高等数学讲义(三).doc

第5讲 不定积分这一讲开始了积分学部分，它由不定积分和定积分两部分组成，本讲介绍不定积分。5.1 原函数与不定积分概念在微分学部分，我们研究的问题是求已知函数的导函数，例如已知，那么它的导函数。不定积分研究的问题与之相反，已知，那么它是哪个函数的导函数？或者说哪个函数求导后等于。当然我们不难发现的导函数正是，也就是说是的导函数。这里和又是什么关系呢？一、原函数与不定积分定义5.1 已知函数在某区间上有定义，如果存在函数，使得在该区间的任一点处，都有关系式或成立，则称函数是函数在该区间上的一个原函数。由定义5.1我们知道就是的一个原函数。不过我们可以发现由定义5.1，也是的一个原函数，也就是说原函数是不唯一的，其实不仅不唯一，而且无穷多，事实上都是的原函数。定理5.1如果函数是函数在某区间上的一个原函数，则的全体原函数可以表示为（是任意常数）。定义5.2 设函数在某区间上有原函数，则的全体原函数称为在该某区间上的不定积分。记为其中称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，“”称为积分号。 由定理5.1可知，如果是的一个原函数，则由前面所提，有例1 求。解 本例的关键是找出的原函数，由导数运算得可以整理为再根据导数运算的性质即由定义可知 上例要求，也就是说的不定积分不含在该例的结果中。例2 求。解 当时，由导数运算得当时，由复合函数求导法则得 由定义可知例3 求。解 由导数运算得可以整理为再根据导数运算的性质即由定义可知 求不定积分与求导（或微分）互为逆运算，这点从下面的等式可以看出二、基本积分公式 在讨论不定积分运算的开始，我们也试图先给出基本初等函数的积分公式，出乎意料，我们只得到如下公式 在以上基本积分公式中，我们并没有发现对数函数、正切函数和余切函数的不定积分公式，原因是我们没有发现哪些函数求导后是这几个函数。三、不定积分的运算法则我们也试图寻找类似于导数四则运算法则的相应结论，我们得到若与都存在原函数，为常数，则 例4 求。解 由不定积分运算法则和基本积分公式得 例5 求。解 函数乘积的积分公式并不存在，但经适当变换可得 例6 求。解 函数相除的积分公式也不存在，但经适当变换可得 5.2 换元积分法 如果被积函数中含有复合函数，符合以下定理条件的，可以按照定理的结论求出不定积分。定理5.2 若已知 且是可导函数，则有 定理5.2的方法称为第一换元积分法（也称凑微分法），它的具体步骤是 例7 求。解 在本例中，所以，由凑微分法得 例8 求。解 由凑微分法得 例9 求。解 由凑微分法得 例10 求。解 在本例中，所以，由凑微分法得 例11 求。解 在本例中，所以，由凑微分法得 例12 求。解 在本例中，所以，由凑微分法得 5.3 分部积分法如果被积函数中没有复合函数，而且是乘积的形式，怎样求不定积分呢？我们给出下面的公式我们称这个公式为分部积分公式。验证它是很容易的，由乘积的求导法则上式两端积分得上式右端第2项移到等式左端就得到分部积分公式。分部积分公式也可以写成另一种形式利用分部积分公式的关键，是确定公式中的和，而且这里的还是以导数的形式出现，所以需要凑微分。例13 求。解 由分部积分法得 例14 求。解 由分部积分法得 在上两个例子中，在凑微分时，我们都没有使用幂函数，大家可以思考一下为什么？例15 求。解 由分部积分法得 由此还可得到 例16 求。解 由分部积分法得 由本例看出，有些问题的求解，不能只依靠分部积分法，还需要和换元积分法结合起来。例17 求。解 由分部积分法得 第6讲 定积分及其应用这一讲我们介绍积分学的另一部分，即定积分。研究定积分所要解决的问题，以及它与不定积分的区别和联系。6.1 定积分概念一、曲边梯形的面积 先看下面的图形由曲线，和轴所围成的平面区域我们称为曲边梯形。接下来要解决的问题是计算这个曲边梯形的面积。为此我们把计算过程分成下面几个步骤：分割 在之间任意地插入个分点，把区间任意分成个小区间，即这样就将曲边梯形分成个小曲边梯形。