高中数学基础知识汇总[详细版]

学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 1 高中数学基础知识汇高中数学基础知识汇 总总 详细详细版版 更多资料 请关注微信订阅号 呆哥带你玩转数学 也可以通过扫描二维码进行关注 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 2 高中数学知识点汇总高中数学知识点汇总 目录目录 必修 1 3 第一章 集合 3 第二章 函数 5 第三章 基本初等函数 8 必修二 9 第一章 立体几何初步 9 第二章 平面解析几何初步 19 必修三 21 必修四 21 第一章 基本初等函数 II 21 第二章 平面向量 24 必修五 26 第一章 解三角形 26 第二章 数列 28 第三章 不等式 29 选修 2 1 30 第一章 常用逻辑用语 30 第二章 圆锥曲线与方程 30 第三章 空间向量与立体几何 33 选修 2 2 36 第一章 导数及其应用 36 第二章 推理与证明 38 第三章 数系的扩充与复数 39 选修 2 3 41 第一章 计数原理 第二章 概率 41 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 3 必修必修 1 第一章 集合第一章 集合 定义 1 一般地 一组确定的 互异的 无序的对象的全体构成集合 简称集 用大写字 母来表示 集合中的各个对象称为元素 用小写字母来表示 元素x在集合A中 称x属于 A 记为Ax 否则称x不属于A 记作Ax 例如 通常用N Z Q B Q 分别表示自然数集 整数集 有理数集 实数集 正有理数 集 不含任何元素的集合称为空集 用 来表示 集合分有限集和无限集两种 集合的表示方法有列举法 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法 如 1 2 3 描述法 将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法 例如 有理数 0 xx分别表示有理数集和正实数集 定义 2 子集 对于两个集合A与B 如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素 则A叫做B的子集 记为BA 例如ZN 规定空集是任何集合的子集 如果A是B 的子集 B也是A的子集 则称A与B相等 如果A是B的子集 而且B中存在元素不属 于A 则A叫B的真子集 便于理解 BA 包含两个意思 A与B相等 A是B的真子集 定义 3 交集 BxAxxBA 且 定义 4 并集 BxAxxBA 或 定义 5 补集 若 1 AxIxxACIA 且则称为A在I中的补集 定义 6 集合 baRxbxax 记作开区间 ba 集合 baRxbxax 记作闭区间 ba R 记作 定义 7 空集 是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解对集合中元素三大性质的理解 1 1 确定性 确定性 集合中的元素 必须是确定的 对于集合A和元素a 要么aA 要么aA 二者 必居其一 比如 所有大于 100 的数 组成一个集合 集合中的元素是确定的 而 较 大的整数 就不能构成一个集合 因为它的对象是不确定的 再如 较大的树 较 高的人 等都不能构成集合 2 2 互异性 互异性 对于一个给定的集合 集合中的元素一定是不同的 任何两个相同的对象在同一集合 中时 只能算作这个集合中的一个元素 如 由a 2 a组成一个集合 则a的取值不能是0 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 4 或 1 3 3 无序性 无序性 集合中的元素的次序无先后之分 如 由12 3 组成一个集合 也可以写成13 2 组成一 个集合 它们都表示同一个集合 学学习集合表示方法时应注意的问题习集合表示方法时应注意的问题 1 注意a与 a的区别 a是集合 a的一个元素 而 a是含有一个元素a的集合 二 者的关系是 aa 2 注意 与 0的区别 是不含任何元素的集合 而 0是含有元素0的集合 3 在用列举法表示集合时 一定不能犯用 实数集 或 R来表示实数集R这一类错误 因为这里 大括号 已包含了 所有 的意思 用特征性质描述法表示集合时 要特别注意这个集合中的元素是什么 它应具备哪些 特征性质 从而准确地理解集合的意义 例如 集合 xy yx 中的元素是 xy 这个集合表示二元方程yx 的解集 或者 理解为曲线yx 上的点组成的点集 集合 x yx 中的元素是x 这个集合表示函数yx 中自变量x的取值范围 集合 y yx 中的元素是y 这个集合表示函数yx 中函数值y的取值范围 集合 yx 中的元素只有一个 方程yx 它是用列举法表示的单元素集合 4 常见题型方法 当集合中有 n 个元素时 有 2 n个子集 有 2n 1 个真子集 有 2n 2 个 非空真子集 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 5 第二章 函数第二章 函数 定义 1 映射 对于任意两个集合A B 依对应法则f 若对A中的任意一个元素x 在B 中都有唯一一个元素与之对应 则称f A B为一个映射 定义 2 函数 映射f A B中 若A B都是非空数集 则这个映射为函数 A称为它的 定义域 若x A y B 且f x y 即x对应B中的y 则y叫做x的象 x叫y的原 象 集合 f x x A 叫函数的值域 通常函数由解析式给出 此时函数定义域就是使解析 式有意义的未知数的取值范围 如函数y 3x 1 的定义域为 x x 0 x R 定义 3 反函数 若函数f A B 通常记作y f x 是一一映射 则它的逆映射f 1 A B 叫原函数的反函数 通常写作y f 1 x 这里求反函数的过程是 在解析式 y f x 中反解 x得x f 1 y 然后将 x y互换得y f 1 x 最后指出反函数的定义域即原函数的值域 