对数平均不等式

对数平均不等式对数平均不等式 两个正数和的对数平均定义 对数平均与算术平均 几何平均的大小关系 此式记为对数平均不等式对数平均不等式 取等条件 当且仅当时 等号成立 ab lnln ab ab L a bab a ab 2 ab abL a b ab 只证 当时 可设 I 先证 学科 ab 2 ab abL a b ab abL a b 不等式 1 lnlnln2ln 1 abaaba abxxx bbaxbab 中 中 构造函数 则 1 2ln 1 f xxxx x 2 2 211 1 1 fx xxx 因为时 所以函数在上单调递减 故 从而不等式 成立 1x 0fx f x 1 1 0f xf II 再证 来源 Z xx k Com 2 ab L a b 不等式 2 1 2 2 1 lnlnlnln 1 1 1 a abaxa b abxx a abbxb b 中 中 构造函数 则 2 1 ln 1 1 x g xxx x 2 22 14 1 1 1 x g x xxx x 因为时 所以函数在上单调递增 故 从而不等式 成立 综合 I 1x 0g x g x 1 1 0g xg II 知 对 都有对数平均不等式成立 当且仅当时 等号成立 a bR 2 ab abL a b ab 题型一 指数换对数的证明极值偏移问题 例例 1 2010 天津理 已知函数 如果且 证明 x xexf 21 xx 21 xfxf 2 21 xx 解 212121 00 xxxxxfxf 且请读者自己证明 整理可得即 lnlnlnln 22112121 2121 xxxxexexexex xxxx 1 lnln 21 21 xx xx 即 2lnln ba ba ba 2 1 lnln 21 21 21 xx xx xx 2 21 xx 例例 2 已知是函数的两个零点 且 其极值点为 1 求 a 的取值范围 2 求证 21 x xaxexf x 21 xx 0 x 3 求证 4 求证 021 2xxx 2 21 xx1 21 xx 秒杀秘籍 利用定积分秒杀对数平均不等式证明 如右图 1 所示 在反比例函数上任取两点 x xf 1 b bB a aA 1 1 点为在双曲线上的中点 轴交其于 ba ba C 2 2 ABxAA 11 A 轴交其于 过作双曲线切线交和于两点 根xBB 11 BC 1 AA 1 BBED 据 即 ab ba dx x SS b a ADEBAACBB 21 1111 2lnln ba ab ab 如右图 2 所示 在上任取两点 x xf 1 b bB a aA 1 1 轴交其于 轴交其于 根据 xAA 11 AxBB 11 B 1111 AABBAABB SS 曲 ab ab ab ab ab dx x b a 2 lnln 2 1 2 111 即 ab ab ab lnln 解 1 故在区间 在区间 若有两个零点 则 即 0ln0 0 aaxaexf x xf aln lnaaxexf x 1ln0lnln ln aaaeaf a ea 2 构造函数 则 2 0 xxfxfxF aeeaeaexxfxfxF xaxxax 2 2 ln2ln2 0 当时 axln 022 ln2 在则xFaxF e a 得 将代入不等式得在 0ln aFxF 00 2 0ln xxxxfxfaFxF 其中 1 x 2 2 0100202101 xxxxxxxxxfxf 又 xf 2 2 0211020 xxxxxxx 即 故上 3 4 又 1 2 1 2 0 0 x x eax eax 11 22 1 2 xlnalnx xlnalnx 得 1 2 1212 xxlnxlnx 1212 12 12 1 2 xxxx x x lnxlnx 12 2xx 12 1x x 第 2 问也可以通过第 3 问结论用对数平均不等式秒杀 1 2 得 12120 222xxlnalnx xlnax 题型二 符号反向用加法原理题型二 符号反向用加法原理 若出现或者时 属于正常的作差代换 构造出 由模型一即可秒杀 遇到或者时 属于对数平均不等式反向 这就需要将两式相减先构axx 21 bxx 21 2lnln 21 21 21 21 xx m xx xx xx axx 21 bxx 21 造对数平均不等式 再相加实现和积互换 从而达到证明反向不等式 例例 3 已知函数 如果且 求证 ln x f x x 12 xx 12 f xf x 2 12 xxe 证明 因为 所以可设 12 f xf x 12 12 lnlnxx m xx 1 11 12 ln ln 1 2 xm xm x x 1 2 得 1 2 得 1212 lnln 3 xxm xx 1212 lnln xxm xx 12 12 lnln m xx xx 代入 3 得 综上 m xxxx mxx xx 2 lnln 2 1 lnln 2121 21 21 2ln 2 lnln1 