矩形菱形与正方形ppt课件

第四章基本图形 一 第20讲矩形 菱形与正方形 学P72 第二篇图形与几何 1 矩形性质和判定 1 性质 对称性 矩形是一个轴对称图形 它有两条对称轴 矩形是中心对称图形 它的对称中心就是对角线的交点 矩形的四个角都是角 矩形的对角线互相平分并且 直 相等 1 2 判定 有三个角是的四边形 是平行四边形且有一个角是 的平行四边形 的四边形 2 菱形性质和判定 1 性质 菱形是一个轴对称图形 它有两条对称轴 菱形是中心对称图形 它的对称中心就是对角线的交点 菱形的四条边都 对角线 且每一条对角线 互相垂直平分 相等 平分一组对角 对角线相等且互相平分 对角线相等 直角 直角 2 2 判定 四条边都的四边形 有一组的平行四边形 对角线的平行四边形 对角线的四边形 3 正方形 1 性质 正方形是一个轴对称图形 它有四条对称轴 又是中心对称图形 它的对称中心就是对角线的交点 正方形的四个角都是 四条边都 两条对角线 并且 每一条对角线 相等 邻边相等 互相垂直 互相垂直平分 直角 相等 相等 互相垂直平分 平分一组对角 3 2 判定 邻边相等的 有一角是直角的 4 平行四边形 矩形 菱形 正方形的关系 矩形 菱形 4 正方形的判定可简记为 菱形 矩形 正方形 其证明思路有两个 先证四边形是菱形 再证明它有一个角是直角或对角线相等 即矩形 或先证四边形是矩形 再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直 即菱形 5 1 2013 德州 下列命题中 真命题是 A 对角线相等的四边形是等腰梯形B 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C 对角线互相垂直的四边形是菱形D 四个角相等的四边形是矩形 2 2013 凉山州 如图 菱形ABCD中 B 60 AB 4 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 A 14B 15C 16D 17 D C 6 3 如图 菱形ABCD的两条对角线相交于O 若AC 6 BD 4 则菱形ABCD的周长是 C A 24B 16C 4D 2 7 4 2013 台湾 如图 四边形ABCD AEFG均为正方形 其中E在BC上 且B E两点不重合 并连结BG 根据图中标示的角判断下列 1 2 3 4的大小关系为 A 1 2B 1 2C 3 4D 3 4 D 8 5 2013 遵义 如图 在矩形ABCD中 对角线AC BD相交于点O 点E F分别是AO AD的中点 若AB 6cm BC 8cm 则 AEF的周长 cm 9 9 学P73 问题 矩形 菱形 正方形都是平行四边形 但它们都是有特殊条件的平行四边形 正方形不仅是特殊的平行四边形 而且是邻边相等的特殊矩形 也是有一个角是直角的特殊菱形 因此 我们可以利用矩形 菱形的性质来研究正方形的有关问题 回答下列问题 1 将平行四边形 矩形 菱形 正方形填入它们的包含关系图中 10 2 要证明一个四边形是正方形 可以先证明四边形是矩形 再证明这个矩形的 相等 或者先证明四边形是菱形 再证明这个菱形有一角是 3 如图菱形ABCD 某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S a2 对此结论 你认为是否正确 若正确 请给予证明 若不正确 举出一个反例来说明 11 解析 1 根据在平行四边形中 邻边相等的是菱形 邻边垂直的是矩形 而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形 可根据此关系来画图 如图 2 根据正方形的判定方法进行解答即可 即两种常见的方法 一组邻边相等的矩形是正方形 一个角是直角的菱形是正方形 填 一组邻边 直角 12 3 本题的证明方法有多种 可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等 将正方形分成两个直角三角形的面积和来求证 也可通过对角线求出正方形的边长来求证 结论正确 证明 S正方形ABCD S AOB S AOD S COD S BOC 4 a a a2 归纳 复习平行四边形 矩形 菱形 正方形的关系 以及性质与判定 13 类型一矩形的性质与判定 例1 2013 铜山 如图 已知E是 ABCD中BC边的中点 连结AE并延长AE交DC的延长线于点F 1 求证 ABE FCE 2 连结AC BF 若 AEC 2 ABC 求证 四边形ABFC为矩形 思路分析 1 利用AAS可得出三角形ABE与三角形FCE全等 2 利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形ABFC为矩形 