金融数学课件--(2-1)等额年金.ppt

1 等额年金 I LevelAnnuity 孟生旺中国人民大学统计学院 2 年金 annuity 最初的涵义 一年付款一次 每次支付相等金额的一系列款项 现在的含义 一系列的付款 或收款 3 年金的类型 按照年金的支付时间和支付金额是否确定 分为确定年金 Annuity certain 和风险年金 contingentannuity 按照年金的支付期限长短 分为定期年金 period certainannuity 和永续年金 Perpetuity 按照年金在每期的支付时点不同 分为期初付年金 annuity due 和期末付年金 Annuity immediate 按照年金开始支付的时间不同 分为即期年金和延期年金 deferredannuity 按照每次付款的金额是否相等 分为等额年金 levelannuity 和变额年金 varyingannuity 4 本节主要内容 等额年金 期末付年金 Annuity immediate 期初付年金 Annuity due 期初付与期末付年金的关系延期年金 deferredannuity 永续年金 Perpetuity 5 1 期末付年金 Annuity immediate 期末付年金的含义 在n个时期中 每个时期末付款1 6 的表达式n期期末付年金的现值记为 a表示annuity i表示每期的实际利率 可省略 在第1个时期末付款1的现值为 在第二个时期末付款1的现值为 这样继续下期 直到第n个时期末付款1的现值为 故 期末付年金的现值 7 期末付定期年金的现值 8 的表达式n期期末付年金在n时的积累值之和记为 i表示每期的实际利率 可省略 在第1个时期末付款1的积累值是 在第二个时期末付款1的积累值为 第n个时期末付款1的积累值为1 期末付年金的累积值 终值 9 期末付定期年金的终值 10 一些等价关系式 1 含义 初始投资1 历时n个时期 在每个时期 此投资1将产生在期末支付的利息i 这些利息的现值为 在第n个时期末 收回本金1 其现值为 2 含义 积累值等于现值乘以积累因子 1 i i i 1 0 11 3 证明 参见下页图示 12 0 n 1 i i i i i 1 1 13 例 有一笔1000万元的贷款 为期10年 若年实际利率为9 试对下面三种还款方式比较其利息总量 本金和利息在第10年末一次还清 每年产生利息在当年末支付 而本金在第10年末归还 在10年期内 每年末偿还相同的金额 问题 请先推测大小 14 解 1 贷款在10年末的累积值为利息总额为2367 36 1000 1367 36 2 每年的利息为90万元 利息总额为10 90 900 15 3 设每年的偿还额为R 则解得故利息总额为155 82 10 1000 558 2结论 偿还越迟 利息总量越高 16 2 期初付年金 annuity due 期初付年金的含义 在n个时期中 每个时期期初付款1 1111 10123 n 1n 17 期初付定期年金的现值 18 期初付定期年金的终值 19 记号 表示期初付年金的现值 i可省略记号 表示期初付年金的积累值 i可省略 20 和的关系 1 2 显然 证明见下页 21 证明 参见下图解释 22 0 n 1 d d d d 1 1 d 23 3 期初付年金和期末付年金的比较 期末付年金期初付年金 24 期末付年金与期初付年金的关系 1 2 25 3 下页图示 说明 的n次付款可以分解为第1次付款再加上后面的 n 1 次付款 第1次付款的现值为1元 而后 n 1 次付款的现值为 26 1 Presentvalue 27 4 1 1 1 1 n期 1 28 4 延期年金 deferredannuity 延期年金的含义 推迟若干时期后才开始付款的年金 推迟m个时期 且随后有n个时期的期末付年金可看作一个m n期期末付年金扣除一个m期的年金 延期年金现值为 29 例 某年金共有7次付款1 分别在第3期末到第9期末依次支付 求此年金的现值和在第12期末的积累值 30 年金的现值等于 也等于 31 此年金在第12期的积累值等于 也等于 32 5 永续年金 Perpetuity 永续年金 可以持续支付下去的年金 没有结束日期 记号表示期末付永续年金的现值 永续年金可看作将本金按利率i投资 每期支付利息 本金持续进行投资 33 记号 表示期初付永续年金的现值 34 n年的期末付年金可看作下述两个永续年金之差 第一个是每年末付款1 现值为 第二个是推迟n年 从n 1年开始每年支付1 现值为 因此n年的期末付年金的现值等于 参见下图 35 现金流时间图 36 年金公式比较 37 例 某人留下遗产10万元 第一个10年将每年的利息付给受益人A 第二个10年将每年的利息付给受益人B 二十年后将每年的利息付给慈善机构C 若此项财产的年实际收益率为7 确定三个受益者的相对受益比例 38 解 10万元每年产生的利息是7000元 A所占的份额是B所占的份额是C所占的份额是 39 从现值的角度看 A B C受益比例近似为49 25 和26 注 C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元 其现值等于 40 6 可变利率年金 问题 如果用ik表示第k个时期的利率 即从时刻k 1到时刻k这段时间的利率 分别表示第1 2 t期的利率 如何计算年金的现值和累积值 0 1 2 n 1 n i1 i2 in 41 例 第一年初的1元 计算它在第二年末的终值时 它在第2年的利率按什么计算 以它投资时的利率i1计算以第二年的利率i2计算 0 1 2 i1 i2 1 42 期末付年金的现值 解决途径 1 每笔款项以经历时期的利率计算 0 1 2 n 1 n i1 i2 in 1 1 1 1 43 期初付年金的现值 0 1 2 n 1 n i1 i2 in 1 1 1 1 44 期末付年金的累积值 0 1 2 n 1 n i1 i2 in 1 1 1 1 45 期初付年金的累积值 请大家写出 0 1 2 n 1 n i1 i2 in 1 1 1 1 46 2 每笔款项都以其支付时的利率ik计算 了解 期末付年金的现值期末付年金的累积值 0 1 2 n 1 n i1 i2 in 1 1 1 1 47 期初付年金的现值期初付年金的累积值 0 1 2 n 1 n i1 i2 in 1 1 1 1 48 注 1 在可变利率条件下 下式仍然成立 请验证 2 在实践中 利率常常是几个时期才改变一次 此时 可以利用