例如 函数y x 1 1 的反函数是y 1 x 1 x 0 补充知识点 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x对称 定理 2 在定义域上为增 减 函数的函数 其反函数必为增 减 函数 定义 4 函数的性质 1 单调性 设函数f x 在区间I上满足对任意的x1 x2 I并且x1 x2 总有 f x1 f x2 则称f x 在区间I上是增 减 函数 区间I称为单调增 减 区间 2 奇偶性 设函数y f x 的定义域为 D 且 D 是关于原点对称的数集 若对于任意的x D 都有f x f x 则称f x 是奇函数 若对任意的x D 都有f x f x 则称 f x 是偶函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 3 周期性 对于函数f x 如果存在一个不为零的常数T 使得当x取定义域内每一个 数时 f x T f x 总成立 则称f x 为周期函数 T称为这个函数的周期 如果周期中存 在最小的正数T0 则这个正数叫做函数f x 的最小正周期 定义 5 如果实数a b 则数集 x a x b x R 叫做开区间 记作 a b 集合 x a x b x R 记作闭区间 a b 集合 x a x b 记作半开半闭区间 a b 集合 x a xa 记作开区间 a 集合 x x a 记作半开半 闭区间 a 定义 6 函数的图象 点集 x y y f x x D 称为函数y f x 的图象 其中 D 为f x 的定义域 通过画图不难得出函数y f x 的图象与其他函数图象之间的关系 a b 0 1 向右平移a个单位得到y f x a 的图象 2 向左平移a个单位得到y f x a 的图象 3 向下平移b个单位得到y f x b的图象 4 与函数y f x 的图象关于y轴对称 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 6 5 与函数y f x 的图象关于原点成中心对称 6 与函数y f 1 x 的图象关于直线 y x对称 7 与函数y f x 的图象关于x轴对称 定理 3 复合函数y f g x 的单调性 记住四个字 同增异减 例如y x 2 1 u 2 x 在 2 上是减函数 y u 1 在 0 上是减函数 所以y x 2 1 在 2 上是增 函数 注 复合函数单调性的判断方法为同增异减 这里不做严格论证 求导之后是显然的 附 初中知识基础知识 1 二次函数 当 a0 时 y ax 2 bx c 或f x ax 2 bx c 称为关于x的二次函数 其对称轴 为直线x a b 2 另外配方可得f x a x x0 2 f x 0 其中x0 a b 2 下同 2 二次函数的性质 当a 0 时 f x 的图象开口向上 在区间 x0 上随自变量x增 大函数值减小 简称递减 在 x0 上随自变量增大函数值增大 简称递增 当 a0 时 方程f x 0 即ax 2 bx c 0 和不等式 ax 2 bx c 0 及 ax 2 bx c0 时 方程 有两个不等实根 设x1 x2 x1 x2 不等式 和不等式 的解集分别 是 x xx2 和 x x1 x x2 二次函数f x 图象与x轴有两个不同的交点 f x 还可 写成f x a x x1 x x2 2 当 0 时 方程 有两个相等的实根x1 x2 x0 a b 2 不等式 和不等式 的解集分别是 x x a b 2 和空集 f x 的图象与x轴有唯一公共点 3 当 0 时 方程 无解 不等式 和不等式 的解集分别是 R 和 f x 图象与x轴无 公共点 当a0 当x x0时 f x 取最小值f x0 a bac 4 4 2 若a0 当x0 m n 时 f x 在 m n 上的最小值为f x0 当x0n时 f x 在 m n 上的最小值为f n 以上结论由二次函数图象即可 得出 定义 1 能判断真假的语句叫命题 如 3 5 是命题 萝卜好大 不是命题 不含逻辑 联结词 或 且 非 的命题叫做简单命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命 题由复合命题 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 7 一定注意 p或q 复合命题只有当p q同为假命题时为假 否则为真命题 p且q 复合命题只有当p q同时为真命题时为真 否则为假命题 p与 非p 即 p 恰好一真 一假 定义 2 原命题 若p则q p为条件 q为结论 逆命题 若q则p 否命题 若非p 则q 逆否命题 若非q则非p 一定注意 原命题与其逆否命题同真假 一个命题的逆命题和否命题同真假 一定注意 反证法的理论依据是矛盾的排中律 而未必是证明原命题的逆否命题 定义 3 如果命题 若p则q 为真 则记为p q否则记作p q 在命题 若p则q 中 如果已知p q 则p是q的充分条件 如果q p 则称p是q的必要条件 如果p q但 q不 p 则称p是q的充分非必要条件 如果p不 q但p q 则p称为q的必要非充 分条件 若p q且q p 则p是q的充要条件 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 8 第三章 基本初等函数第三章 基本初等函数 1 指数函数及其性质 形如y a x a 0 a 1 的函数叫做指数函数 其定义域为 R 值域为 0 当 0 a1 时 y a x为增函数 它的图象恒过定点 0 1 2 分数指数幂 nm n m n nnm n m n n a a a aaaaa 1 1 1 3 对数函数及其性质 形如y logax a 0 a 1 的函数叫做对数函数 其定义域为 0 值域为 R R 图象过定点 1 0 当 0 a1 时 y logax 为增函数 4 对数的性质 M 0 N 0 1 a x M x logaM a 0 a 1 2 loga MN loga M loga N 3 loga N M loga M