念 能应用微分基本公式及运算 法则求函数的微分 6 掌握函数可微 可导及连续的关系 三三 例题选解例题选解 例 1 求下列函数的导数 求 2 1 yfx yy 求 y 3x x y 设 求y tanx edy 求 3 ln 1 yx y 解 本题为抽象函数求导 由复合函数求导 法 得 22 1 1 yfxx 2 1 2fxx 2 2 1 x fx 22 2 1 2 1 2yfxxfxx 222 2 1 4 1 fxx fx 本题为幂指函数求导 必须用取对数求导法 原方程两边取对数 ln3lnyxx 上式两边对求导 视为中间变量 xy y y 31 ln3 2 3 xx xx 31 ln1 2 yyx x 3 31 ln1 2 x xx x 1 3 2 ln 3 1 2 xx x 注 本题除此方法外 也可以 xx ey ln3 1 3ln3 32 1 ln3 x xx x ey xx 3 tan tan x yex tan2 sec x ex tan2 sec x dyexdx 2 3 3 1 x y x 322 32 6 1 33 1 xxxx y x 3 32 3 2 1 xx x 例 2 设在处可导 且 x 1x 1 2 求 1 43 lim 1 x x x 分析 将在处的导数的定义式理解为 x 1x 结构式 6 1 0 1 1 lim 其中为或的函数 且当 1 xxx 时 即可 0 x0 解 1 1 43 lim 1 1 lim 3 3 1 3 1 6 x x x x x x f 例 3 求曲线 在点 333 3xyaxya 处的切线方程 0 a 解 显然 点在曲线上 0 a 现求切线的斜率 即 0 ya 曲线方程两边对x求导 22 33330 xyyayaxy 解得 2 2 ayx y yax 1 0 ya 切线方程为 yax 即 yxa 例 4 设 2 1 0 00 x e f xx x x 试讨论在处的连续性及可导性 f x0 x 分析与解 由已知 0 0f 1 讨论在处的连续性 f x0 x 2 00 2 0 1 lim lim lim0 0 x xx x e f x x x f x 代代换换 在处连续 f x0 x 2 讨论在处的可导性 f x0 x 分段函数在分段点的导数必须用定义求 0 0 lim 0 x f xf f x 2 0 1 0 lim 0 x x e x x 2 2 22 00 1 limlim1 x xx ex xx 代代换换 即存在 1 f 四四 练习题及参考答案练习题及参考答案 1 单项选择题 设 2 2 ln 1 0 10 x x x f x x 下面说法正确的是 A 在不连续 f x0 x B 在连续 但不可导 f x0 x C 在可导 且 f x0 x 0 1 f D 在可导 且 f x0 x 0 0 f 2 填空题 在处可导 且 则 f x 0 xx 0 1fx 1 00 0 lim h f xhf xh h 3 求函数的导数或微分 求 1 x yx y 7 ln 1 1 yfxx 求 yy 求 2 ln1yx dy 4 设确定是的函数 求 3 cos yxxy yx 并求出函数在点的切线方程 dy dx 0 1 5 证明 1 若是偶函数且可导 那么 xf 是奇函数 2 若是奇函数且可导 x f xf 那么是偶函数 x f 答案 1 D 2 2 3 1 2 1 ln x yxx 2 1 ln 1 1 yfx x 2 2 1 ln 1 1 1 ln 1 1 yfx x fx x 2 1 x dydx x 4 2 1sin 3sin dyyxy dxyxxy 切线方程 33yx 自我复习 习题三 A 13 21 24 25 26 27 29 47 54 习题三 B 1 3 11 第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 一一 本章重点本章重点 求未定式极限的洛必达法则 应用导数判定 函数的单调性 求函数的极值和最值 应用 导数确定曲线的凹向与拐点 对经济问题作 边际分析 二二 复习要求复习要求 1 知道罗尔定理 拉格朗日中值定理的条件和结 论 会求定理中的 掌握拉格朗日定理推论的 意义 2 熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 注意 