记为每个小区间的长度。近似 在第个小区间上任取一点，以矩形面积近似取代第个小曲边梯形的面积。求和 将个小曲边梯形的近似值相加用来作为曲边梯形面积的近似值。取极限 可以看出，区间分得越细，以代替曲边梯形面积的近似程度就越高，所以记，求出这个极限就是曲边梯形的面积。二、定积分的概念 定义6.1 设函数在区间上有定义且有界，在之间任意地插入个分点，把区间任意分成个小区间，即记为每个小区间的长度，在各小区间上任取一点，作和式记，如果当时，极限存在，则称函数在区间上是可积的，并称此极限值为函数在上的定积分，记作其中，称为被积函数，称为积分变量，称为被积表达式，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，“”称为积分号。由定义6.1可以看出，当被积函数时，定积分的几何意义就是曲边梯形的面积。另外，在定义6.1中，如果记，那么得到的结果记为显然有依照定义6.1也不难得出6.2 定积分的性质定积分有与不定积分类似的计算性质，如性质1 若，在区间上可积，则在上可积，且性质2 若在区间上可积，是任意常数，则在上可积，且 定积分也有其特有的性质,如性质3 （定积分对积分区间的可加性）设在区间，及上都是可积的，则有 性质3的几何解释可由下图看出性质4 （定积分中值定理）若在区间上连续，则在上至少存在一点，使 称为在区间上的平均值。性质4的几何解释可由下图看出6.3 微积分基本定理 可以看出由定义求定积分几乎是一件无法做到的事，这就需要寻找有效的方法。一、变上限定积分及原函数存在定理 设函数在区间上可积，则对于任意，在上也可积，于是积分存在，称此积分为变上限定积分。 变上限定积分显然是积分上限的函数，所以记为 定理6.3 （原函数存在定理） 若在区间上连续，则函数在内可导，且 证 即 定理6.3告诉我们，连续函数一定有原函数，连续函数的变上限定积分就是它的一个原函数。例1 求。解 由定理6.3有例2 求。解 设，有由定理6.3有由此得 二、微积分基本定理 定理6.4 （微积分基本定理） 若在区间上连续，是的任意原函数，则有 证 设是的一个原函数，由定理6.4可知上式中令得解得，即得上式中令，即得 定理6.4中的公式称为牛顿莱布尼茨公式，简记为NL公式。例3 求。解 由NL公式得 例4 求。解 由NL公式得 例5 求。解 第一步要设法去掉被积函数的绝对值号，利用定积分的性质3得 由上一讲例15及NL公式，可得 得 有了NL公式，应该说定积分的计算问题已经解决了，不过定积分仍有自己的积分方法。6.4 换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法 定理6.5 设在区间上连续，作变换，满足，；在区间上有连续导数，则有换元公式 公式看上去与不定积分的换元积分公式类似，不同的是在作换元变换后得到的定积分的积分上下限要作相应的变化，即所谓“换元变限”。例6 求。解 由定积分换元积分法得 例7证明：若在上可积并为奇函数，则。证 由定积分的性质 对做变量替换，令，则 因为是奇函数，所以 由此得 例8证明：若在上可积并为偶函数，则。证 由定积分的性质 对做变量替换，令，则 因为是偶函数，所以 由此得 例9 求。解 由定积分的性质及上述结论得 二、定积分的分部积分法定理6.6 设函数，在区间上有连续导数，则有定积分分部积分公式上式或写成例10 求。解 由定积分分部积分法得 例11 求。解 由定积分分部积分法得 例12 求。解 由定积分分部积分法得 6.6 定积分的几何应用下图中阴影区域的面积可以用定积分来计算设图中阴影区域的面积为，有例13 求曲线与直线围成的平面图形的面积。解 平面区域如图所示解方程组得曲线与直线的交点为和。设所求面积为 6.8 广义积分定义6.2 设函数在区间上连续，如果极限存在，则称此极限值为函数在上的无穷积分，记为此时，称无穷积分收敛。如果极限不存在，则称无穷积分发散。类似定义定义6.3 设函数在区间上的无穷积分定