2020版高考数学二轮复习第3部分策略1活用4大数学思想1函数与方程思想教案理.docx

1函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.函数思想与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究运动中的等量关系.应用1目标函数法求最值【典例1】(1)已知在半径为2的扇形AOB中，AOB120，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且，则的最大值为_(2)已知正四棱锥PABCD中，PA2，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h等于_切入点：(1)联想三角函数的定义、平面向量的坐标运算，建系求解(2)建立体积V与高h之间的等量关系，借助导数等工具求V最大时的h值(1)(2)2(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0,0)，A(2,0)，C，则(2,0)，设P(2cos ，2sin )，则(2,0)(2cos ，2sin )，即解得则sin cos sin()，其中tan ，据此可知，当sin()1时，取得最大值.(2)设正四棱锥PABCD的底面边长为a，PA2，h212，即h212，故a2242h2，正四棱锥PABCD的体积Va2h8hh3(h0)，V82h2，令V0得0h2，令V2，当h2时，正四棱锥PABCD的体积取得最大值【对点训练1】(1)(2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14C12D10(2)(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_(1)A(2)010(1)因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，a23，S510，解得a14，d1，a5a14d4410，Snna1d4n，n4或n5时，Sn取最小值为S4S510.应用2分离参数法求参数范围【典例2】(1)若方程cos2xsin xa0在上有解，则实数a的取值范围为_(2)若对x(，1，不等式(m2m)2x1恒成立，则实数m的取值范围是_切入点：(1)法一：分离参数构建函数，将方程有解问题转化为求函数的值域法二：三角换元转化为一元二次方程在给定区间上有解(2)分离参数，建立函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值及解不等式问题(1)(1,1(2)(2,3)(1)法一：(分离变量)把方程变形为acos2xsin x，设f(x)cos2xsin x，x，显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解因为f(x)(1sin2x)sin x，且由x知sin x(0,1，易求得f(x)的值域为(1,1，故a的取值范围是(1,1法二：(换元法)令tsin x，由x，可得t(0,1，将方程变为t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解，设f(t)t2t1a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t，如图所示，因此，f(t)0在(0,1上有解等价于即所以1a1，故a的取值范围是(1,1(2)不等式(m2m)2x1恒成立，等价于m2mm2mmin，构造函数f(x)，利用换元法，令t，则yt2t，x(，1，t2，)，yt2t的最小值为6，m2m6m2m602m3，所以实数m的取值范围是2m3.【对点训练2】(2019天津高考)已知aR，设函数f(x)若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立，则a的取值范围为()A0,1B0,2C0，eD1，eC当x1时，由f(x)x22ax2a0恒成立，而二次函数f(x)图象的对称轴为直线xa，所以当a1时，f(x)minf(1)10恒成立，当a1时，f(x)minf(a)2aa20，0a1.综上，a0.当x1时，由f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立设g(x)，则g(x).令g(x)0，得xe，且当1xe时，g(x)0，当xe时，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.综上，a的取值范围是0ae，即0，e故选C.应用3函数思想解不等式(比较大小)【典例3】(1)设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea1的大小关系为()Aea1aaeBae aea1Caeea1aDaea1ae(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R内的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(0,3)B(3,0)(3，)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)切入点：(1)借助yax(0a1)的单调性比较a与ae的大小；构造函数f(x)exx1(x0)比较ea1与a的大小(2)构造函数F(x)f(x)g(x)，借助F(x)的奇偶性、单调性解f(x)g(x)0.(1)B(2)D(1)设f(x)exx1，x0，则f(x)ex10，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0a1)在R上是减函数，得aae，从而ea1aae.(2)设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R内的奇函数和偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)为定义在R内的奇函数又当x0，所以x0时，f(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)所以由图可知f(x)0的解集是(，3)(0,3)【对点训练3】(1)已知f(x)log2x，x2,16，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2mx42m4x恒成立的实数x的取值范围为()A(，2 B2，)C(，22，) D(，2)(2，)(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_(1)D(2)(1)因为x2,16，所以f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx42m4x恒成立，即为m(x2)(x2)20对m1,4恒成立设g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在区间1,4上恒大于0，所以即解得x2或x2.(2)由f(x)是偶函数且f(x)在区间(，0)上单调递增可知，f(x)在区间(0，)上单调递减又因为f(2|a1|)f()，而f()f()，所以2|a1|，即|a1|，解得a.应用4应用方程思想求值【典例4】(1)(2018浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.(2)一题多解(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.(1)3(2)2(1)由正弦定理，得sin Bsin A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得74c24ccos 60，即c22c30，解得c3或c1(舍去)(2)法一：由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24.由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k.取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.【对点训练4】(1)一题多解(2019秦皇岛模拟)已知向量a(，1)，b(2,1)，若|ab|ab|，则实数的值为()A1B2C1D2(2)已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S770，且a1，a2，a6成等比数列设bn，则数列bn最小项的值为_(1)A(2)23(1)法一：由|ab|ab|，可得a2b22aba2b22ab，所以ab0，故ab(，1)(2,1)2210，解得1.法二：ab(22,2)，ab(2,0)，由|ab|ab|，可得(22)244，解得1.(2)设公差为d，且d0，则有即解得或(舍去)，所以an3n2，Sn1(3n2)，所以bn3n12123，当且仅当3n，即n4时取等号，故数列bn最小项的值为23.应用5方程思想解不等式【典例5】(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_(2)一题多解若a，b是正数，且满足abab3，则ab的取值范围为_切入点：(1)f(x)0有两个相等实根，f(x)c的两根分别为m，m6.(2)法一：注意到ab与ab的关系，可将原等式转化为一元二次方程法二：利用均值不等式ab求解(1)9(2)9，)(1)因为f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，所以0，即a24b0，又f(x)c的解集为(m，m6)m，m6是对应方程f(x)c的两个不同的根即x2axbc0的两根分别为m，m6，由题意得|m6m|，解得c9.(2)法一：若设abt，则abt3.所以a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有即解得t9，即ab9.所以ab的取值范围是9，)法二：abab3