高数一笔记.doc

降幂公式： 当x-0时 （对数肩膀可提前，重要极限二）a(x+b2a)2+c-ab2a211.12部分例题：11.13部分例题：10.14部分例题：11.15部分例题：11.16例题：幂指函数求导抽象的复合函数求导：11.17例题：高阶导数：求两次导以上（平均速度）=（瞬时速度）=加速度例：例：y=ax+b求y y=a y=0例：y=cosnx求y y=-nsinnx y=-n2cosnx例：y=esinx ，求y y= esinx *cosx y= esinx*cos2x- esinx *sinx= esinx (cos2x-sinx)例：y=xlnx ，求 y y=lnx+1 y=例：y=ex y(n)=ex例：y=x5 y=5x4 y=5*4x3 y=5*4*3x2 y(4)=5*4*3*2x y(5)=5*4*3*2*1=5!(xn)(n)=n! (xn)(n+1)=0例：Y=5x10+3x8-7x+9 ，求y(10) y(10)=5*10!例：Y=(x2+1)10(x9+x3+1)，求y(30)=0例：Y=sinx，求y(n) =sin(x+n*)Y=cosx=sin(x+) y=cos(x+)=sin(x+)=sin(x+2*) y=cos(x+2*)=sin(x+3*) y(n)=sin(x+n*)例：Y=cosx，求y(n)=cos(x+n*)例：设f(x)的n-2阶导数f(n-2)(x)=x/lnx，求f(n)(x)11.18笔记Dy=f(x)*dx-线性主部 dx-自变量的微分例1：例2：例3：例4：例5：微分：dy=f(x)dx微商：=分子、分母做微分，再约去dx，结果无dx例6：例7：第三章重点：1、导数的定义及其几何意义（平面曲线的切线和法线）2、函数可导与连续的关系3、函数的各种求导法则（四则运算、复合函数、反函数）4、基本初等函数的导数5、高阶导数6、微分的定义和微分的基本公式及运算法则7、经济学中的边际函数和弹性函数讲解：1、函数的导数（1）导数的定义例： 法一：法二：（2）、基本求导公式、求导法则例：（3）幂指函数求导 例：（4）单侧导数（左导存在，右导存在，且左导=右导）例：11.19笔记（5）、高阶导数例：（6）可导=可微 ， 可导- 连续-极限（7）微分 微商例：P154 第四章 微分中值定理和导数的应用1、弗马引理：极值点处的导数为02、罗尔定理：（是拉格朗日定理的特例）几何意义：过一个曲线弦，过一点作一条切线，这一条切线是水平的，这一条切线的斜率等于0驻点：使得导数为0的点称为驻点。F(x0)=0，x0为驻点。例：判断函数f(x)=x2-2x-3在-1,3上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。分析：（1）基本初等函数连续，f(x)在-1,3上连续；（2）函数的定义域是R，（-1，3）属于于R，是可导的；（3）f(-1)=1+2-3=0 f(3)=9-6-3=0 区间端点的函数值相等。可推出函数f(x) =x2-2x-3在-1,3上满足罗尔定理条件。求驻点：f(x)=2x-2=2（x-1） 令2（x-1）=0 =x=1解：例：设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断f(x)=0时有几个实根，并指出这些根所在的区间。解：11.20笔记罗尔定理的课后三个习题：习题1：习题2：习题3：拉格朗日中值定理=微分中值定理1、2、几何意义：过一个曲线弦，过一点作一条切线，这一条切线是平行的。罗尔：闭连、开导、端点函数值相等，使得导数为0拉格朗日中值定理：闭连、开导，使得导数=函数的改变量/自变量的改变量例1：f(x)=sinx,0,p/2，是否满足拉格朗日中值定理解：证明2：arcsinx+arccosx=P/2， -1,1结论1：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数结论2：假设在区间I上有两个函数的导数处处相等，则这两个函数之间至多相关一个常数。如：x2+5，x2+6，x2=导数=2x例3：设函数f(x)=ekx，在区间-1，1满足罗尔定理，求K。