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第一章振动和波动 振动 Vibration 任何一个物理量在某一定值附近随时间作反复变化 其中物体位置随时间的变更称为机械振动 波动 Wave 振动的传播 1 内容提要 第一节简谐振动第二节两个简谐振动的合成第三节平面简谐波动第四节两个平面简谐波动的合成 2 第一节简谐振动 简谐振动的基本特征 简谐振动的能量 简谐振动的方程 简谐振动的矢量图解法 3 一简谐振动的基本特征 2 24 受力的形式 弹性力 回复力 运动的形式 4 例一 直径d的U形管 装有质量为m的液体 若液体一个小的初始位移 液体在管中作微振动 这种振动是否是简谐振动 是简谐振动 5 二简谐振动的方程 6 方程的建立 图1 2 7 公式的推导 令 得到简谐振动的微分方程 8 其解为 加速度 速度 利用速度和加速度的数学定义 可得 位移 9 简谐振动的位移 速度和加速度的函数曲线 10 振动方程中参数的物理意义 A的物理意义 的物理意义 分三步分析 1 T的引入 A是物体离开平衡位置的最大幅度 振幅 A的大小由弹簧振子的初始状态决定 单位m 11 T表示完成一次完整振动所需要的时间 周期 T的大小由弹簧振子的固有性质决定 单位 2 的引入 表示在单位时间内完成整振动的次数 频率 的大小由弹簧振子的固有性质决定 单位Hz 3 的引入 表示在2 秒内完成整振动的次数 角频率 圆频率 的大小由弹簧振子的固有性质决定 单位弧度 秒 12 固有角频率 固有频率 固有周期 13 的物理意义 我们称为位相 则表示初始时刻的位相 初位相 的大小由弹簧振子的初始状态决定 单位rad 取值范围求方法 已知 14 已知 15 例二 已知某简谐振动的振动曲线如图所示 试写出该振动的简谐振动方程 解从图中可以看出 求振动方程需分三步 从图中可以看出 1 求A 16 2 求 3 求 17 例三 如图 一长为L的弹簧上端固定 下端挂一重物后长度变 L S 并仍在弹性限度之内 若将重物向上托起 使弹簧缩回原来的长度 然后放手 重物将作上下运动 是简谐振动 1 证明重物的运动是简谐振动 解 18 2 求 且静止放手 代入 解 19 3 若以放手时开始计时 求简谐振动方程 将初始条件代入上式 解 20 三简谐振动的矢量图解法 21 简谐振动可以用一个旋转矢量描绘 矢量的长度代表振幅矢量逆时针旋转的角速度代表角频率矢量在初始时刻与x轴的角度代表初位相矢量在任一时刻与x轴的角度代表位相 22 矢量在x轴投影 o 23 例四 一物体作简谐振动 振幅为15cm 频率为4Hz 求物体从平衡位置运动到x 12cm 且向x轴正向运动 处 所需的最短时间 解 用矢量图解法平衡位置有两个 24 X 12cm位置有两个 有四个时间 其中最短时间为 dX 12cmv 0 cX 12cmv 0 25 四简谐振动的能量 总能量 振子的动能 弹簧的势能 其中 26 系统的动能Ek随时间周期性变化系统的势能Ep随时间周期性变化系统的总机械能与时间变化无关 即简谐振动的总能量守恒 27 例五 一长度为L的无弹性细线 一端固定在A点 另一端悬挂一质量为m 体积很小的物体 静止时 细线沿竖直方向 物体处于点O 这是振动系统的平衡位置 如图 若将物体移离平衡位置 使细线与竖直方向夹一小角 然后将物体静止释放 物体就在平衡位置附近往返摆动起来 这种装置称为单摆 证明单摆的振动是简谐振动 并分析其能量 28 O 29 30 本讲小结 简谐振动方程 振动能量守恒 初位相的求解 31 作业一 直径d 1 2cm的U形管装有质量m 624g水银 使水银在管中作微振动 试求其振动周期 水银密度 水银与U形管摩擦忽略不计 答案 0 9s 32 作业二 根据图中所示位移时间曲线 分别写出这两个振动的表达式 答案 o o x x b a A t t 1 1 A 2 33 作业三 一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm 现将这根弹簧下悬挂25g的物体 使它做自由振动 按下列情况分别求其振动方程 1 开始时使物体从平衡位置向下移动4cm后松手 答案 x 4cos7t 34 2 开始时 物体在平衡位置 给以向上21cm s的初速度 同时开始计时 答案 x 3cos 7t 2 3 把物体从平衡位置拉下4cm后 又给以向上21cm s的初速度 同时开始计时 答案 x 