全国版高考数学不等式选讲2证明不等式的基本方法课时提升作业.docx

证明不等式的基本方法(45分钟60分)1.已知ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b.【证明】2a3-b3-(2ab2-a2b)=(2a3-2ab2)+(a2b-b3)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a+b)(a-b)(2a+b),因为ab0,所以a+b0,a-b0,2a+b0,所以(a+b)(a-b)(2a+b)0,所以2a3-b3-(2ab2-a2b)0,所以2a3-b32ab2-a2b.2.(2016长沙模拟)设函数f(x)=|x+a2|+|x-b2|,其中a,b为实数.(1)若a2+b2-2a+2b+2=0,解关于x的不等式f(x)3.(2)若a+b=4,证明:f(x)8.【解析】(1)由a2+b2-2a+2b+2=0,可得(a-1)2+(b+1)2=0,故a=1,b=-1;于是有f(x)=|x+1|+|x-1|=所以f(x)3的解集为.(2)f(x)=|x+a2|+|x-b2|a2+b2|=a2+b2,由于a2+b22ab,所以2(a2+b2)(a+b)2=16,故a2+b28,即f(x)8得证.【加固训练】已知实数x,y满足:,求证:.【证明】因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|,|2x-y|,从而3|y|+=,所以|y|.3.设a,b,c均为正实数,试证明不等式+,并说明等号成立的条件.【证明】因为a,b,c均为正实数,所以,当且仅当a=b时等号成立;,当且仅当b=c时等号成立;,当且仅当a=c时等号成立.三个不等式相加,得+,当且仅当a=b=c时等号成立.4.(2016洛阳模拟)已知a,b(0,+),a+b=1,x1,x2(0,+).(1)求+的最小值.(2)求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)x1x2.【解析】(1)因为a,b(0,+),a+b=1,x1,x2(0,+),所以+3=33=3=6.当且仅当=,a=b,即a=b=且x1=x2=1时,+有最小值6.(2)方法一:因为a,b(0,+),x1,x2(0,+),由柯西不等式可得:(ax1+bx2)(ax2+bx1)=()2+()2()2+()2(+)2=(a+b)2=x1x2,当且仅当=,即x1=x2时取得等号.方法二:因为a,b(0,+),a+b=1,x1,x2(0,+),所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)=a2x1x2+ab+ab+b2x1x2=x1x2(a2+b2)+ab(+)x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2)=x1x2(a2+b2+2ab)=x1x2(a+b)2=x1x2,当且仅当x1=x2时,取得等号.5.(2016唐山模拟)设不等式-2|x-1|-|x+2|0的解集为M,a,bM.(1)证明:.(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.【解析】(1)记f(x)=|x-1|-|x+2|=由-2-2x-10,解得-x,则M=.所以|a|+|b|+=.(2)由(1)得a2,b20,所以|1-4ab|24|a-b|2,故|1-4ab|2|a-b|.【加固训练】已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)8.(2)若|a|1,|b|a|f.【解析】(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当x-3时,由-2x-28,解得x-5;当-3x|a|f,即证|ab-1|a-b|.因为|a|1,|b|0,即|ab-1|a-b|.故所证不等式成立.6.已知ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,证明:B为锐角.【证明】要证明B为锐角,根据余弦定理,也就是证明cosB=0,即需证a2+c2-b20.由于a2+c2-b22ac-b2,要证a2+c2-b20.只需证2ac-b20.因为a,b,c的倒数成等差数列,所以+=,即2ac=b(a+c).所以要证2ac-b20.只需证b(a+c)-b20,即b(a+c-b)0.上述不等式显然成立.所以B必为锐角.【加固训练】1.已知a0,求证:-a+-2.【证明】要证-a+-2,只需证+2a+,只需证a2+4+4a2+2+2+2,即证2,只需证42,即证a2+2,此式显然成立.所以原不等式成立.2.(2016芜湖模拟)已知a,b为正实数.(1)求证:+a+b.(2)利用(1)的结论求函数y=+(0x0,b0,所以(a+b)=a2+b2+a2+b2+2ab=(a+b)2.所以+a+b,当且仅当a=b时等号成立.方法二:因为+-(a+b)=.因为a0,b0,所以0,当且仅当a=b时等号成立.所以+a+b.(2)因为0x0,由(1)的结论,函数y=+(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x,即x=时等号成立.所以函数y=+(0x1)的最小值为1.3.(2016保定模拟)设函数f(x)=|x-a|+1,aR.(1)当a=4时,解不等式f(x)0,n0),求证:m+2n3+2.【解析】(1)方法一:当x4时2x+1-(x-4)=x+50得x-5,所以x4成立,当-x0得x1,所以1x4成立,当x0得x-5,