解：e-k=ek 推出 K=0例4：函数f(x)=x3+2x，在0,a满足拉格朗日中值定理，求点=解：复合函数求导例题：1、2、11.22笔记4.2 洛必达法则（5-7分计算题）求导解决极限的问题。使用洛必达的条件：1、使用范围：2、分子和分母都有导数3、分母的导数不为04、导数比的极限存在例1：例2：例3： ex-1x例4： ln(1+x)x例5： （1+x）a-1ax例6：例7：例8：例9：例10： 最后一步用除以最高次例11：例12：例13：例14：例15：无穷-无穷型，通分例16：例17：11.23笔记例1：例2：例3：例4：P173 4.3节 函数的单调性判断函数的单调性的步骤：1、判断原函数的定义域2、求一阶导数3、找点（1）找驻点，即使一阶导数为0的点（2）找导数不存在的点4、根据点划分区间，确定在各区间内一阶导数的正负号，讨论原函数的单调性。例1：求y=ex-x-1的单调性Y=ex-1（定义域为R）当x属于（-无穷，0）时，y0，单调增加11.24笔记例1：y=2x3-9x2+12x-3的单调性。解：y=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-2)(x-1)令y=0，得：x=1，x=2原函数定义域为R把各区间内数值代入到y，确定y正负号，推出原函数的单调性。x负无穷，111，222，正无穷f(x)+0-0+f(x)单增单减单增例2：x负无穷，000, 正无穷f(x)-+f(x)单减单增例3：当x0，证明：xln(1+x)这个不等式成立证明：例4：P94习题2.411.25笔记P180 4.5节 函数的极值与最值极值（局部）： 最值（整体）：第一充分条件：设函数f(x)在x0处是有导数，且在x0处取得极值，则f(x0)=0找极值点：（1）驻点，即一阶导数为0的点，0也是一阶导数的一个根。（2）不可导点可导函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。求极值的步骤：（1） 判断原函数的定义域（2） 求一阶导数（3） 找极值点：（1）令一阶导数为0的点（2）不可导点（4） 检查左右符号（5） 把极值点代入原式求极值例1：求f(x)=x3-3x2-9x+5的极值解：x负无穷，-1-1-1,333，正无穷f(x)+0-0+f(x)单增极大值=10单减极小值=-22单增第二充分条件：（二阶导数）F(x)0，极小值点要求：（1）f(x)=0 （2）f(x)0例2：求出x3+3x2-24x-20的极值解：例3：求的极值解： 找最值点： 求最值：把四点代入原式进行比较例4：求y=2x3+3x2-12x+14在-3，4上的最大值、最小值。解：实际问题求最值：（1） 建立目标函数（2） 求最值例5：由直线y=0，x=8，及抛物线y=x2围成的一个曲边三角形，在曲边y=x2上求一点使曲线在该点处的切线与直线y=0及x=8所围成的三角形面积最大。解： 8B（8，）A()题：题：11.26笔记P145 第3.6节 导数和微分在经济学中的简单应用1、边际分析边际成本MC=（成本）边际收入MR=（收入）边际利润ML=（利润）L（x）=R(X)-C（X）即总利润=总收入-总成本L(X)= R(X)-C（X）ML=MR-MC边际利润=边际收入-边际成本例1：总成本=1500+1/1200*q2百元，求q=900件时的边际成本。解：边际成本C（q）=（1500+1/1200*q2）=1/1200*2q=1/600q将q=900，代入C(q)=900/600=1.5即，当q从900件改变1件时，成本要改变150元。例2：设产品的销量Q与价格p之间的关系p=150-0.01Q元，求收益函数及当Q=100件时的总收益与际收益。解：收益函数R（X）=Q*p=(150-0.01Q)Q=150Q-0.01Q2当Q=100件时的总收益：R（100）=150*100-0.01*1002=15000-100=14900元边际收益MR=R（X）（150Q-0.01Q2）=150-0.02Q当Q=100件时的边际收益：MR=150-0.02*100=148元/件P147 2、弹性分析（弹性函数）定义：函数y=f(x)在点x0处的弹性。