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外接球四种模型 1 模型1长方体外接球问题 已知长方体的长宽高分别为a b c 则长方体外接球直径的平方等于长宽高的平方和 一般题目不会直接告诉你是长方体的外接球类型 必须自己去类比分析 只要出现两两垂直的三条棱都可以用 2 例1 在棱锥P ABC中 侧棱PA PB PC两两垂直 Q为底面 ABC内一点 若点Q到三条侧棱的距离分别为2 2 则以线段PQ为直径的球的表面积为 到三条侧棱的距离恰好是以PQ为对角线的长方体三个相邻面上的三条对角线 则可得 此题可改为Q到三个侧面的距离 做题时多利用长方体 可简化问题 3 例2四面体ABCD中 已知AB CD AC BD AD BC 则四面体ABCD的外接球的表面积为 在长方体中恰好存在相对棱相等的四面体 三条棱恰好可作为长方体的三条对角线 正四面体就可以放入正方体之中 利用类似方法可以很快求出正四面体外接球半径 4 模型2三点共线型 当棱锥顶点 外接球球心 底面小圆圆心 三点共线时如图 根据勾股定理可得 此模型注意一定是三点共线才能用 所有正棱锥都是三点共线 只要题目中有提到棱锥的每条侧棱都相等 或者顶点在底面投影是底面的中心之类 都属于三点共线 还有那种底面固定 体积最大问题有些也是三点共线 在利用公式的时候 棱锥的高比半径大或者小都可以用 5 6 例4 代入公式可得 7 8 此题可用第一种模型构造长方体 两两垂直的棱刚好是长方体的三条棱 也可以用第三种模型 构造长方体 利用第三种模型 9 模型4两个面垂直 如图 侧面PAC 底面ABC 侧面圆心 球心 底面圆心 公共棱中点恰好构成矩形 利用勾股定理可
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