loga N 4 loga M n n log a M 万能恒等式 5 loga n M n 1 loga M 6 a loga M M 7 log a b a b c c log log a b c 0 a c 1 5 函数y x x a a 0 的单调递增区间是 a 和 a 单调递减区间为 0 a 和 a 0 请同学自己用定义证明 6 连续函数的性质 若a b f x 在 a b 上连续 且f a f b 0 则 Ax By C 0 表示的区域为 l 上方的部分 Ax By C0 其圆心为 2 2 ED 半径为 FED4 2 1 22 若点 P x0 y0 为圆上一点 则过点 P 的切线方程为 0 22 00 00 F yy E xx Dyyxx 14 根轴 到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线 或它的一部分 这条直线叫两 圆的根轴 给定如下三个不同的圆 x2 y2 Dix Eiy Fi 0 i 1 2 3 则它们两两的根轴方程 分别为 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 D2 D3 x E2 E3 y F2 F3 0 D3 D1 x E3 E1 y F3 F1 0 不难证明这三条直线交于一点或者互相平行 这就是著名的 蒙日定理 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 21 必修三必修三 略略必修四必修四 第一章第一章 基本初等函数基本初等函数 II 定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 若旋转方向为逆时针方向 则角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 角的大小是任 意的 定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等价为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为 L 则其弧度数的绝对值 r L 其中 r 是圆的半径 定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与 x 轴的正半轴重合 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P 设它的坐标为 x y 到原点的距离为 r 则 正弦函数 sin r y 余弦函数 cos r x 正切函数 tan x y 余切函数 cot y x 正割函数 sec x r 余割函数 csc y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 商数关系 tan sin cos cot cos sin 乘积关系 tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 定理 2 诱导公式 sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot 记法 奇变偶不变 符号看象限 定理 3 根据图像去记 正弦函数的性质 根据图象可得 y sinx x R 的性质如下 单调区间 在区间 2 2 2 2 kk上为增函数 在区间 2 3 2 2 2kk上为减函数 最小正周期为 2 奇偶数 有界性 当且仅当 x 2kx 2 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 3k 2 时 y 取最小值 1 对称性 直线 x k 2 均为其对称轴 点 k 0 均为其对 称中心 值域为 1 1 这里 k Z 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 22 定理 4 根据图像去记 余弦函数的性质 根据图象可得 y cosx x R 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期为 2 奇偶性 偶函数 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点 0 2 k均为其对称中心 有界性 当且 仅当 x 2k 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 2k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 这里 k Z 定理 5 根据图像去记 正切函数的性质 由图象知奇函数 y tanx x k 2 在开区间 k 2 k 2 上为增函数 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 2 0 均为其对称中心 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tantan1 tan tan 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 sin cos 2 1 sin sin cos sin 2 1 sin sin cos cos 2 1 cos cos sin sin 2 1 cos cos 口诀记忆 积化和差 2 1 前系数 有余为正 无余为负 前和后差 同名皆余 异名皆正 余 后为和 正后为差 和差化积 正弦之和正余弦 正弦之差余正弦 余弦之和得余弦 余 弦之差负正弦 定理 8 倍角公式 常考 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 tan1 tan2 2 定理 9 半角公式 sin 2 2 cos1 cos 2 2 cos1 tan 2 cos1 cos1 sin cos1 cos1 sin 