（1）需求价格弹性：（2）供给价格弹性：例1：例2：设某商品的需求函数为D(P)=75-P2，求当p=4时的需求价格弹性和收益价格弹性。P151习题解：P176 4.4节 曲线的凹凸性和拐点单调性：（极值点）凹凸性：f(x)0, 凹 F(x)0, 凸例1：判断y=x3凹凸性解：y=3x2，y=6x，令y=0=x=0当x0，y0，y0，所以曲线在（0，正无穷）是凹的找拐点：（1）二阶导数不存在的点（2）二阶导数为0的点例2：求曲线y=3x4-4x3+1的拐点和凹凸区间。解：x负无穷，000,2/32/33，正无穷f(x)+0-0+f(x)凹0,1凸（2/3,11/27）凹例3：f(x)在一个区间内恒有f(x)0，f(x)0=单增 f(x)0，f(x)单增 ；f(x)x=3x3时，f(x)为正数，f(x)为单调增加x0时，证明：求极值的步骤：1、求f(x)，或f(x) 2、找极值点：（1）导数为0的点（驻点）（2）不可导点 3、将极值点代入原式求极值例6：求y=2ex+e-x的极值解：可导函数的极值点一定是驻点。例7：当x=1时，函数y=x3+3px+1取得极值，常数P=-1解：y=3x2+3p，当x=1时，令y=0,即3x2+3p=3+3p=0=p=-1凹凸性与拐点凹凸性的判断：y0，凹； y0）时的凹凸性解：例9：求曲线y=x3+3拐点的个数解：y=3x2 y=6x 令y=0 =6x=0，即x=0当x0时，y0，函数为凹的当x0时，y=0，与x轴的x=a、x=b围成图形（曲边梯形）的面积：分割、选点、近似、求和、取极限1、P264定积分的概念：定理：（1）f(x)在a,b连续，则f(x)在a,b可积 （2）f(x)在a,b有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b可积2、在定积分的定义中，规定了ab，如果ab，补充规定：（1）（2）3、定积分的基本性质：假设f(x)，g(x)在a，b上均可积，则有：1、：和差的积分=积分的和差2、：常数不参加运算，可提前3、：积分区间的可加性4、5、6、：积分中值7、8、估值不等式：积分值大致范围设M及m是f(x)在a,b的最大值、最小值，则： 例1：例2：例3：12.10笔记P270 5.7节 微积分基本公式一、变上限积分及其导数公式1、变上限积分：f(x)在a,b上连续，x为a,b上的一点， 每取一个x值，定积分有一个对应值。定理1、例1：例2：例3：（被积函数在上限的值*对上限的导数）例4：例5：例6：例7：12.11笔记例1：例2：例3：例4：解题方法：（负的下限的值*对下限的导数+上限的值*对上限的导数）例5：例6：例7：例8：例9：例10：例11：12.12笔记例12：牛顿-莱布尼茨公式：（原函数的上限值-下限值）假设f(x)是a,b上的连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则例1：例2：例3：例4：例5：例6：例7：计算曲线y=sinx在0,上与x轴所围成的平面图形的面积。解：A=12.13定积分换元法：换元就换限例1：例2：例3：例4：例5：例6：定理1：当f(x)在-a,a上连续，且f(x)为偶函数，在此对称区间上，定理2：当f(x)在-a,a上连续，且f(x)为奇函数，在此对称区间上，例7：例8：解题二：常数函数是偶函数12.14笔记例1：例2：诱导公式P289 定积分的分部积分法定积分的分部积分公式：例3：例4：例5：5.8节复习例6：例7：例8：例9：例10：例11：例12：例13：12.15笔记P294 5.9节 无穷限反常积分1、2、3、例1：下列无穷限反常积分收敛的是（C）A、 B、 C、 D、解题：例2：例3：例4：例5：P299 5.10节 定积分的应用一、考点：（1）平面图形 9分（2）旋转体（3）经济学应用二、求平面图形的解题步骤：（1） 求边界曲线的交点坐标（2） 作出平面图形（常、指、对、幂、三角的图形需熟悉，或通过描点法绘图）（3） 确定积分变量（4） 确定积分上、下限（5） 确定被积函数（6） 计算定积分，求出图形总面积如何确定上下曲边：（1） 上下是两条曲线，左右是两条直边，同时穿越上下两条曲边作X的投影射线，先经过的是下曲边，后经过的是上曲边。