5cos 7t 370 35 作业四 在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m 若将小球移开一个很小的位移 放开令其运动 求证小球做简谐振动 并求其振动周期 36 第二节两个简谐振动的合成 37 1 两个简谐振动的步调比较 本节主要内容 4 两个方向互相垂直 频率成简单整数比的简谐振动的合成 李萨如图形 3 两个同方向 频率近似相等的简谐振动的合成 拍现象 2 两个同方向 同频率的简谐振动的合成 简谐振动 38 两个简谐振动的步调比较 同相 若两个简谐振动的频率相同 初位相相同 则两个简谐振动同时达到最大和最小 39 反相 若两个简谐振动的频率相同 初位相相差 则一个振动达到最大时 另一个振动却是最小 40 超前与落后 若两个简谐振动的频率相同 初位相之差为则称2振动超前1振动 也称1振动落后2振动 41 两个同方向 同频率的简谐振动的合成 简谐振动 已知两个同方向 同频率的简谐振动方程为 42 43 如图 用矢量图示法求得合成结果 44 代入X Y的表达式 45 A值的讨论 有三种情况 46 47 例六 已知一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动 求合振动的方程 解 设合振动的方程为 48 也可以用矢量图解法直接看出 49 两个同方向 频率近似相等的简谐振动的合成 拍现象 已知两个同方向 频率近似相等 1和 2都很大 的简谐振动 若设初位相相等 振幅相等 则 50 t 0时刻 t时刻 设 2 1 51 某一时刻t以后 52 从角度可分析 可以看出 合振动x出现振幅时大时小 时强时弱的现象 拍 将A与 t表达式代入 53 因为 1和 2都很大 且差值很小 所以有 则有 随时间变化比慢得多 可以将拍看成以 为振幅 以 为圆频率的简谐振动 54 函数 变化周期为 是拍振动时振幅周期性变化的频率 拍频 55 56 拍的视频演示 40s 57 两个方向互相垂直 频率成简单整数比的简谐振动的合成 李萨如图形 若两个弹簧的劲度系数都是k 则 利用消元法消去变量t 得方程 58 讨论 同相 1 3象限振动 反相 2 4象限振动 59 Y超前 2 Y落后 2 右旋振动 左旋振动 60 例七 一质点同时参与相互垂直的两个振动 请你画出合振动运动轨迹图 Y落后 2 左旋振动 画一个2A 2B的矩形 内切画椭圆 标出左旋箭头即可 解 61 若频率不相等 但是整数比 则合振动的轨迹是有规则的稳定的闭合曲线 李萨如图形 49s 62 例八 在示波器Y端输入一个简谐振动信号 同时在X端输入另一个未知频率的简谐振动信号 在示波器显示屏上出现合成结果的图形 见右图 求 解 63 本讲小结 同方向 李萨如图 垂直方向 拍 同方向 简谐振动 64 作业一 两物体作简谐振动 它们的振幅和周期分别是10cm和2s 当t 0时 它们的位移分别为10cm和 10cm 二者的位相差是多少 是同相还是反相 当t 1s时 它们的位移各是多少 65 作业二 已知两个振动方向相同的简谐振动 其中x t的单位采用SI制 求 1 合振动的振幅和周期 66 2 另有一同方向的简谐振动问 何值时 的振幅最大 的振幅最小 67 作业三 两个同频 同向的简谐振动合成后的振幅0 10m 合振动与第一分振动的位相差为 6 若后者振幅A1 0 080m 求第二分振动的振幅以及第一 第二两个分振动的位相差 68 第三节简谐波 69 本节内容 一 关于简谐波的一些概念二 波动方程三 波的能量 波强四 波的衰减 70 一 关于简谐波的一些概念 1 机械波产生和传播的条件 波源弹性介质 振动是波动的基础 波动是振动的传播波形传播只是现象 振动传播才是实质 能量传播是度量 71 2 简谐波的分类 76s 由质点振动方向与波传播方向的关系可分为 横波 纵波 72 按波源的性质可分为 机械波 如声波 次声波 超声波等 电磁波 如可见光 无线电波 红外线 根据波的波振面形状分为 平面波 球面波 椭球面波等 由波传播的空间分为 一维波 二维波 水面波 三维波 声波 光波 73 根据波传播期间的行为可分为 1 脉冲波 2 波列 3 周期性波列 74 3 描述简谐波的三个物理量 波速的大小与温度有关例如 声速 波速的大小与介质有关 c 波速 u 单位时间内 任一振动状态传播的距离 波面 波形前进的速度 单位m s 不是质点的振动速度 b 波长 