矩形菱形.doc

典型例题一例01如图，已知：在矩形ABCD中，E在DC上，且. 求：的度数. 分析：因为四边形ABCD是矩形，我们可以得到4个直角和2对相等的线段. 那么因为有，可求出的度数. 因而可求出的度数. 再由已知条件可求出的度数. 则也可求出的度数. 解答：四边形ABCD是矩形 在中，（已知）， （已知）， 典型例题二例题02 如图1，矩形中，交于，矩形的周长为22，求的长分析 要求的长，必须求出的长，由，可证明，这样就可证得，利用矩形的周长及的长，就可是求出的长解 四边形是矩形， 图1在和中， 在中典型例题三例题03 如图1，在矩形中，为的中点，垂足为，且，求的长分析 利用的面积与矩形的面积之间的关系可求出，所以要连结解 连结四边形是矩形图1在中， 典型例题四例题04如图，已知：在矩形ABCD中，DF平分，交AC于E，交BC于F，. 求：和的度数. 分析：四边形ABCD是矩形，那么它的两条对角线把它分成了四个直角三角形和四个等腰三角形. 由已知DF平分可得，. 又有，是等边三角形，. 在中，故，是以为顶角的等腰三角形，因此可求得的度数. 解答：DF平分直角， 又 （矩形的对角线相等且互相平分）， 是等边三角形. ，. 又在中， ，说明 矩形的对角线总可以将矩形化为直角三角形和等腰三角形，解题时要注意利用这些特殊三角形的性质. 典型例题五例05已知：如图，矩形ABCD，延长CB到E，使，F是AE的中点. 求证：. 证法1 如图，连结CF. ，F为AE中点， 在矩形ABCD中，. F为AE的中点， ，即在和中， 即 证法2 如图，延长DA交BF的延长线于点G，连结BD. 在矩形ABCD中，F是AE的中点，易证 则 ，. 即是等腰三角形. 说明 根据条件添加辅助线是关键典型例题六例题06 如图1，中，以为斜边作，又为直角求证：四边形是矩形。分析 因为平行四边形的对角线互相平分，所以点既是斜边的中点，又是斜边的中点，因此连结，不难证明图1证明 连结四边形是平行四边形，是直角三角形，同理：，又四边形是平行四边形四边形是矩形典型例题七例07求证：平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形. 已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H. 求证：四边形EFGH为矩形. 证明：四边形为平行四边形. . BE，CE分别为，的平分线， ，. 同理可证：， 四边形EFGH为矩形. 说明 本题考查矩形的判定定理，易错点是忽视写已知和求证. 解题关键是证四边形的三个角是直角. 典型例题八例08（山西省，2000）已知：如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，求的面积. 解答：在矩形ABCD中，当矩形ABCD沿着直线BD折叠后，与关于直线BD对称. . 作于F，则设. ，在中，在中， 说明 本题是矩形的折叠问题，易错点是对是等腰三角形认识不足，解题关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析. 典型例题九例09 求证等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于定值已知：如图1，在中，为上任意一点，垂足分别为、求证：是定值分析 这种例题首先要探求出这个定值，由于是底边上一个动点，那么它的极端位置当然是在端点上了，不妨设点运动到点，此时，为腰上的高（高是不变量）那么下面就只须证明等于一腰上的高就可以了证法一 如图1，连结，过点作，垂足为，又，图1 即为定值证法二 如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，四边形是矩形，图2，在和中 即为定值证法三 如图3，过点作，垂足为，过点作交的延长线于，四边形是矩形， ， 图3在和中 即为定值说明 证法（一）用三角形的面积公式求解，此法新颖、简捷由此可见三角形的高不离积（面积），有关三角形的高（高的长度）的问题可以考虑用面积法探索其解（证）法典型例题十例10如图，已知：在菱形ABCD中，于E，于F. 求证：. 分析：要证明，可以先证明. 则根据菱形的有关性质不难证出，从而可以证得本题. 证明： 四边形ABCD是菱形， （菱形的四条边相等），（菱形的对角相等）. 在和中， （全等三角形的对应边相等）又 （菱形的四条边都相等） ，即典型例题十一例11已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，求的度数. 解答：连结AC. 四边形ABCD为菱形，. 与为等边三角形. ， ，为等边三角形. ， 说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证. 典型例题十二例12如图，在中，AD是角平分线，CH是高，交AD于F，于E. 求证：四边形CDEF是菱形. 证明：，又，又， ， ，四边形CFED为平行四边形. ，CFED是菱形. 说明 本题考查菱形的判定，易错点是不先证四边形CFED是平行四边形. 