被积函数整理为：y=f(x)（2） 左右是两条曲边，上下是两条直边，作Y轴的投影。被积函数整理为：x=f(y)例1：计算两条抛物线，y2=x和y=x2所围成的图形面积。12.16笔记例1：例2：例3：P306 2、旋转体的体积旋转体的体积=例4：3、定积分在经济学中的应用（1）求总成本=对边际成本求定积分+固定成本 （2）求总收益=对边际收入求定积分 （3）求总利润=总收入-总成本 L（q）=R(q)-C(q)例5：件数为Q件，MC=5千元/件，MR=10-0.02Q千元/件，当Q=10件时，总成本=250千元，求最大利润解法一：解法二：ML=MR-MC=10-0.02Q-5令ML=0=Q=250（件）代入得L(Q)=425千元12.17笔记定积分的考点：（1）定积分的概念（几何意义）及其基本性质（中值定理）（2）变上限积分和牛顿-莱布尼茨公式（3）定积分的换元积分法和分部积分法、无穷限反常积分（4）定积分的几何应用1、变上限积分例1：例2：例3：2、牛顿莱布尼茨公式（原函数的上限值-原函数的下限值）3、换元积分法（换元就换限）定理1：当f(x)在-a,a上连续，且f(x)为偶函数，在此对称区间上，定理2：当f(x)在-a,a上连续，且f(x)为奇函数，在此对称区间上，例4： x-偶函数，sinx-奇函数，x*sinx-奇函数例5：例6：例7：2010年4月真题例8：历年真题例9：2010.4真题例10：例11：4、无穷限反常积分的计算例12：下列函数收敛的是（D）A、 B、 C、 D、5、定积分的应用例13：求y=lnx及其在点（e,1）的切线与x轴所围成的平面图形的面积A12.18笔记基础知识：六类三角函数1、象限第一象限：六类三角函数都为正第二象限：正弦sinx、余割cscx为正第三象限：正切tanx、余切cotx为正第四象限：余弦cosx、正割secx为正900003600270018002、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限Sin(2700+a)=-cosa 分析：2700=3*900，3为奇数sin变成cos，2700+a 在第四象限，sinx在第四象限为负Cos(1800+a)=-cosa 分析：1800=2*900，2为偶数cos不变，1800+a 在第三象限，cosx在第三象限为负Sin(3600-a)=-sina 分析：3600=4*900，4为偶数sin不变，3600-a 在第四象限，sinx在第四象限为负6.2节 多元函数的基本概念 P3241、领域：设p0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，K为正数，与点P0距离小于K的点的全体，称为P0的领域。2、区域：如果平面上的点E为开集，对于任一点P的领域，都在E的范围之内（即有一个领域包含于开集E）。（1）连通：D为开集，A到B的折线上所有的点都属于D，则开集D是连通的。（2）不连通：D为开集，仅一个圈内不属于D，则圈外A到圈内B所画的折线上的点有一点不属于D，则开集D是不连通的。3、多元函数的定义一元函数：y=2x 或 x=2y多元函数：z=2x2+3y(二元函数)例1：例2：4、多元函数的图形（曲面）5、多元函数的极限例3：例4：例5： 无穷小量*有界变量=无穷小量12.19笔记例1：例2：6.3节 偏导数1、导数的定义：一元函数多元函数例1：例2：例3：例4：例5：12.20笔记一、高阶偏导数1、纯偏导：（1）（2）2、混合偏导：（1）z先对x求一阶偏导，再对y求二阶偏导。 （2）z先对y求一阶偏导，再对x求二阶偏导。例1：例2：P340 6.4节 全微分例1：例2：例3：12.21笔记Z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)链与链求和、同一条链乘积：例1：例2：例3：例4：例5：例6：例7：例8：12.22笔记等价无穷小：当x0时