21 21 xx m xx m 2 12 xxe 例例 4 已知 有两个根 求证 ln 0 xmmx 1m 1 x 2 x 12 0 xx 证明 令 1 2 11 ln mxxm 22 ln mxxm 1212 1212 1 ln ln ln ln xxxmxm mxmxmxmxm 12 1 xm xm m 12 2 1 xm xm m 再由 121212 121212 ln ln ln ln ln ln xxxxxx xmxmxmxmxmxm 得 1 1212 12 ln ln ln xmxmxm xm xx mm 2 1 ln ln 20 m m mm m 12 0 xx 题型三 中点导数问题点差法 题目给到 涉及证明或者时 利用分析法执果索因 将式子证明最后转交给对数平均不等式 方法类似圆锥曲线点差法 作差 同除 取中点 当出现 12 21 0 2 xx xx x 0 0 x f 0 0 x f0 3 2 21 xx f 之类题型时 要转化为 也属于对数点差法系列 1 2 1 0 3 1 21 xx f0 23 2 2121 xx f xx f 例例 5 5 2011 年辽宁卷 已知函数 2 ln 2 f xxaxa x 1 讨论的单调性 2 若函数的图像与轴交于两点 线段的中点的横坐标为 f x yf x x A BAB 0 x 证明 0 0fx 解 1 略 2 由 00 0 1 22fxaxa x 12 0f xf x 2 111 2 222 ln 2 0 1 ln 2 0 2 xaxa x xaxa x 同除以得 22 121212 1 2 lnln 2 xxa xxaxx 12 xx 12 12 12 lnln 20 xx a xxa xx 要证 只需证 0 0fx 012 012 12 2220axaa xxa xxx 只需证 1 1212 2 1122 lnln2 22a xxaa xxa xx xx xx 根据对数平均不等式 故原命题得证 1212 12 2 xxxx lnxlnx 例例 6 2018 高考全国卷 I 理科 已知函数 1 lnf xxax x 1 讨论的单调性 2 若存在两个极值点 证明 f x f x 12 x x 12 12 2 f xf x a xx 解 1 略 2 即 故 2 22 11 10 axax fx xxx 2 10 xax 1212 1xxa x x 要证 只需证 12 12 2 f xf x a xx 1122 12 12 11 lnln 2 xaxxax xx a xx 只需证 只需证 1212 1212 11 lnln 12 xxaxax a xxxx 12 1212 lnln1 12 axx a x xxx 只需证 由于 故命题得证 12 12 lnln 1 xx xx 12 12 12 1 lnln xx x x xx 题型四 作差求和取对数三板斧题型四 作差求和取对数三板斧 非一次函数的形式 由与二次函数混合的函数 先作差得出 再两边取对数 构造对数平均不等式 在证明或者 往往用反证法减少运算 对于这类不好分离的 x e 2 axbxc 1212 b a xxxx a 12 b xx a 12 b xx a lnxx 式子 又要和差齐下 必要时要考虑换元法解决之类的问题 12 11 xx 例例 7 2016 年新课标 I 卷理数压轴 21 题 已知函数有两个零点 1 求的取值范围 2 证明 2 2 1 x f xxea x 21 x xa 12 2xx 解 1 由得 要使得有两个零点 则必须使得在 R 上只有一个根 易得 详细过程请参考高考参考答案 这里不做详细叙述 2 2 1 x f xxea x 1 2 x fxxea yf x yfx 0a 2 法一 即由得 两式相减得 0 1 2 2 xaexxf x 0 1 2 2 xaex x 0 21 xfxf 2 22 2 11 1 2 1 2 2 1 xaex xaex x x 2 2 2 212121 21 xxxxaexex xx 下面用反证法证明若则 取对数得则而由对数平均不等式得 2 21 xx 2 21 xx 1121 2 2 0 2 2 1121 xxxx exexexex 2ln 2ln 2211 xxxx 21 12 1 ln 2 ln 2 xx xx 矛盾 21121212 1212 2 2 2 2 21 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 22 xxxxxxxx xxxx 法二 参变分离得 有得 将上述等式两边取以为底的对数 得 化简得 12 12 22 12 2 2 1 1 xx x ex e a xx 0a 12 12xx e 12 12 22 12 2 2 lnln 1 1 xx xx xx 2222 121212 ln 1 ln 1 ln 2 ln 2 xxxxxx 故 2222 1212 1212 ln 