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 23 定理 10 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 必考 辅助角公式 如果 a b 是实数且 a2 b2 0 则取始边在 x 轴正半轴 终边经过点 a b 的一个角为 则 sin 22 ba b cos 22 ba a 对任意的角 asin bcos 22 ba sin 定理 12 正弦定理 在任意 ABC 中有R C c B b A a 2 sinsinsin 其中 a b c 分别是角 A B C 的对边 R 为 ABC 外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 ABC 中有 a2 b2 c2 2bcosA 其中 a b c 分别是角 A B C 的 对边 定理 14 图象之间的关系 y sinx 的图象经上下平移得 y sinx k 的图象 经左右平移得 y sin x 的图象 相位变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 1 得到 y sinx 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅 变换 y Asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 A 叫作振幅 的图象向右平移 个单位得到 y Asin x 的图象 定义 4 函数 y sinx 2 2 x的反函数叫反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 函 数 y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作 y arccosx x 1 1 函数 y tanx 2 2 x的反函数叫反正切函数 记作 y arctanx x y cosx x 0 的反函数称为反余切函数 记作 y arccotx x 定理 15 三角方程的解集 如果 a 1 1 方程 sinx a 的解集是 x x n 1 narcsina n Z 方程 cosx a 的解集是 x x 2kx arccosa k Z 如果 a R 方程 tanx a 的解集是 x x k arctana k Z 恒等式 arcsina arccosa 2 arctana arccota 2 定理 16 若 2 0 x 则 sinx x tanx 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 24 第二章第二章 平面向量平面向量 定义 1 既有大小又有方向的量 称为向量 画图时用有向线段来表示 线段的长度表示 向量的模 向量的符号用两个大写字母上面加箭头 或一个小写字母上面加箭头表示 书 中用黑体表示向量 如 a a 表示向量的模 模为零的向量称为零向量 规定零向量的方向 是任意的 零向量和零不同 模为 1 的向量称为单位向量 最近几年常考 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量 或共线向量 规定零向量与任意一个非 零向量平行和结合律 定理 1 向量的运算 加法满足平行四边形法规 减法满足三角形法则 加法和减法都满 足交换律和结合律 定理 2 非零向量 a b 共线的充要条件是存在实数 0 使得 a b f 定理 3 平面向量的基本定理 若平面内的向量 a b 不共线 则对同一平面内任意向是 c 存在唯一一对实数 x y 使得 c xa yb 其中 a b 称为一组基底 定义 3 向量的坐标 在直角坐标系中 取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为 基底 任取一个向量 c 由定理 3 可知存在唯一一组实数 x y 使得 c xi yi 则 x y 叫 做 c 坐标 定义 4 向量的数量积 若非零向量 a b 的夹角为 则 a b 的数量积记作 a b a b cos a b cos 也称内积 其中 b cos 叫做 b 在 a 上的投影 注 投影 可能为负值 定理 4 平面向量的坐标运算 若 a x1 y1 b x2 y2 1 a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 2 a x1 y1 a b c a b a c 3 a b x1x2 y1y2 cos a b 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx a b 0 4 a b x1y2 x2y1 a b x1x2 y1y2 0 定义 5 若点 P 是直线 P1P2上异于 p1 p2的一点 则存在唯一实数 使 21 PPPP 叫 P 分 21 PP所成的比 若 O 为平面内任意一点 则 1 21 OPOP OP 由此可得若 P1 P P2的坐标分别为 x1 y1 x y x2 y2 则 1 1 2 1 2 1 21 21 yy yy xx xx yy y xx x 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形 将 F 上所有的点按照向量 a h k 的方向 平移 a 22 kh 个单位得到图形 F 这一过程叫做平移 设 p x y 是 F 上任意一点 平移到 F 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 25 上对应的点为 yxp 则 kyy hxx 称为平移公式 定理 5 对于任意向量 a x1 y1 b x2 y2 a b a b 并且 a b a b 证明 因为 a 2 b 2 a b 2 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx x1x2 y1y2 2 x1y2 