在周期T时间内同一振动状态传播的距离 两个相邻的振动状态相同点 位相差为2 的两点 之间的距离 两相邻波峰或波谷之间的距离 单位m a 波频 波源的简谐振动的频率 单位时间内通过某点的完整波数目 单位Hz 75 三个物理量的关系 重要结论 76 例九 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波 1 它们的波长是否可能相等 为什么 答 不可能相等 77 2 如果这两列波分别在两种介质中传播 它们的波长是否可能相等 为什么 答 可能 介质不同 则 78 4 简谐波的几何描述 为了形象的描述简谐波在空间的传播 引入了几何的线和面 波线 从波源沿各传播方向所画的带箭头的线波面 波在传播过程中 所有振动位相相同的点连成的面波线垂直波面 有两种特殊的波面 球面 平面 79 演示 80 5 简谐波遵从的基本原理 a 叠加原理 在相遇的区域内的某一质点的振动是各列波在该质点所引起的振动的合成 b 惠更斯原理 波所到之处各点都可以看作是发射子波的波源 在以后任一时刻 这些子波的包络就是在该时刻的波面 81 二 一维平面简谐波的波动方程 82 波动方程的建立 83 由P点的任意性得波动方程 O点为已知振动状态 波动方程的其它形式 重要结论 84 a点为已知点 85 波动方程的物理意义 若t t0 摄像 特写 照相 全体照 若x x0 86 若x t都不确定 摄像 全体摄像 87 例十 有一列平面简谐波 坐标原点按照的规律振动 已知A 0 10m T 0 50s 10m 试求 1 波动方程 选x轴与u方向相同 则 88 2 波线上相距2 5m的两点的位相 89 3 假如t 0时处于坐标原点的质点的振动位移为y0 0 050m 且向平衡位置运动 求初位相和波动方程 得波动方程 解 90 例十一 如图 一沿x轴正向传播的平面余弦波 在t 0时的波形 其波动方程可表示为求0 2 3三个点的初位相 得波动方程 代入方程 解 0点 Y0 0v0 0 x 0t 0 91 2点Y0 0v0 0t 0代入波动方程 3点Y0 A 2v0 0t 0代入波动方程 92 三 波的能量 波强 93 波的能量 载波的质点不随波逐流 向前传播的是振源的振动状态和能量 波到达的地方 媒质振动 发生变形 因而使体积元 V 体积很小 内的媒质具有动能和弹性势能 94 经数学推导动能与势能相等 总能量 95 能量密度 平均能量密度 96 波强 定义 表示单位时间内流过单位面积的能量 单位瓦特 米2 97 证明 波强与A2成正比 t时间间隔内通过截面S的波动总能量 重要结论 98 1 平面余弦波 讨论 通过两个面的平均能量分别为 若 则有 99 若 得 2 球面波 100 设半径为单位长度的球面上振幅为a 半径为r的球面上振幅为A 则 A a r 相应的球面波的波函数为 101 四 波的衰减 机械波传播时 强度随距离的增大而减小 振幅A也随之减小 此现象即为波的衰减 衰减原因有 1 吸收衰减 由于介质的粘滞性 内摩擦性 或其他原因 波的能量转为其他形式的能量 如热能 2 扩散衰减 如由于波的扩散 波的能量虽不减少 但强度在其行进方向上减弱 3 散射衰减等等 首先讨论 由于吸收而引起平面波的衰减 不考虑发散 反射等 102 平面波的吸收衰减 增量dI I I dI为负值实验表明 dI与入射波强度I及该层媒质的厚度dx成正比 即 dI Idx 称为吸收系数 其与媒质的性质 波的频率有关 利用边值条件x 0 I I0解方程可求出 I I0e x此公式称为布给尔 朗伯定律 它表明平面波在传播过程中按指数规律衰减 103 讨论球面波发散引起的衰减 不考虑吸收 单位时间通过两球面的能量应相等 即 E1 E2I14 r12 I24 r22 即以球面波传播的波强度与离波源的距离r的平方成比 104 本讲小结 平面简谐波的波动方程 波强度 波长 波速u波频 105 作业一 一列平面简谐波的波动方程为 2 传波质点的最大振动速度 加速度值 1 求振幅 波速 频率 波长 A 0 05m u 2 5m s 5Hz 0 5m vmax 1 57m samax 49 3m s2 106 3 x 0 2m处的质点在t 1 0s时的位相 它是坐标原点哪一时刻的位相 这一位相在t 1 25s时可传播到哪一质点 107 作业二 一列平面简谐波的波动方程为 1 求波的振幅 波速 圆频率 周期 波长以及传波质点经过平衡位置时的振动速度加速度值 108 2 若t 