19、微扰法.ppt

5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page1 近自由电子模型是计算晶体能带的诸多近似方法之一 一 近自由电子模型晶格周期势场起伏很小 弱周期势 使电子的行为接近自由电子时采用近自由电子近似模型的处理方法 作为零级近似 可用势场的平均值V0代替晶格势V r 微扰法 把周期势的起伏V r V0作为微扰处理 Page2 设由N个原子组成的一维晶格 基矢为 一维晶格中电子的薛定谔方程方程为 倒格子基矢为 将周期势展成付里叶级数 V x 晶格周期势 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page3 展开系数 V0是展开系数中n 0项的系数 它等于势场的平均值 即 由于V x 是实数 因而级数的系数满足 按照微扰理论 单电子哈密顿量写成如下形式 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page4 其本征能量和零级归一化波函数为 一般取V0等于0 代表周期势场的起伏 当作微扰项 可得零级近似 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page5 式中的k在周期性边界条件下只能取 即零级近似是自由电子 故称为自由电子近似 对于更高级次的解 可用微扰理论求得 二 微扰计算 按照量子力学的微扰理论 电子的能量可写为 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page6 上式表明晶格微扰项对电子能量的一级修正项为零 能量的二级修正项等于 其中微扰矩阵元 计算如下 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page7 按原胞划分写成 对不同原胞引入积分变换 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page8 上式加式内各项均为1 因此 两种情况 加式内各项可用几何级数计算 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page9 而 上式分子为 分母不为零 且 为V x 付里叶展开系数 因此有 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page10 若只考虑到电子能量的二级修正项 则能量为 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page11 需改用简并微扰的方法 与 14 式相对应是 这正是发生布拉格反射的劳厄条件 入射波矢k在倒格矢Kh方向上的投影应为Kh长度的一半 即k的端点应落在Kh的垂直平分面上 两边取平方 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page12 相应的一级近似波函数为 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 Page13 上式表明 考虑弱周期势的微扰 显示了波函数从自由电子的平面波向布洛赫波的过渡 17 式第一部分代表波矢k的前进平面波 第二部分代表电子在行进过程中受到周期势场的散射作用所产生的散射波 5 2一维晶格中的近自由电子近似 微扰法 本节结束 Page14 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 由于在零级近似解中 能量E是k的二次函数 即 这两个状态能量相等 属于简并态的情况 必须用简并态微扰理论来讨论 零级近似的波函数是相互简并的零级波函数的线性组合 可以写成 上式第一项为前进波 第二项为反射波 两者波长相等 将上式代入薛定谔方程 Page15 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page16 得到两个线性方程组 和 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page17 方程组有非零解的条件 由此解得能量本征值为 把能量本征值分别代入 5 式 可求得系数A和B 即可求出对应能量本征值的本征函数 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page18 在布里渊区界面附近 零级近似的波函数 1 式仍然成立 故 7 式变为 Tn代表自由电子在布里渊区边界处的动能 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page19 在布里渊区界面上 有 下面分三种情况讨论布里渊区附近的情况 上式表明 简并的状态受到周期场的微扰作用后 能级发生分裂 产生能隙 能隙即禁带宽度 禁带宽度由周期势场付里叶级数的系数Vn决定 表明禁带的出现是电子在周期场中运动的必然结果 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page21 2 当 时 即k极接近布里渊区界面时 由于 利用二项式定理可将 8 式化成 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page22 即 上式表示 当 右图给出了在k a 分别以抛物线方式趋于 和 附近 E k 随k的变化情况 讲义5 36 5 37式 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page23 已可适用于非简并微扰理论 电子的能量与自由电子能量逐浙相当 同上节非简并微扰结果相近 总结以上内容 要点是 在k n a处 布里渊区边界上 电子的能量出现禁带 禁带宽度为2 Vn 在k n a附近 能带底的电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线 能带顶是向下的抛物线 在k远离n a处 电子的能量与自由电子的能量相近 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page24 能带的表示图式 根据能带En k 是k的周期函数这一特点 表示En k 与k的关系的图示有以下三种 1 简约区图式 把k限制在第一布里渊区中 对于每一个k值 各能带都有一个相应的能量E1 k E2 k 每个能带都在布里渊区中表示出来 2 重复图式 取每个能带在第一布里渊区的图形作周期性重复 3 扩展区图式 按照能量的高低 把各能带分别限制在第一 第二 第三 布里渊区 这样能量便是k的单值函数 一个布里渊区表示一个能带 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page25 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 Page26 能带中E k 函数在k空间的特性 1 周期性 即能量是k的周期函数 在倒易空间具有倒格子的周期性 即相差一个倒格矢的两个状态是等价的 这可证明如下 因为布洛赫函数 令 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 式左右两侧差位相 它也是a的周期函数 故 Page27 是k的周期函数 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 可见 k与k 2n a这两个状态不是独立的 任何依赖于波矢k的可观察的物理量在状态 和 都有相同的数值 如代表相同的电荷分布 两个波函数所描述的状态差别仅在于其相位相差 即能带必须是k的周期函数 周期由倒格子基矢确定 Page28 5 3一维晶格中电子的布拉格反射 另外 将波矢 由于 代表相同的电子态 应当有相同的本征值 即应