x2y1 2 0 又 a b 0 a b 0 所以 a b a b 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得 a b a b 注 本定理的两个结论均可推广 1 对 n 维向量 a x1 x2 xn b y1 y2 yn 同样有 a b a b 化简即为柯西不等式 22 2 2 1 22 2 2 1nn yyyxxx x1y1 x2y2 xnyn 2 0 又 a b 0 a b 0 所以 a b a b 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得 a b a b 注 本定理的两个结论均可推广 1 对 n 维向量 a x1 x2 xn b y1 y2 yn 同样有 a b a b 化简即为柯西不等式 22 2 2 1 22 2 2 1nn yyyxxx x1y1 x2y2 xnyn 2 2 对于任意 n 个向量 a1 a2 an 有 a1 a2 an a1 a2 an 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 26 必修五必修五 第一章第一章 解三角形解三角形 在本章中约定用 A B C 分别表示 ABC 的三个内角 a b c 分别表示它们所对的各 边长 2 cba p 为半周长 1 正弦定理 C c B b A a sinsinsin 2R R 为 ABC 外接圆半径 推论 1 ABC 的面积为 S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 BcaAbcCab 推论 2 在 ABC 中 有 bcosC ccosB a 推论 3 在 ABC 中 A B 解 a 满足 sin sina b a a 则 a A 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到 这里不再给出 下证推论 先证推论 1 由正弦函数定义 BC边上的高为bsinC 所以S ABC Cabsin 2 1 再证推论2 因为B C A 所以 sin B C sinA 即 sinBcosC cosBsinC sinA 两边同乘以 2R 得 bcosC ccosB a 再 证推论 4 由正弦定理 B b A a sinsin 所以 sin sin sin sin A a A a 即 sinasin A sin a sinA 等 价 于 2 1 cos A a cos A a 2 1 cos a A cos a A 等 价 于 cos A a cos a A 因为 0 A a a A1 时 an Sn Sn 1 定义 2 等差数列 如果对任意的正整数 n 都有 an 1 an d 常数 则 an 称为等差数列 d 叫做公差 若三个数 a b c 成等差数列 即 2b a c 则称 b 为 a 和 c 的等差中项 若公 差为 d 则 a b d c b d 定理 2 必考 等差数列的性质 1 通项公式 an a1 n 1 d 2 前 n 项和公式 Sn d nn na aan n 2 1 2 1 1 3 an am n m d 其中 n m 为正整数 4 若 n m p q 则 an am ap aq 5 对任意正整数 p q 恒有 ap aq p q a2 a1 6 若 A B 至少有一个不 为零 则 an 是等差数列的充要条件是 Sn An2 Bn 定义 3 等比数列 若对任意的正整数 n 都有q a a n n 1 则 an 称为等比数列 q 叫做公比 定理3 必考 等比数列的性质 1 an a1qn 1 2 前n项和Sn 当q 1时 Sn q qa n 1 1 1 当 q 1 时 Sn na1 3 如果 a b c 成等比数列 即 b2 ac b 0 则 b 叫做 a c 的等比中项 4 若 m n p q 则 aman apaq 定义 4 极限 给定数列 an 和实数 A 若对任意的 0 存在 M 对任意的 n M n N 都有 an A 则称 A 为 n 时数列 an 的极限 记作 limAan n 定义 5 无穷递缩等比数列 若等比数列 an 的公比 q 满足 q b a b 0 2 a b b c a c 3 a b a c b c 4 a b c 0 ac bc 5 a b c 0 acb 0 c d 0 ac bd 7 a b 0 n N an bn 8 a b 0 n N nn ba 9 a 0 x a a xa x a 或 xb 0 c d 0 所以 ac bc bc bd 所以 ac bd 重复利用性质 6 可得性质 7 再证性质 8 用反证法 若 nn ba 由性质 7 得 nnnn ba 即 a b 与 a b 矛盾 所以假设不成立 所以 nn ba 由绝对值的意义知 9 成立 a a a b b b 所以 a b a b a b 所以 a b a b 下面再证 10 的左边 因为 a a b b a b b 所以 a b a b 所以 10 成立 11 显然成立 下证 12 因 为 x y 2 2 yxxy 0 所以 x y xy2 当且仅当 x y 时 等号成立 再证另一不 等 式 令czbyax 3 3 3 因 为x3 b3 c3 3abc a b 3 c3 3a2b 3ab2 3abc a b 3 c3 3ab a b c a b c a b 2 a b c c2 3ab a b c a b c a2 b2 c2 ab bc ca 2 1 a b c a b 2 b c 2 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 30 选修选修 2 1 第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语 1 充要条件的判定可利用集合包含思想判定 若BA 则 xA 是 xB 的充分条件 若 BA 则 xA 是 xB 的必要条件 若BA 且BA 即BA 则 xA 是 xB 的充要 