典型例题十三例13 如图，已知中，垂足为，平分交于，交于，过点作，垂足为，连结求证：四边形是菱形分析 要证四边形是菱形，由已知条件平分，可证所以，只须证四边形是平行四边形，证明平行四边形的方法很多，这里给出此题三种证法证法一 平分， ， ， 四边形是平行四边形 四边形是菱形证法二 平分 在和中 ，在和中 ， 四边形是菱形证法三 如图，连结交于平分 ，在和中 平分 垂直平分， 平分与互相垂直平分 四边形是菱形典型例题十四例14 如图2，在中，为的中点，四边形是平行四边形求证：与互相垂直平分分析 要证明与互相垂直平分，只要证明四边形是菱形所以要连结证明 在中，为的中点四边形是平行四边形图2，四边形是平行四边形 是菱形 与互相垂直平分典型例题十五 例15 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且求证：垂直平分分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分证明：四边形、都是矩形，四边形是平行四边形，在和中 ，四边形是平行四边形四边形是菱形平分 平分 垂直平分典型例题十六 例16 如图，中，、在直线上，且求证：分析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论证明 四边形是平行四边形，在和中 同理： 四边形是平行四边形 四边形是菱形选择题1若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且此菱形的面积为S，则它的边长为（ ）A B C D2（怀化市，2001）要画一个周长是的长方形，要求长是宽的2倍，则长和宽分别是（ ）A B C D3已知一边长为的矩形面积与一个腰长为的等腰直角三角形的面积相等，则矩形的周长为（ ）A B C D4（河北省，2001）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）A BC D5（呼和浩特市，2001；宁夏，2002）下图中的是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实践、虚线在内）共有全等三角形（ ）A2对 B3对 C4对 D5对6（济南市，2001）同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）. A顺时针旋转得到 B顺时针旋转得到C逆时针旋转得到 D逆时针旋转得到7（济南市，2001）某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条. 如图所示，在中，依次裁下宽为的矩形纸条，若使裁得的矩形纸条的长都不小于，则每张直角三角形彩纸裁成的矩形纸条的总数是（ ）A24 B25 C26 D278（聊城市，2001）以下是一道题目及解答过程：已知：如图，从菱形ABCD对角线的交点O分别向各边引垂线，垂足分别是E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：四边形ABCD是菱形， ， 又 ， . OH、OG分别是和斜边上的高， . 同理，则. EG与HF相等且互相平分. 四边形EFGH是矩形. 以上证明过程 （ ）A到有错误 B到有错误C到有错误 D没有错误参考答案：1D 2A 3B 4B 5C 6D 7C 8C 填空题1（呼和浩特市、贵阳市，2001）菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为_，面积为_. 2（河南省，1999）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，垂足为E，则_. 3如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则_，_. 4如图，矩形ABCD中，垂足为E，O到AD的距离是，则_，_，_. 5（绍兴市，2001）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，分别以点A、C为圆心，AO、CO长为半径画圆弧，交菱形各边于点E、F、G、H. 若，则图中阴影部分的面积是_. 6菱形的周长为，高为，一条对角线长为，则另一条对角线长可表示为_. 7（上海市，2002）用长为的铁丝制成一个矩形，其面积为，那么这个矩形的对角线长为_. （结果保留根号）8（泰州市，2002）如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知，则EC的长是_. 9（陕西省，2002）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，DC上，. 若，且，则阴影部分EBFD的面积为_. 10（北京市怀柔区，2002）如图，已知：矩形ABCD中，以AB为直径作半圆切CD于E，且，则图中阴影部分的面积为_. 11（太原市，2002）如图是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：米）. 房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是元/，则买砖至少需用_元（用含，的代数式表示）12（贵阳市，2002）如图，ABCD为菱形，对角线BD长为，则此菱形的周长是_. 