14 答案 证明 1 E是BC中点 BE CE 四边形ABCD是平行四边形 AB DF BAE CFE 在 ABE与 FCE中 ABE FCE AAS 2 AEC ABE BAE 又 AEC 2 ABC ABE BAE AE BE 由 1 ABE FCE 得AE EF CE FE AE EF BE CE 则AF BC BAE CFE AEB FEC BE CE 15 解后感悟 矩形是特殊的平行四边形 它具有平行四边形的所有性质 同时也具有特殊的性质 同时 判定矩形的方法也是多样的 可以先判定这个四边形是平行四边形 然后判断是矩形 故四边形ABFC为矩形 对角线相等且平分的四边形是矩形 16 1 2013 聊城 如图 四边形ABCD中 A BCD 90 BC CD CE AD 垂足为E 求证 AE CE 答案 略 17 类型二菱形的性质与判定 例2 2013 黄冈 如图 四边形ABCD是菱形 对角线AC BD相交于点O DH AB于H 连结OH 求证 DHO DCO 思路分析 根据菱形的对角线互相平分可得OD OB 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH OB 然后根据等边对等角求出 OHB OBH 根据两直线平行 内错角相等求出 OBH ODC 然后根据等角的余角相等证明即可 18 答案 证明 四边形ABCD是菱形 OD OB COD 90 DH AB OH OB OHB OBH 又 AB CD OBH ODC 在Rt COD中 ODC DCO 90 在Rt DHB中 DHO OHB 90 DHO DCO 解后感悟 本题是菱形的对角线互相垂直平分的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质 以及等角的余角相等 熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键 19 学P74 2 2013 安顺 如图 在 ABC中 D E分别是AB AC的中点 BE 2DE 延长DE到点F 使得EF BE 连结CF 1 求证 四边形BCFE是菱形 2 若CE 4 BCF 120 求菱形BCFE的面积 答案 1 略 2 解 BCF 120 EBC 60 EBC是等边三角形 菱形的边长为4 高为2 菱形的面积为4 2 8 20 类型三正方形的性质与判定 例3如图 在正方形ABCD中 对角线AC BD相交于点O E F分别在OD OC上 且DE CF 连结DF AE AE的延长线交DF于点M 求证 AM DF 思路分析 根据DE CF 可得出OE OF 继而证明 AOE DOF 得出 OAE ODF 然后利用等角代换可得出 DME 90 即可得出结论 21 答案 证明 四边形ABCD是正方形 OD OC 又 DE CF OD DE OC CF 即OF OE 在Rt AOE和Rt DOF中 AOE DOF OAE ODF OAE AEO 90 AEO DEM ODF DEM 90 即可得AM DF 解后感悟 正方形是特殊的平行四边形 还是特殊的矩形 特殊的菱形 因此正方形具有这些图形的所有性质 正方形的判定方法有两条道路 1 先判定四边形是矩形 再判定这个矩形是菱形 2 先判定四边形是菱形 再判定这个菱形是矩形 AO DO AOD DOF OE OF 22 答案 1 只要证明 BEF DGF SAS BF DF 2 BF DF 点F在对角线AC上 AD EF BC BE CF AE AF AE AE BE CF 3 2014 济宁 如图 正方形AEFG的顶点E G在正方形ABCD的边AB AD上 连结BF DF 1 求证 BF DF 2 连结CF 请直接写出BE CF的值 不必写出计算过程 23 类型四特殊平行四边形的综合运用 例4 2014 威海 猜想与证明 如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF 使B C G三点在一条直线上 CE在边CD上 连结AF 若M为AF的中点 连结DM ME 试猜想DM与ME的关系 并证明你的结论 拓展与延伸 1 若将 猜想与证明 中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF 其他条件不变 则DM和ME的关系为 24 2 如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF 使点F在边CD上 点M仍为AF的中点 试证明 1 中的结论仍然成立 25 思路分析 猜想 延长EM交AD于点H 利用 FME AMH 得出HM EM 再利用直角三角形中 斜边的中线等于斜边的一半证明 1 延长EM交AD于点H 利用 FME