条件 2 充要条件的问题要十分细心地去辨析 哪个命题 是 哪个命题 的充分 必要 条 件 注意区分 甲是乙的充分条件 甲 乙 与 甲的充分条件是乙 乙 甲 是两种不同形式的问题 3 掌握命题的四种不同表达形式 会进行命题之间的转化 会正确找出命题的条件与结论 能根据条件与结论判断出命题的真假 有时利用 原命题 与 逆否命题 等价 逆命 题 与 否命题 等价转换去判定也很方便 4 会用集合的子集的方法判断充要条件 A 是 B 的充分条件 或 B 是 A 的必要条件 即 A BAB A 是 B 的充分不必要条件 BABA A 是 B 的充要条件 BABA 第二第二章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 31 1 椭圆的定义 第一定义 平面上到两个定点的距离之和等于定长 大于两个定点之间的 距离 的点的轨迹 即 PF1 PF2 2a 2a F1F2 2c 第二定义 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e 0 e 1 的 点的轨迹 其中定点不在定直线上 即 e d PF 0 eb 0 参数方程为 sin cos by ax 为参数 若焦点在 y 轴上 列标准方程为 1 2 2 2 2 b y a y a b 0 3 椭圆中的相关概念 对于中心在原点 焦点在 x 轴上的椭圆 1 2 2 2 2 b y a x a 称半长轴长 b 称半短轴长 c 称为半焦距 长轴端点 短轴端点 两个焦点的坐标分别 为 a 0 0 b c 0 与左焦点对应的准线 即第二定义中的定直线 为 c a x 2 与右焦点对应的准线为 c a x 2 定义中的比 e 称为离心率 且 a c e 由 c2 b2 a2知 0 eb 0 F1 c 0 F2 c 0 是它的两焦点 若 P x y 是椭圆上的任意一点 则 PF1 a ex PF2 a ex 5 补充知识点 几个常用结论 1 过椭圆上一点 P x0 y0 的切线方程为 1 2 0 2 0 b yy a xx 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 32 2 斜率为 k 的切线方程为 222 bkakxy 3 过焦点 F2 c 0 倾斜角为 的弦的长为 222 2 cos 2 ca ab l 6 双曲线的定义 第一定义 满足 PF1 PF2 2a 2a0 的点 P 的轨迹 第二定义 到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e 1 的点的轨迹 7 双曲线的方程 中心在原点 焦点在 x 轴上的双曲线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 参数方程为 tan sec by ax 为参数 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 1 2 2 2 2 b x a y 8 双曲线的相关概念 中心在原点 焦点在 x 轴上的双曲线 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 a 称半实轴长 b 称为半虚轴长 c 为半焦距 实轴的两个端点为 a 0 a 0 左 右焦点 为 F1 c 0 F2 c 0 对应的左 右准线方程分别为 22 c a x c a x 离心率 a c e 由 a2 b2 c2 知 e 1 两条渐近线方程为x a k y 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 与1 2 2 2 2 b y a x 有相同的渐近线 它们的四个焦点在同一个圆上 若 a b 则称为等轴双曲线 9 补充知识点 双曲线的常用结论 1 焦半径公式 对于双曲线1 2 2 2 2 b y a x F1 c 0 F2 c 0 是它的两个焦点 设 P x y 是 双曲线上的任一点 若 P 在右支上 则 PF1 ex a PF2 ex a 若 P x y 在左支上 则 PF1 ex a PF2 ex a 2 过焦点的倾斜角为 的弦长是 222 2 cos 2 ca ab 10 抛物线 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫焦点 直线 l 叫做抛物线的准线 若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴 x 轴与 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 33 l 相交于 K 以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴 建立直角坐标系 设 KF p 则焦点 F 坐标 为 0 2 p 准线方程为 2 p x 标准方程为 y2 2px p 0 离心率 e 1 11 补充知识点 抛物线常用结论 若 P x0 y0 为抛物线上任一点 1 焦半径 PF 2 p x 2 过点 P 的切线方程为 y0y p x x0 3 过焦点倾斜角为 的弦长为 2 cos1 2 p 12 极坐标系 在平面内取一个定点为极点记为 O 从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴 这样就建立了极坐标系 对于平面内任意一点 P 记 OP xOP 则由 唯 一确定点 P 的位置 称为极坐标 13 圆锥曲线的统一定义 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P 若 0 e1 则点 P 的轨迹为双曲线的一支 若 e 1 则点 P 的轨迹为抛 物线 这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 cos1e ep 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 