0时刻的波形如图所示 试指出坐标原点O及点1 2的初位相 y x o 1 2 t 0 109 作业三 一列沿x轴正向传播的平面简谐波波速v 5 00 10 2m s周期T 2 00s 振幅A 2 00 10 2m 在x 0 10m处的质点p在t 3 0s时的位移yp 0 振动速度 0 1 x 0处的质点在t 5 0s时的位移和振动速度 Y 0 v 6 28 10 2m s 110 2 以点P为坐标原点写出波动方程 111 作业四 已知某平面简谐波波源振动方程为波速v 2m s 1 求距波源5m处的质点的振动方程 112 2 该质点某时刻t的运动状态相当于哪一时刻波源的同样状态 t t 0 25 113 第四节简谐波动的合成 114 本节内容 一 两列同方向同频率波的合成 二 两列反向传播的完全相同波的公式 115 一 波的干涉 同方向同频率处位相差固定的两列检谐波的合成 波的干涉 45s 116 振源S1与S2发出两列简谐波 117 根据波动方程 两列波引起点p的振动分别为 118 合成结果 合成振幅表达式 其中 重要结论 119 什么是波的干涉现象 频率相同 振动方向相同 初位相相同 或相差固定的波源发出的波叠加时 叠加区内出现某些地方振动加强 另一些地方振动减弱或完全抵消 这种现象称为波的干涉现象 120 演示 121 演示 122 演示 l n1 n1 n2 123 若使A Amax则有 干涉极大的条件 光程差是波长的整数倍的地方为干涉极大点 讨论两个特殊情况 代入 124 干涉极小的条件 若使A Amin则有 光程差是波长的半整数倍的地方为干涉极小点 代入 125 例十二 P和Q是两个同位相 同频率 同振幅并在同一介质中振动的相干波源 其频率为 波长为 P和Q相距3 2 R为P Q连线上的任意一点 试求 1 自P点发出的波在R点引起的振动与自点Q发出的波在R点引起的振动的位相差 P Q R 126 2 R点的合振幅 P Q R 127 二 驻波 两个完全相同的简谐波 沿同一直线相反方向传播 合成结果 驻波 120s 128 写出两列波的表达式 合成结果 129 驻波的特点 每个质点都在做简谐振动 但振幅不同 有些点的振幅为0 波节 有些点的振幅最大 波腹 而波形不走动 130 k 0 1 2 3 相邻波腹的距离 波节 始终不动的点 相邻波节的距离 波腹 振幅最大的点 k 0 1 2 3 131 例十三 频率为100Hz的一列波在两端固定的弦上传播 形成了如图所示的驻波 试从图上确定其波长和波速 解 从图中已知 五个波节间距 2 5m 132 此例题为驻波法测波速的实验原理 x1 x2 x3 x4 x5 换能器 换能器 示波器 信号发生器 133 本讲小结 波的干涉现象 驻波波腹波节间距 干涉极小的条件 干涉极大的条件 134 作业一 S1 S2是由同一振子所带动的波源 但S1的位相超前S2 2 那么点P为干涉为极大的条件是二者的波程差为多少 135 作业二 弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm 弦的振动频率为2 3 102Hz 求波的传播速率u和波长 136 本章重点内容 简谐振动方程 振动能量守恒 初位相的求解 同方向 李萨如图 垂直方向 拍 同方向 简谐振动 137 平面简谐波的波动方程 波强度 波长 波速u波频 波的干涉现象 驻波波腹波节间距 干涉极小的条件 干涉极大的条件 138 作业一 直径d 1 2cm的U形管装有质量m 624g水银 使水银在管中作微振动 试求其振动周期 水银密度 水银与U形管摩擦忽略不计 答案 0 9s 139 作业二 根据图中所示位移时间曲线 分别写出这两个振动的表达式 答案 o o x x b a A t t 1 1 A 2 140 作业三 一弹簧悬挂10g砝码伸长8cm 现将这根弹簧下悬挂25g的物体 使它做自由振动 按下列情况分别求其振动方程 1 开始时使物体从平衡位置向下移动4cm后松手 答案 x 4cos7t 141 2 开始时 物体在平衡位置 给以向上21cm s的初速度 同时开始计时 答案 x 3cos 7t 2 3 把物体从平衡位置拉下4cm后 又给以向上21cm s的初速度 同时开始计时 答案 x 5cos 7t 370 142 作业四 在半径为R的半球形碗中有一小球质量为m 若将小球移开一个很小的位移 放开令其运动 求证小球做简谐振动 并求其振动周期 143 作业五 两物体