数学发展史.pptx

数学发展简史 数学科学学院杭鹭201011132912 放映幻灯片的效果会更好 第一章开天辟地 原始人在采集 狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊 一头狼与整群狼在数量上的差异 通过一只羊与许多羊 一头狼与整群狼的比较 就逐渐看到了一只羊 一头狼 一条鱼 一棵树等等之间存在着某种共通的东西 即它们的单位性 当对数的认识变得越来越明确时 人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性 于是导致了记数 五只羊和两只狼 于是乎 产生了各种计数方法 手指计数 利用两只手的十个手指 亚里士多德指出 十进制的广泛采用 只不过是我们绝大多数人生来具有10个手指这一事实的结果 石子记数 在地上摆小石子 但记数的石子堆很难长久保存 结绳记数 在一根绳子上打结来表示事物的多少 比如今天猎到五头羊 就以在绳子上打五个结来表示 约定三天后再见面 就在绳子上打三个结 过一天解一个结 刻痕记数 1937年在维斯托尼斯 摩拉维亚 发现一根40万年前的幼狼前肢骨 7英寸长 上面有55道很深的刻痕 这是已发现的用刻痕方法计数的最早资料 直到今天 在欧 亚 非大陆的某些地方 仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法来计算他们的牲畜 四大文明古国的数学 古埃及的数学 问 怎样不用尺画出直角 古埃及人是这样来解决这个问题的 先在地上打进两个木桩 然后绷紧木桩间的绳子 这样就画出一条直线 成为金字塔的一条边线 然后 在两个木桩上各系上一条绳子 绳子的长度要超过两个木桩距离的一半 拉紧绳子的末端 以木桩为原点转动 画出两条相交的圆弧来 过这两条圆弧的交点 画出另一条直线 和头一条直线相交 夹角就是准确的直角 这后一条直线 就是地基的另一条边线 在埃及 主要的长度单位是腕尺 它是自肘到中指尖的长度 小一些的单位有 掌尺 它等于七分之一腕尺 指尺 它等于四分之一掌尺 因为那时候的埃及人理解分数的意义非常费劲 所以这些小单位很有用 今天 人们熟悉分数了 但是在习惯上 大家一样喜欢用小单位 比如英国人和美国人总是说七英寸 不肯说十二分之七英尺 在我国 有说半尺的 但是谁也不说十分之五尺 求面积的方法 最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的 他们发现 一块地面 如果是三砖长 三砖宽 需要铺九块砖 3 3 另一块地面 三砖长 五砖宽 就需要铺十五块砖 3 5 这样 计算正方形和长方形的面积 只消用长乘以宽就行了 但是问题在于 不是所有的土地都是正方形或者长方形 有些土地 好像那儿都是边 那儿也有角 形状很不规则 把它们分成若干个三角形 一块正方形的麻布 可以折叠成两个大小相等的三角形 每个三角形的面积 恰好是正方形面积的一半 古埃及人正是从这类简单的线索中 学会了求三角形面积的方法 长乘宽 再除以二 在大量的测量工作中 埃及人当然会碰到 圆 这类难办的图形 他们感到难办的地方 是无法把圆分成许多块三角形 而每一块都是由三条直线组成的标准三角形 因此 古埃及人认为圆是天赐予人们的神圣图形 今天 我们都很熟悉圆 天天和圆打交道 可是要认识和掌握好圆的性质也不容易 实践出真知 早期的埃及人 一定是用绳子绕木桩的方法来画圆 他们从长绳子画出来的圆大 短绳子画出来的圆小 知道了圆面积的大小 是由圆周到圆心的距离来决定的 这就是我们常说的半径 到了三千五百年前左右 当金字塔已成为古迹的时候 一个叫阿赫美斯的埃及文书 写出了一条这样的法则 圆的面积 非常接近于半径为边的正方形面积的三又七分之一倍 这在当时是很了不起的发现 古巴比伦的数学 在算术方面 他们对整数和分数有了较系统的写法 在记数中 已经有了位值制的观念 从而把算术推进到一定的高度 并用之于解决许多实际问题 特别是天文方面的问题 如现在延用的 十二进制 的计时方法 在代数方面 巴比伦人用特殊的名称和记号来表示未知量 采用了少数运算记号 解出了含有一个或较多个未知量的几种形式的方程 特别是解出了二次方程 这些都是代数的开端 在几何方面 巴比伦人认识到了关于平行线间的比例关系和初步的毕达哥拉斯定理 会求出简单几何图形的面积和体积 并建立了在特定情况下的底面是正方形的棱台体积公式 好全能的古巴比伦人 古印度的数学 自哈拉巴文化时期起 古印度人用的就是十进位制 阿拉伯数字并不是阿拉伯人创造的 他们只是起了传播作用 而真正对阿拉伯数字有贡献的 正是古印度人 准绳经 是现存古印度最早的数学著作 这是一部讲述祭坛修筑的书 大约成于公元前5至前4世纪 其中包含有一些几何学方面的知识 这部书表明 他们那时已经知道了勾股定理 并使用圆周率 为3 09 古印度人在天文计算的时候已经运用了三角形 公元499年成书的 圣使集 中有关数学的内容共有66条 包括了算术运算 乘方 开方以及一些代数学 几何学和三角学的规则 圣使还研究了两个无理数相加的问题 得到正确的公式 在三角学方面他又引进了正矢函数 他算出的 为3 1416 一代传奇人物 梵藏 梵藏对零作为一个数已有所认识 但他却错误地认为零除零还是等于零的结论 他提出了解一般二次方程的规则 得出二次方程x2 px q 0的根为 梵藏还给出了ax by 0的整数解和处理不定方程ax2 1 y2的方法 他最重要的成就是得出了求等差数列末项以及数列之和的正确公式 