公理 1 一条直线 上如果有两个不同的点在平面 内 则这条直线在这个平面内 记作 a a 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 34 公理 2 两个平面如果有一个公共点 则有且只有一条通过这个点的公共直线 即若 P 则存在唯一的直线 m 使得 m 且 P m 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面 即不共线的三点确定一个平面 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 公理 4 在空间内 平行于同一直线的两条直线平行 定义 1 异面直线及成角 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 过空间任意 一点分别作两条异面直线的平行线 这两条直线所成的角中 不超过 900的角叫做两条异 面直线成角 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线 公垂线夹在两条 异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离 定义 2 直线与平面的位置关系有两种 直线在平面内和直线在平面外 直线与平面相交 和直线与平面平行 直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行 统称直线在平面外 定义 3 直线与平面垂直 如果直线与平面内的每一条直线都垂直 则直线与这个平面垂 直 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 定理 2 两条直线垂直于同一个平面 则这两条直线平行 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直 则另一条也和这个平面垂直 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离 若一条直线与平面平行 则直线上每一点到平面的距离都相等 这个距离叫做直线与平面的距离 定义 4 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线 由斜线上每一点向平面引 垂线 垂足叫这个点在平面上的射影 所有这样的射影在一条直线上 这条直线叫做斜线 在平面内的射影 斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角 定理 4 常考 三垂线定理 若 d 为平面 的一条斜线 b 为它在平面 a 内的射影 c 为平面 a 内的一条直线 若 c b 则 c a 逆定理 若 c a 则 c b 定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线 若它与平面内一条直线 b 平行 则它与平面 a 平行 定理 6 若直线 与平面 平行 平面 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6 则 a b 结论 2 若直线 与平面 和平面 都平行 且平面 与平面 相交于 b 则 a b 定理 7 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同 则两个角相 等 定义 5 平面与平面的位置关系有两种 平行或相交 没有公共点即平行 否则即相交 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a b 都与平面 平行 则 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 35 定理 9 平面 与平面 平行 平面 a b 则 a b 定义 6 二面角 经过同一条直线 m 的两个半平面 包括直线 m 称为二面角的棱 所组成的图形叫二面角 记作 m 也可记为 A m 一 B AB 等 过棱上任 意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP BP 则 APB 900 叫做二面角的平面角 它的取值范围是 0 特别地 若 APB 900 则称为直二面角 此时平面与平面的位置关系称为垂直 即 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 定理 11 如果两个平面垂直 过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内 定理 12 如果两个平面垂直 过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直 定义 7 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形 并且每相邻两个平行四边形的公 共边 称为侧棱 都互相平行 由这些面所围成的几何体叫做棱柱 两个互相平行的面叫做底 面 如果底面是平行四边形则叫做平行六面体 侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱 底面是 正多边形的直棱柱叫做正棱柱 底面是矩形的直棱柱叫做长方体 棱长都相等的正四棱柱 叫正方体 定义 8 有一个面是多边形 这个面称为底面 其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面 体叫棱锥 底面是正多边形 顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥 定理 13 了解 凸多面体的欧拉定理 设多面体的顶点数为 V 棱数为 E 面数为 F 则 V F E 2 定义 9 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面 