13（南通市，2002）已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是_. 14（呼和浩特市，2002）已知菱形较大角是较小角的3倍，并且高为，那么这个菱形的面积是_. 15（江西省，2001）现有一张长为、宽为的长方形纸片（如图所示），要从中剪出长为、宽为的长方形纸片，则最多能剪出_张. 参考答案：15，24 2 3， 4，5 6 7 83 924 10 11 1228 1320 14153解答题1如图，M，N分别是ABCD的对边AD，BC的中点，且. 求证：PMQN为矩形. 2如图，矩形ABCD对角线相交于点O，CE交于E. 求证：四边形DOCE是菱形. 3菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于O，从点O向AB，BC，CD，DA四边引垂线，垂足分别为E、F、G、H. 求证：四边形EFGH为矩形. 4如图，M是ABCD边AD的中点，且，求证：这个平行四边形是矩形. 5如图，已知ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC，AC分别交于E，F，O. 求证：四边形AFCE是菱形. 参考答案：1连MN，先证PMQN为平行四边形，再证ABNM为菱形，得. 故PMQN为矩形. 2易证DOCE是平行四边形，而，故得证菱形3先证，再证E，O，G在一条直线上，F，O，H在一条直线上. 4证明： 四边形ABCD是平行四边形，又M是AD中点，. ， . . 四边形ABCD是矩形. 5证明：在ABCD中，. . ，垂直平分AC，. ，四边形AFCE是菱形. 解答题用两种方法解答下列各题：1等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高. 2等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高. 3已知：如图，菱形ABCD，F在AC上，DF交AB于E. 求证：. 参考答案：1写出已知，求证. 可用截长法或补短法，也可以用面积法. 2同1题3证法1 在菱形ABCD中，在和中， . . 证法2 如图，连结BD. 在菱形ABCD中，AC垂直平分BD. . ， . 解答题1（北京市东城区，2001）已知：如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F. 求证：四边形AFCE是菱形. 2（无锡市，2001）如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，连结BE、CE. 求证： 是等腰三角形. 3如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分，若，求的度数. 4如图，四边形ABCD是矩形，H为垂足，AE是的平分线，交HC的延长线于E. 求证：. 5如图，在矩形ABCD中，四个内角平分线相交于E，F.若，求EF的长. 6如图，O为矩形ABCD对角线交点，过O作分别交AD，BC于F，E，若，求四边形AECF的面积. 7过平行四边形对角线交点引互相垂直的两条直线分别与四边相交. 试判断顺次连结四个交点所组成的四边形是什么四边形？并证明你的结论. 8如图，等腰中，M是BC的中点，于D，于E，于G，于F，DG与EF相交于N. 求证：四边形DMEN是菱形. 9已知：如图，四边形ABCD中，M是AC的中点，于E，与MD的平行线BN相交于N，连ND. 求证：四边形BNDM是菱形. 10如图，在中，D，E在BC边上，且，G，F分别为AB，AC上的点，四边形DEFG是菱形，DF与EG相交于O. 求证：四边形AGOF是矩形. 11已知：. 求证：以为边的四边形为菱形. 12已知：如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，且，.求证：. 13（陕西省，2002）阅读下面短文：如图（1），是直角三角形，现将补成矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ABCD和矩形AEFB（如图（2）. 解答问题：（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，则_（填“” ，“”，或“”）（2）如图（3），是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图（3）把它画出来. （3）如图（4），是锐角三角形且三边满足，按短文中的要求所它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图（4）把它画出来. （4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？14（河北省，2002）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的长均为，竖直方向的边长均为）：在图（1）中，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）；在图（2）中，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（