2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十二正弦定理新人教A版必修2.docx

课时素养评价 十二正 弦 定 理(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019合肥高一检测)ABC内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若A=，a=3，b=2，则sin B=()A.13B.32C.12D.33【解析】选D.因为A=，a=3，b=2，所以根据正弦定理可得sin B=bsinAa=2脳323=33.2.在ABC中，已知BC=5，sin C=2sin A，则AB=()A.52B.2C.5D.25【解析】选D.由正弦定理，得AB=sinCsinABC=2BC=25.3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若tan Atan B=ab，则ABC的形状一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选A.因为tan Atan B=ab，所以btan A=atan B，所以sinBsinAcosA=sinAsinBcosB，因为0A，0Ba知BA.所以B=60或120.(1)当B=60时，C=180-A-B=180-30-60=90.在RtABC中，C=90，a=23，b=6，c=43，所以ac=2343=24.(2)当B=120时，C=180-A-B=180-30-120=30，所以A=C，则有a=c=23.所以ac=2323=12.8.(14分)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，3b)与n=(cos A，sin B)平行.(1)求A.(2)若a=7，b=2，求sin C.【解析】(1)因为mn，所以asin B-3bcos A=0.由正弦定理，得sin Asin B-3sin Bcos A=0，又因为sin B0，从而tan A=3.由于0Ab，知AB，所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=32114.(15分钟30分)1.(4分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=3a，B=30，那么角C等于()A.120B.105C.90D.75【解析】选A.因为c=3a，所以sin C=3sin A=3sin(180-30-C)=3sin(30+C)=332sinC+12cosC，即sin C=-3cos C.所以tan C=-3.又0C180，所以C=120.2.(4分)(2019通化高一检测)在ABC中，已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为()A.1B.2C.2D.3【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，根据正弦定理得a2+b2-ab=c2，由余弦定理得2abcos C=ab，所以cos C=12，所以sin C=1-122=32，所以S=12absin C=12432=3.3.(4分)ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acos B-bcos A=c，则ABC的形状为_.【解析】根据正弦定理，得a=2Rsin A，b=2Rsin B，C=2Rsin C(其中R是ABC外接圆的半径)，代入acos B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B)，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A，所以2sin Bcos A=0，又因为sin B0，所以cos A=0，又A(0，)，所以A=，所以该三角形为直角三角形.答案：直角三角形【加练固】在ABC中，若3b=23asin B，cos A=cos C，则ABC的形状为_.【解析】由正弦定理知b=2Rsin B，a=2Rsin A，则3b=23asin B可化为：3sin B=23sin Asin B.因为0B180，所以sin B0，所以sin A=32，所以A=60或120，又cos A=cos C，所以A=C，所以A=60，所以ABC为等边三角形.答案：等边三角形4.(4分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为_.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=-A，得1-2cos A=0，所以cos A=12，sin A=32.再由正弦定理，得sin B=bsinAa=22.由ba知BA，所以B不是最大角，B，从而cos B=1-sin2B=22.由上述结果知sin C=sin(A+B)=2232+12=6+24.设边BC上的高为h，则有h=bsin C=3+12.答案：3+125.(14分)在ABC中，求证：(1)a2-b2c2=sinA-BsinC.(2)=sinBsinA.【证明】(1)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos A，于是a2-b2c2=c2-2bccosAc2=1-bc2cos A=1-sinBsinC2cos A=sinC-2cosAsinBsinC=sinA+B-2cosAsinBsinC=sinA-BsinC.(2)方法一：=ba2a2-a2+c2-b22b2-b2+c2-a2=ba=sinBsinA.方法二：=sinA-sinCcosBsinB-sinCcosA=sinB+C-sinCcosBsinA+C-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA.【加练固】在ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，确定ABC的形状.【解析】由正弦定理得sinCsinB=cb，由2cos Asin B=sin C，有cos A=sinC2sinB=c2b.又由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc，所以c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2，所以a2=b2，所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2，即b2=c2.所以b=c，所以a=b=c.所以ABC为等边三角形.1.在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则ab的取值范围是_.【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C90，即所以30B45.由正弦定理知：ab=sinAsinB=sin2BsinB=2cos B(2，3)，故ab的取值范围是(2，3).答案：(2，3)2.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，cosBcosA+ba=2ca.(1)求角A的大小.(2)若a=2，ABC的面积为3，求边b，c.【解析】(1)由cosBcosA+ba=2ca及正弦定理得cosBcosA+sinBsinA=2sinCsinA，整理得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A，即 sin(A+B)=2sin Ccos A.因为sin(A