1 ln 1 ln 2 ln 2 1 xxxx xxxx 2222 1212 12 22 1212 ln 1 ln 1 ln 2 ln 2 1 1 1 1 2 2 xxxx xx xxxx 由对数平均不等式得 从而 22 12 2222 1212 ln 1 ln 1 2 1 1 1 1 xx xxxx 22 12 1212 ln 2 ln 2 2 2 2 2 2 xx xxxx 12 22 1212 2 2 2 1 1 1 2 2 xx xxxx 1212 22 1212 2 2 2 1 1 1 4 xxxx xxxx 等价于 1212 22 1212 2 2 2 0 1 1 4 xxxx xxxx 12 22 1212 21 2 1 1 4 xx xxxx 由 故 22 1212 1 1 0 4 0 xxxx 12 2xx 明显法一成功避免了二次函数的对数平均值的构造 更简洁 例例 8 已知函数与直线交于两点 lnf xxx ym 1122 A x yB xy 1 求证 2 证明 12 2 1 0 x x e 12 2 1xx e 解 1 由 可得 1122 ln lnxxm xxm 1 1 ln m x x 2 2 ln m x x 得 得 2112 12 121212 lnln lnlnlnlnlnln xxxxm xxm xxxxxx 21 12 12 lnln lnln mxx xx xx 根据对数平均不等式 即 由题于与 12 12 12 2lnln xxm xx xx 21 1212 lnln 2lnlnlnln mxxm xxxx ym lnyxx 交于不同两点 易得出则上式简化为 0m 2 12 ln 2lnxxe 12 2 1 0 xx e 2 令得所以且在单调递减 在单调递增 1 lnfxx 0fx 1 x e 12 1 01xx e f x 1 0 e 1 e 构造函数 极值点偏移 易证以下略 12 2 xx e 妙 切线放缩 利用 证明 12 1xx ln1xx 1122 lnlnxxxx 122 211 ln1 ln1 xxx xxx 1212 1 0 xxxx 12 1xx 例例 9 9 已知 若有两个不等实根 求证 1 2 f xxxlnx f xa 22 xx 12 112 xxe 证明 设则则有两不等实根 不妨设 1 0 tt x 12 0 22 lntlnt g tt ttt g ta 12 t t 12 tt 要证 只要即可 又时 单调递增 12 112 xxe 12 2 tt e 2 2 1 4 lnt g t t 1 0 t e 0 g tg t 时单调递减 方程要有两个不等实根 则即 1 t e 0 g tg t 1 2 max e g tg e g ta 2 e a 12 ae 且下面证明 得证 12 1 0 tt e 12 1 tt a 11 22 22 22 lntat lntat 1212 2 lntlnta tt 1212 42 lntlnta tt 121212 1212 1 242 tttttt alntlntlntlnt 12 1 tt a 1 已知函数 若 且 证明 2 lnf xx x 1 x 2 x 21 xfxf 4 21 xx 证明 21 121212 121221 12 lnln2221 lnln4 xx f xf xxxx x xxx xxxx x 1212 24xxx x 2 已知函数 其中 1 若函数有两个零点 求的取值范围 2 lnf xxax aR f xa 2 若函数有极大值为 且方程的两根为 且 证明 f x 1 2 f xm 12 x x 12 xx 12 4xxa 1 若有两个零点 则 11 200 2 fxaxxa xa f x 1 0 2 f a 1 0 2 a e 2 111 222 fa a 2 11 2 22 1 ln 2 1 ln 2 xxm xxm 1212 12 1212 lnln2 2 2 xxxx xx xxxx 3 已知函数 为常数 若函数有两个零点 证明 lnf xxax a f x 12 x x 2 12 xxe 证明 当时 1 fxa x 0a 1 0fxx a min 111 ln10 f xfa aae 得 11 22 ln ln xax xax 1212 1212 lnln ln a xxxx a xxx x 1212 121212 lnlnln2xxx x a xxxxxx 2 12 x xe 4 已知函数 有两个不同的零点求证 2 1 1 2 f xxa xalnx aR 12 x x 12 2xx 证明 的定义域为 显然时 不符合题意 f x 0 fx 1 xxa x 0a 时 当单调递减 当单调递增 0a 0 0 xafxf x 0 xafxf x 有极小值 令 f x 1 0ln112 2 f aaaa 12 0 xx 2 111 12 12 2 1212 222 1 ln11 22lnln2 