AMH 得出HM EM 再利用直角三角形中 斜边的中线等于斜边的一半证明 2 连结AE AE和EC在同一条直线上 再利用直角三角形中 斜边的中线等于斜边的一半证明 26 答案 猜想 DM ME证明 如图1 延长EM交AD于点H 四边形ABCD和CEFG是矩形 AD EF EFM HAM 又 FME AMH FM AM 在 FME和 AMH中 FME AMH ASA HM EM 在Rt HDE中 HM EM DM HM ME DM ME EFM HAM FM AM FME AMH 27 1 如图1 延长EM交AD于点H 四边形ABCD和CEFG是正方形 AD EF EFM HAM 又 FME AMH FM AM 在 FME和 AMH中 FME AMH ASA HM EM 在Rt HDE中 HM EM DM HM ME DM ME 故答案为 DM ME EFM HAM FM AM FME AMH 28 2 如图2 连结AE 四边形ABCD和ECGF是正方形 FCE 45 FCA 45 AE和EC在同一条直线上 在Rt ADF中 AM MF DM AM MF 在Rt AEF中 AM MF AM MF ME DM ME 解后感悟 本题是四边形的综合题 解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段 29 1 连结EF 当EF经过AC边的中点D时 求证 ADE CDF 2 填空 当t为s时 四边形ACFE是菱形 当t为s时 以A F C E为顶点的四边形是直角梯形 4 2013 河南 如图 在等边三角形ABC中 BC 6cm 射线AG BC 点E从点A出发沿射线AG以1cm s的速度运动 同时点F从点B出发沿射线BC以2cm s的速度运动 设运动时间为t s 6 30 答案 1 证明 AG BC EAD ACB D是AC边的中点 AD CD又 ADE CDF ADE CDF 2 当四边形ACFE是菱形时 AE AC CF EF由题意可知 AE t CF 2t 6 t 6 若四边形ACFE是直角梯形 此时EF AG过C作CM AG于M AM 3 可以得到AE CF AM 即t 2t 6 3 t 3 此时 C与F重合 不符合题意 舍去 31 若四边形AFCE是直角梯形 此时AF BC ABC是等边三角形 F是BC中点 2t 3 得到t 经检验 符合题意 32 学P75 课本改变题 教材母题 浙教版八下第147页 作业题第5题 试题 1 如图1 在正方形ABCD中 点E F分别在边BC CD上 AE BF交于点O AOF 90 求证 BE CF 33 2 如图2 在正方形ABCD中 点E H F G分别在边AB BC CD DA上 EF GH交于点O FOH 90 EF 4 求GH的长 34 3 已知点E H F G分别在矩形ABCD的边AB BC CD DA上 EF GH交于点O FOH 90 EF 4 直接写出下列两题的答案 如图3 矩形ABCD由2个全等的正方形组成 求GH的长 如图4 矩形ABCD由n个全等的正方形组成 求GH的长 用n的代数式表示 35 分析与解 1 证明 如图1 四边形ABCD为正方形 AB BC ABC BCD 90 EAB AEB 90 EOB AOF 90 FBC AEB 90 EAB FBC ABE BCF BE CF 36 2 解 如图2 过点A作AM GH交BC于M 过点B作BN EF交CD于N AM与BN交于点O 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形 EF BN GH AM FOH 90 AM GH EF BN NO A 90 故由 1 得 ABM BCN AM BN GH EF 4 3 8 4n 37 方法与对策 这题是从特殊到一般的规律探究题 从课本题出发逐步提出问题 解决问题 然后根据这些解题体验 领悟解题方法 再来解决一般性问题 这是中考命题热点之一 平时学习要重视一些典型的基本图形 由于思维定势 对问题考虑不全 问题 若正方形ABCD的边长为4 E为BC边上一点 BE 3 M为线段AE上一点 射线BM交正方形的一边于点F 且BF AE 则BM的长为 分析 只凭主观印象作出结论 漏掉另一种情况 这里由条件 射线BM交正方形的一边 可知 F有在边AD上和CD上两种情况 38 正解 由题中射线BM交正方形的一边于点F知有如下两种情形 BM 或 39 第1题图 1 如图 矩形纸片ABCD中 AB 6cm BC 8cm 现将其沿AE对折 使得点B落在边AD上的点B1处 折痕与边BC交于点E 则CE的长为 A 6cmB 4cmC 2cmD 1cm C 40 2 如图 在 ABC中 ACB 90 BC的垂直平分线EF交BC于点D 交AB于点E 且BE B