2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念学案新人教A版.docx

61平面向量的概念考点学习目标核心素养平面向量的相关概念了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象平面向量的几何表示掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理 问题导学预习教材P2P4的内容，思考以下问题：1向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？2怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3两个向量(向量的模)能否比较大小？4如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？1向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量(2)有向线段定义：具有方向的线段三个要素：起点、方向、长度表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以A为起点、B为终点的有向线段记作长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作|.(3)向量的表示名师点拨 (1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素(2)用有向线段表示向量时，要注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点2向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作|(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量3两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量若a，b是平行向量，记作ab.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0a(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作ab.名师点拨 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量，长度大的向量较大()(2)如果两个向量共线，那么其方向相同()(3)向量的模是一个正实数()(4)向量就是有向线段()(5)向量与向量是相等向量()(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行()(7)零向量是最小的向量()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) 已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A也可以用表示B方向是由M指向NC起点是M D终点是M答案：D 已知点O固定，且|2，则A点构成的图形是()A一个点 B一条直线C一个圆 D不能确定答案：C 如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有_答案：，向量的相关概念给出下列命题：若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在ABCD中，一定有；若ab，bc，则ac.其中所有正确命题的序号为_【解析】，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确；在ABCD中，|，与平行且方向相同，故，故正确；ab，则|a|b|，且a与b的方向相同；bc，则|b|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故ac，故正确【答案】(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件有大小；有方向两个条件缺一不可(2)理解零向量和单位向量应注意的问题零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；单位向量不一定相等，易忽略向量的方向 1下列说法中正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小故D正确2下列说法正确的是()A向量就是所在的直线平行于所在的直线B长度相等的向量叫做相等向量C零向量与任一向量平行D共线向量是在一条直线上的向量解析：选C.向量包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点A在点O北偏东45方向上；(2)，使|4，点B在点A正东方向上；(3)，使|6，点C在点B北偏东30方向上【解】(1)由于点A在点O北偏东45方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示(2)由于点B在点A正东方向上，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示(3)由于点C在点B北偏东30方向上，且|6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示用有向线段表示向量的步骤 已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30的方向飞行 2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地(1)作出向量，；(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？解：(1)由题意，作出向量，如图所示(2)依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC2 000 km.又因为ACD45，CD1 000，所以ACD为等腰直角三角形，即AD1 000 km，CAD45，所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km.共线向量与相等向量如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，在每两点所确定的向量中(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？【解】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，.(2)与a共线的向量有，.1变条件、变问法本例中若c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量解：与a相等的向量有，；与b相等的向量有，；与c相等的向量有，.2变问法本例条件不变，与共线的向量有哪些？解：与共线的向量有，.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若ab，bc，则可推出ac.注意对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况 1已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为()A向量与向量一定同向B向量，向量，向量一定共线C向量与向量一定相等D以上说法都不正确解析：选B.根据共线向量的定义，可知，这三个向量一定为共线向量，故选B.2如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量解：(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形，所以BCADDE，BCADDE，所以.故与相等的向量为，.(2)与共线的向量共有7个，分别是，.1.如图，在ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量的个数为()A1B2C3 D4解析：选C.图中与平行的向量为，共3个2下列结论中正确的是()若ab且|a|b|，则ab；若ab，则ab且|a|b|；若a与b方向相同且|a|b|，则ab；若ab，则a与b方向相反且|a|b|.ABC D解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故错误，a，b可能反向；正确；两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等3已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与相等的向量；(2)与长度相等的向量；(3)与共线的向量解：画出图形，如图所示(1)易知BCAD，BCAD，所以与相等的向量为.(2)由O是正方形ABCD对角线的交点知OBODOAOC，所以与长度相等的向量为，.(3)与共线的向量为，. A基础达标1下列命题中，正确命题的个数是()单位向量都共线；长度相等的向量都相等；共线的单位向量必相等；与非零向量a共线的单位向量是.A3B2C1 D0解析：选D.根据单位向量的定义，可知明显是错误的；对于，与非零向量a共线的单位向量是或，故也是错误的2下列说法正确的是()A若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B终点相同的两个向量不共线C若|a|b|，则abD单位向量的长度为1解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b0，则a与c不一定平行B中，两向量终点相同，若夹角是0或180，则共线C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小3如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是()A. B.C| D.解析：选D.由题图可知，|，但、的方向不同，故，故选D.4设O是ABC的外心，则，是()A相等向量 B模相等的向量C平行向量 D起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，是模相等的向量5若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1；b，其中正确的有()A BC D解析：选B.|a|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；不一定有ab，故不正确；向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|0正确；|b|1，故不正确；是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确6如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|_解析：因为正方形的对角线长为2，所以|.答案：7如果在一个边长为5的正ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为_解析：根据题意，在正ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正ABC的高，为.答案：8已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线又m与，都共线，所以m0.答案：09.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量共线的向量；(2)求证：.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量共线的向量有：，.(2)证明：在ABCD中，AD綊BC.又E，F分别为AD，BC的中点，所以ED綊BF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE綊FD，所以.10已知在四边形ABCD中，求与分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况(1)四边形ABCD是等腰梯形；(2)四边形ABCD是平行四边形解：(1)|，且与不平行因为，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形若四边形ABCD为等腰梯形，则|，同时两向量不平行(2)(或)若，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形B能力提升11在菱形ABCD中，DAB120，则以下说法错误的是()A与相等的向量只有一个(不含)B与的模相等的向量有9个(不含)C的模恰为模的倍D与不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同两向量共线只要求方向相同或相反D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线12.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则()A. B.C. D.解析：选D.由平面几何知识知，与方向不同，故；与方向不同，故；与的模相等而方向相反，故；与的模相等且方向相同，所以.13如图，在ABC中，ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为_解析：如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.因为ACDBCDAED，所以|.因为ADEBDC，所以，故|.答案：14某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点(1)作出向量，；(2)求向量的模解：(1)作出向量，如图所示(2)由题意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以AD5(米)所以|5.C拓展探究15