2 12 12 ln12 2 axxa x axxxx xxaxx axxa x 得 2 1212121212 2 14022022xxaxxaxxxxaxxa 5 已知 函数有两个零点 1 求实数的取值范围 2 证明 aR 1 x f xxae 1212 x xxx a 12 2 xx ee 解 1 求导或者切线放缩可得 不详述 1a 2 设 则原函数有两个零点可转化为有两个根 要证明 只要即可 x te xlnt 10lntat 1212 t t tt 12 2 xx ee 12 2tt 11 12 12 1212 22 ln1 1 lnln22 122 ln1 2 tat tt att ttttatat 得 6 函数有两极值点 且 证明 x aexxxf 12 2 21 x x 21 xx 4 21 xx 解 有两个根 则 此时 220 x fxxae 2 20ln0 x fxaexa a 1 2 11 11 12 1212 22 22 2 lnln1 1 220 ln1ln12 121 2112 220 lnln12 x x xx fxxae xx a xxxx fxxae xx a 得 12 4xx 7 设函数的图像与轴交于两点 x f xeaxa aR x 1212 0 0 A xB xxx 1 求证 2 求证 0 21 xxf 1212 x xxx 证明 当时 在 x fxea 0fx lnxa f x ln ln aa ln0fa 2 ae 1 2 1111 12 12 2221 12 0lnln1 1 ln1ln11 121 11lnln12 011 x x f xeaxaxax xx xxxax f xeaxaxx 得 即 121212 111xxx xxx 1212 122lnln112lnxxaxxa 得 1 2 ln 12 1212 ln0 2 x xa xx x xafx xeaea 8 已知函数 曲线在点处的切线与直线垂直 1 试比较与的大小 并说明理由 2 若函数有两个不同的零点 证明 lnx f x xa aR yf x 1 1f10 xy 2017 2016 2016 2017 g xf xk 12 x x 2 12 xxe 解 1 当时 故在 在 即 1 2 ln x x a x fx xa 1 10fa ln x f x x 2 1 ln x fx x 0fx xe xf 0e e ln2016ln2017 20162017 2017 2017ln 2016 2016ln ee 20162017 20162017 20172016 20162017 2 由 1 得 max 1 f xf e e 0g xf xk 1 k e 即 得 1 1 2 2 ln 11 ln 22 ln ln x x x x k xkx xkx k 1212 1212 lnln ln k xxxx k xxx x 1212 121212 lnlnln2xxx x k xxxxxx 2 12 x xe 9 已知函数 1 若在点处的切线与直线垂直 求函数的单调递增区间 2 若方程有两个不相等的实数解 证明 ln ax f x x f x 22 ef e40 xy f x 1f x 12 x x 12 2xxe 得 令得 2 ln1 ln ax fx x 2 1 44 a fe 1a 2 ln1 0 ln x fx x 0 1 1 xe 即的单调区间为和 f x0 1 1e 由 121222 121211 lnx lnxa xxlnxax lnxlnxa xxlnxax 1212 12 121212 lnlnln2 ln2 xxx x ax x xxxxxx 2 12 x xe 1212 2 xxx x 1212 2 2xxx xe 10 设函数 其图像在点处切线的斜率为 当时 令 设是方程的两个根 是的等差中项 求证 为函数的导函数 2 lnf xaxbx 2 2 Pf3 2a g xf xkx 1212 x x xx 0g x 0 x 12 x x 0 0g x g x g x 证明 当时 2 a fxbx x 2a 231fb 2 2lng xxxkx 得 2 1111 2 2222 2ln0 1 2ln0 2 g xxxkx g xxxkx 12 22 121212 2 lnln0 xxxxk xx 同除以得 12 xx 12 12 12 2 lnln 0 xx xxk xx 0012 012 24 2gxxkxxk xxx 要证 只需证 此正好为对数平均不等式 命题得证 0 0gx 12 1212 2 lnln4xx xxxx 11 已知函数 1 证明 当时 2 若函数有两个零点 证明 lnf xx 1x 21 10 x x f x 2 g xf xxax 1 x 2 x 12 xx 0a 12 2 1 3 xx ga 1 欲证 令 21 10 x x f x 21 ln0 1 x K xx x 2 2