二项式系数的性质及应用.ppt

1 3 2二项式系数的性质及应用 二项式定理 a b n Cn0an Cn1an 1b1 Cnkan kbk Cnnbn 展形式的第k 1项为 Tk 1 Cnkan kbk 1 杨辉三角 展开式中的二项式系数 如下表所示 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 对称 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 杨辉三角 九章算术 杨辉 详解九章算法 中记载的表 杨辉三角 类似上面的表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 这个表称为杨辉三角 在书中 还说明了表里 一 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家帕斯卡 1623 1662 首先发现的 他们把这个表叫做帕斯卡三角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 最大值 二项式系数的性质 各二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 二项式系数的性质 例1 证明在 a b n展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 特值法 1 1 x 13的展开式中系数最小的项是 A 第6项 B 第7项 C 第8项 D 第9项 2 一串装饰彩灯由灯泡串联而成 每串有20个灯泡 只要有一个灯泡坏了 整串灯泡就不亮 则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 A 20 B 219 C 220 D 220 1 C D 练习 4或5 例2 例2 例2 2 1094 1093 练习 小结 求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值 然后解方程组整体求解 例3 在 3x 2y 20的展开式中 求系数最大的项 杨辉三角的其它规律 第0行1 1 杨辉三角的第2k 1行的各数字特点 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行1615201561 第n 1行1 1 第n行1 1 第7行172135352171 杨辉三角的第2k 1行 k是正整数 的各个数字都是奇数 质数的积 第0行1 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行1615201561 第n 1行1 1 第n行1 1 第7行172135352171 2 杨辉三角中若第P行除去1外 P整除其余的所有数 则行数P是 质数 素数 思考1求证 略证 由 1 x n 1 x n 1 x 2n 两边展开后比较xn的系数得 再由得 思考2求证 证明 倒序相加法 试证明在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 即证 证明 在展开式中令a 1 b 1得 启示 在二项式定理中 对a b赋予一些特定的值 是解决二项式有关问题的一种重要方法 赋值法 思考1 略证 由 1 x n 1 x n 1 x 2n 两边展开后比较xn的系数得 再由得 求证 思考2 1 当