在几何学方面 梵藏有以四边形之边长求四边形面积的正确公式 即 古中国的数学 西安半坡出土的陶器有用1 8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案 半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形 为了画圆作方 确定平直 人们还创造了规 矩 准 绳等作图与测量工具 据 史记 夏本纪 记载 夏禹治水时已使用了这些工具 人的智慧在于运用工具 而中国人的智慧在于创造工具 九章算术 第一章 方田 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法 包括长方形 等腰三角形 直角梯形 等腰梯形 圆形 扇形 弓形 圆环这八种图形面积的计算方法 另外还系统地讲述了分数的四则运算法则 以及求分子分母最大公约数等方法 第二章 粟米 谷物粮食的按比例折换 提出比例算法 称为今有术 衰分章提出比例分配法则 称为衰分术 第三章 衰分 比例分配问题 介绍了开平方 开立方的方法 其程序与现今程序基本一致 这是世界上最早的多位数和分数开方法则 它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础 第四章 少广 已知面积 体积 反求其一边长和径长等 第五章 商功 土石工程 体积计算 除给出了各种立体体积公式外 还有工程分配方法 第六章 均输 合理摊派赋税 用衰分术解决赋役的合理负担问题 今有术 衰分术及其应用方法 构成了包括今天正 反比例 比例分配 复比例 连锁比例在内的整套比例理论 西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法 第七章 盈不足 即双设法问题 提出了盈不足 盈适足和不足适足 两盈和两不足三种类型的盈亏问题 以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法 这也是处于世界领先地位的成果 传到西方后 影响极大 第八章 方程 一次方程组问题 采用分离系数的方法表示线性方程组 相当于现在的矩阵 解线性方程组时使用的直除法 与矩阵的初等变换一致 这是世界上最早的完整的线性方程组的解法 在西方 直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则 这一章还引进和使用了负数 并提出了正负术 正负数的加减法则 与现今代数中法则完全相同 解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法 这是世界数学史上一项重大的成就 第一次突破了正数的范围 扩展了数系 外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数 第九章 勾股 利用勾股定理求解的各种问题 其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的 提出了勾股数问题的通解公式 若a b c分别是勾股形的勾 股 弦 则 m n 在西方 毕达哥拉斯 欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况 直到3世纪的丢番图才取得相近的结果 这已比 九章算术 晚约3个世纪了 勾股章还有些内容 在西方却还是近代的事 例如勾股章最后一题给出的一组公式 在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出 古代的数学百科全书 第二章群星闪耀 是这样的星星 初等数学的开创 芝诺的四个悖论 第一个悖论是运动不存在 理由是运动物体到达目的地之前必须到大半路 而到大半路之前又必须到大半路的半路 如此下去 它必须通过无限多个点 这在有限长时间之内是无法办到的 第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟 因为乌龟在他前面时 它必须首先到达乌龟的起点 然后用第一个悖论的逻辑 乌龟老在他的前面 这两个悖论是反对空间 时间无限可分的观点 而第三 第四悖论是反对空间 时间又不可分的间隔组成 第三个悖论是说 飞矢不动 因为在某一时间间隔 飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上 因而是静止的 第四个悖论是游行队伍悖论 内容大体相似 这说明希腊人已经看到 无穷小 与 很小很小 的矛盾 智人学派提出几何作图的三大问题 1 化圆为方问题的结果我们都知道化圆为方是由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的 但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题 实际上 这个化圆为方问题中的正方形的边长是圆面积的算数平方根 我们假设圆的半径为单位1 那么正方形的边长就是根号 直到1882年 化圆为方的问题才最终有了合理的答案 德国数学家林德曼 Lindemann 1852 1939 在这一年成功地证明了圆周率 3 1415926 是超越数 并且尺规作图是不可能作出超越数来 所以用尺规作图的方式解决化圆为方的问题才被证明是不可能实现的 2 倍立方积和三等分角问题的结果直到1830年 