球面所围成的几何体 叫做球 定长叫做球的半径 定点叫做球心 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R 那么平面与球相交所得的截面是圆面 圆 心与球心的连线与截面垂直 设截面半径为 r 则 d2 r2 R2 过球心的截面圆周叫做球大 圆 经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离 定义 10 了解 经度和纬度 用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做 纬线 纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度 用经过南极和 北极的平面去截地球所得到的截面半圆周 以两极为端点 叫做经线 经线所在的平面与本初 子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度 根据位置不同又分东经和西经 定理 15 了解 祖 原理 夹在两个平行平面之间的两个几何体 被平行于这两个平面 的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 定理 16 了解 三面角定理 从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三 个角 其中任意两个角之和大于另一个 三个角之和小于 3600 定理 17 了解 面积公式 若一个球的半径为 R 则它的表面积为 S球面 4 R2 若 一个圆锥的母线长为 l 底面半径为 r 则它的侧面积 S侧 rl 定理 18 了解 体积公式 半径为 R 的球的体积为 V球 3 3 4 R 若棱柱 或圆柱 的 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 36 底面积为 s 高 h 则它的体积为 V sh 若棱锥 或圆锥 的底面积为 s 高为 h 则它的 体积为 V 3 1 sh 定理 19 如图 12 1 所示 四面体 ABCD 中 记 BDC ADC ADB BAC A ABC B ACB C DH 平面 ABC 于 H 1 射影定理 S ABD cos S ABH 其中二面角 D AB H 为 2 正弦定理 sin sin sin sin sin sin CBA 3 余弦定理 cos cos cos sin sin cosA cosA cosBcosC sinBsinCcos 4 四面体的体积公式 3 1 VDH S ABC coscoscos2coscoscos1 6 1 222 abc sin 6 1 1d aa 其中 d 是 a1 a 之间的距离 是它们的夹角 a3 2 S ABD S ACD sin 其中 为二面角 B AD C 的平面角 选修选修 2 2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 37 1 极限定义 1 若数列 un 满足 对任意给定的正数 总存在正数 m 当 n m 且 n N 时 恒有 un A f a 且 f c m 则 c a b 且 f c 为最大值 故0 cf 综上得证 第二章第二章 推理与证明推理与证明 综合法 执因导果 分析法 执果导因 反证法 倒着推 不常考 1 归纳法 由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点 特殊 一般 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 39 2 不完全归纳法 根据事物的部分 而不是全部 特例得出一般结论的推理方法叫做不完全 归纳法 3 完全归纳法 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法 完全归纳法是一种在研究了事物的所有 有限种 特殊情况后得出一般结论的推理方 法 又叫做枚举法 与不完全归纳法不同 用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包 括的特殊情况数不多时 采用完全归纳法 4 数学归纳法 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先 证明当n取第一个值 0 n时命题成立 然后假设当nk kN k 0 n 时命题成立 证明 当1nk 命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 5 数学归纳法的基本思想 即先验证使结论有意义的最小的正整数 0 n 如果当 0 nn 时 命 题成立 再假设当nk kN k 0 n 时 命题成立 这时命题是否成立不是确定的 根据这个假设 如能推出当1nk 时 命题也成立 那么就可以递推出对所有不小于 0 n的 正整数 0 1n 0 2n 命题都成立 6 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤 1证明 当n取第一个值 0 n结论正确 2假设当nk kN k 0 n 时结论正确 证 明当1nk 时结论也正确由 1 2可知 命题对于从 0 n开始的所有正整数n都正确 数 学归纳法被用来证明与自然数有关的命题 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明 莫忘掉 7 1用数学归纳法证题时 两步缺一不可 2证题时要注意两凑 一凑归纳假设 二凑 目标 第三章第三章 数系的扩充与复数数系的扩充与复数 1 复数的定义 设 i 为方程 x 2 1 的根 i 称为虚数单位 由 i 与实数进行加 减 乘 除等运算 便产生形如 a bi a b R 的数 称为复数 所有复数构成的集合称复数集 通常用 C 来表示 学高中数学 找呆哥 呆哥手把手教你学会高中数学 QQ 501216715 40