微积分基础知识.ppt

绪论 1 课程名称 微积分上 计划学时 80 考核形式 考试 学分 课堂纪律 作业问题 课前预习 重点听讲 简记笔记 整理咀嚼 后作练习 2 参考书目 微积分学习指导 高等数学 同济大学数学系编 高等教育出版社 3 1 基础 函数 极限 连续 2 微积分学 一元微积分 上册 下册 3 向量代数与空间解析几何 4 无穷级数 5 常微分方程 主要内容 多元微积分 高等数学研究的主要对象是函数 主要研究函数的分析性质 连续 可导 可积等 和分析运算 极限运算 微分法 积分法等 那么高等数学用什么方法研究函数呢 这个方法就是极限方法 也称为无穷小分析法 从方法论的观点来看 这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志 由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同 因此高等数学呈现出以下显著特点 概念更复杂 理论性更强 表达形式更加抽象 推理更加严谨 4 因此在学习高等数学时 应当认真阅读和深入钻研教材的内容 一方面要透过抽象的表达形式 深刻理解基本概念和理论的内涵与实质 以及它们之间的内在联系 正确领会一些重要的数学思想方法 另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力 学习数学 必须做一定数量的习题 做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法 而且也可以帮助我们更好地理解概念 理论和思想方法 但我们不应该仅仅满足于做题 更不能认为 只要做了题 就算学好了数学 5 6 极限方法1 计算圆的周长 7 2 切线的斜率 8 3 计算曲边梯形面积 曲边梯形面积为 9 4 无穷级数 10 一 基本概念 1 集合 具有某种特定性质的对象的全体 组成集合的事物称为该集合的元素 P x 表示元素具有性质 第0章基本知识 11 2 邻域 1 定义设x和y是两个变量 D是一个给定的数集 若对于x D 变量y按照确定的法则总有确定的数值和它对应 则称y是x的函数 记作 自变量 因变量 二 函数 12 函数的两要素 定义域与对应法则 自变量 对应法则f 因变量 约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 13 14 1 符号函数 几个特殊的函数举例 15 2 取整函数y x x 表示不超过的最大整数 阶梯曲线 16 3 狄利克雷函数 17 4 取最值函数 在自变量的不同变化范围中 对应法则 用不同的式子来表示的函数 称为分段函数 18 三 函数的几种特性 设函数 1 有界性 使 称 A为上界 B为下界 2 单调性 为有界函数 当 时 称 为I上的 单调增函数 称 为I上的 单调减函数 19 3 奇偶性 且有 若 则称f x 为偶函数 若 则称f x 为奇函数 说明 若 在x 0有定义 为奇函数时 则当 必有 例如 偶函数 双曲余弦 记 20 例1判断函数的奇偶性 解 f x 是奇函数 例2设f x 在R上定义 证明f x 可分解为一个奇函数与一个偶函数的和 证明 设 显然g x 是偶函数 h x 是奇函数 而 故命题的证 21 4 周期性 且 则称 为周期函数 若 称l为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 狄里克雷函数 x为有理数 x为无理数 四 反函数 若函数 为单射 则存在逆映射 称此映射 为f的反函数 22 习惯上 的反函数记成 图形关于直线 对称 单调性一致 23 24 例如 对数函数 互为反函数 它们都单调递增 指数函数 25 例1证明若函数y f x 是奇函数且存在反函数x f 1 y 则反函数也是奇函数 证明 反函数是奇函数 例2 解 当x 0时 y 1 当x 0时 y 1 x y 1 初等 显 函数y f x 隐函数F x y 0参量函数分段函数单值函数多值函数 五 初等函数 26 基本初等函数 1 幂函数 27 2 指数函数 28 3 对数函数 29 4 三角函数 正弦函数 余弦函数 30 正切函数 余切函数 31 正割函数 余割函数 32 5 反三角函数 33 5 反三角函数 34 35 36 复合函数 y f u 称为外函数 u x 称为内函数 定义 37 注 2 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 1 复合函数 代入法 不能构成复合函数 3 并不是任意两个函数都可以进行复合运算 38 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 例如 可表为 故为初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 否则称为非初等函数 39 例 不是初等函数 为初等函数 不是初等函数 为初等函数 40 双曲函数 奇函数 偶函数 双曲函数 41 奇函数 有界函数 42 六数列的极限 P6 43 几何解释 44 45 如 唯一性 有界性 局部保号性 夹挤规则 两边夹 46 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 收敛数列的极限唯一 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 47 两边夹准则 证 由条件 2 当 时 当 时 令 则当 时 有 由条件 1 即 故 48 49 例 证明数列 是发散的 证 用反证法 假设数列 收敛 则有唯一极限a存在 取 则存在N 但因 交替取值1与 1 内 而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间 使当n N时 有 因此该数列发散 50 例 P10 证明若X2k 1 a X2k a k 则数列 Xn 收敛于a 证 对任 0 K1 当k K1时X2k落在 a a 即满足 2k a 1 K2当k K2时X2k 1落在