洛必达法则只能直接用于求 型或 0 0 型未定式的极限 对于其他类型的未定式极 限 必须将其转化为 型或 型未定式 0 0 才能使用法则 洛必达法则可以连续使用 当再次使用法 则时 一定要检验法则的条件是否成立 当条件不 满足时必须停止使用 改用其他求极限的方法计算 在求未定式极限时 将洛必达法则和等 价无穷小代换等其它方法结合使用 可使运算更 简便 3 掌握用一阶导数判定函数单调性的方法 并能利 用函数的单调性证明不等式 4 掌握函数极值的概念及求函数极值方法 5 掌握最值的概念及其与极值的关系 能熟练求闭 区间上连续函数的最大 最小值 会求经济应用 问题的最值 如求最大总收入 最大总利润等 6 掌握函数的凹向 拐点的概念及求曲线凹向 拐 点的方法 三三 例题选解例题选解 例 1 求下列极限 1 0 sin21 lim ln 1 x x exx xx 2 2sin 0 lim x x x 3 0 11 lim ln 1 x xx 解 1 0 sin210 lim ln 1 0 x x exx xx 8 2 0 sin21 lim x x exx x 代代换换 0 cos20 lim 20 x x ex x 洛洛 0 sin lim 2 x x ex 洛洛 不不是是未未定定式式 1 2 2 原式为幂指型不定式 型 利用代数变 0 0 换 得 lnvuv ue 0 2sin2silnn 2si 00 lilnnm limlim x xx x x x x x e xe 其中 0 lim 2sinln 0 x xx 代换 xx x ln2lim 0 0 2ln lim 1x x x 0 2 2 lim 1x x x 洛洛 原式 0 lim 2 0 x x 0 1e 3 0 11 lim ln 1 x xx 型 0 ln 1 ln 1 lim x xx xx 0 0 通分化为型 代换 0 ln 1 lim x xx x x 洛必达 0 1 1 1 lim 2 x x x 0 1 lim 2 1 2 x x xx 例 2 求函数的单调区间和极值 凹凸 2 1 x y x 区间和拐点 解 函数的定义域为 2 1 x y x 22 2222 1 21 1 1 xx xx y xx 2 222 2 4 2 1 2 1 2 1 1 xxxxx y x 2 23 2 3 1 x x x 令 得驻点 22 1 1 0 1 xx y x 1x 无不可导点 1x 两驻点分定义域为三个子区间 列表讨论如下 x 1 1 1 1 1 1 y 0 0 y 极小 极大 令 23 2 3 3 0 1 x xx y x 得 无不存在的点 曲线的0 3xx y 凹向及拐点列表讨论如下 x 3 3 3 3 0 0 0 3 3 3 y 0 0 0 y 拐点 拐点 拐点 由上面的讨论看出 9 函数的单减区间为 2 1 x y x 1 1 单增区间为 极小值是 1 1 1 1 2 y 极大值是 1 1 2 y 曲线的凸区间是 2 1 x y x 3 0 3 凹区间是 3 0 3 曲线的拐点有三个 2 1 x y x 3 3 4 0 0 3 3 4 例 3 证明不等式 2 1 1 ln 1 0 2 xxxxx 分析与证 证明不等式的方法很多 利用函数的 单调性或最值证明不等式是常用的方法之一 这 里用单调性来证明 即令 2 1 1 ln 1 2 f xxxxx 则问题转化为证 0 0 0 f xfx 即证在时 单减 0 x f x 1 ln 1 1 1 x fxxx x ln 1 xx 1 10 11 x fx xx 时 单减 有0 x fx 0 0fxf 也单减 有 证毕 f x 0 0f xf 例 4 证明 对任意 有1x 2 1 arctan1arcsin 2 x x 分析 本题为恒等式的证明 我们设 2 1 arctan1arcsinF xx x 由拉格朗日定理的推论 若能证明 则 再确定 0Fx F xc 即可 2 c 证 当时 1x 2 22 2 1 1 1 1 1 1 1 x Fxx x x 2 2 2 2 1 12 1 11 21 1 x x x x x x 22 11 0 11xxxx F xc 2 1arcsin0arctan 1 F 证毕 2 c 例 5 求出函数在区间 543 551yxxx 上的最大 最小值 2 1 解 显然函数在闭区间 543