18岁的法国数学家伽罗华首创了后来被命名为 伽罗华理论 理论 该理论能够证明倍立方积和三等分角问题都是尺规作图不能做到的问题 1837年 法国数学家汪策尔 Wantzel 1814 1848 终于给出三等分角和倍立方积的问题都是尺规作图不可能问题的证明 3 三大几何作图难题的意义虽然三大几何作图难题都被证明是不可能由尺规作图的方式做到的 但是为了解决这些问题 数学家们进行了前赴后继的探索 最后得到了不少新的成果 发现了许多新的方法 同时 它反映了数学作为一门科学 它时一片浩瀚深邃的海洋 仍有许多未知的谜底等待这我们去发现 欧几里得 说到他 就不得不提起著名的 几何原本 五条公理1 等于同量的量彼此相等 2 等量加等量 其和相等 3 等量减等量 其差相等 4 彼此能重合的物体是全等的 5 整体大于部分 五条公设1 过两点能作且只能作一直线 2 线段 有限直线 可以无限地延长 3 以任一点为圆心 任意长为半径 可作一圆 4 凡是直角都相等 5 同平面内一条直线和另外两条直线相交 若在直线同侧的两个内角之和小于180 则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交 各卷简介第一卷 几何基础 重点内容有三角形全等的条件 三角形边和角的大小关系 平行线理论 三角形和多角形等积 面积相等 的条件 第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理 第二卷 几何与代数 讲如何把三角形变成等积的正方形 其中12 13命题相当于余弦定理 第三卷 本卷阐述圆 弦 切线 割线 圆心角 圆周角的一些定理 第四卷 讨论圆内接和外切多边形的做法和性质 第五卷 讨论比例理论 多数是继承自欧多克斯的比例理论 被认为是 最重要的数学杰作之一 第六卷 讲相似多边形理论 并以此阐述了比例的性质 第五 第七 第八 第九 第十卷 讲述比例和算术的理论 第十卷是篇幅最大的一卷 主要讨论无理量 与给定的量不可通约的量 其中第一命题是极限思想的雏形 第十一卷 十二 十三卷 最后讲述立体几何的内容 中学的数学全部包括于此 阿基米德 砂粒计算 是专讲计算方法和计算理论的一本著作 阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量 他运用了很奇特的想象 建立了新的量级计数法 确定了新单位 提出了表示任何大数量的模式 这与对数运算是密切相关的 圆的度量 利用圆的外切与内接 边形 求得圆周率 为 这是数学史上最早的 明确指出误差限度的 值 他还证明了圆面积等于以圆周长为底 半径为高的正三角形的面积 使用的是穷举法 球与圆柱 熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍 球的体积是一个圆锥体积的四倍 这个圆锥的底等于球的大圆 高等于球的半径 阿基米德还指出 如果等边圆柱中有一个内切球 则圆柱的全面积和它的体积 分别为球表面积和体积的1 5倍 抛物线求积法 研究了曲线图形求积的问题 并用穷竭法建立了这样的结论 任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形 即抛物线 其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四 他还用力学权重方法再次验证这个结论 使数学与力学成功地结合起来 论螺线 是阿基米德对数学的出色贡献 他明确了螺线的定义 以及对螺线的面积的计算方法 在同一著作中 阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法 平面的平衡 是关于力学的最早的科学论著 讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题 浮体 是流体静力学的第一部专著 阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上 并用数学公式表示浮体平衡的规律 论锥型体与球型体 讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积 以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积 阿基米德的理论为几何和微积分的开创写下了不可磨灭的一章 后来 随着托勒密 尼可马修斯 丢番图的突出贡献 使得初等数学的发展趋向完善 我们中学阶段学习的也就是他们的成果 自此以后 数学终于成为了一门独立的学科 并且分为了几何与代数两大分支 为后人铺下了一条光明大道 托勒密 丢番图 阿基米德 第三章英才辈出 笛卡尔的变量 他引入了变量的概念 于是运动进入了数学 微积分的产生也就显得非常自然 并且现代的a b c与x y z等符号也是笛卡尔首先使用 在笛卡儿时代 代数还是一个比较新的学科 几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位 笛卡尔的思想核心 把几何学的问题归结成代数形式的问题 用代数学的方法进行计算 证明 从而达到最终解决几何问题的目的 依照这种思想他创立了我们现在熟知的 解析几何学 1637年 笛卡尔发表了 几何学 创立了平面直角坐标系 用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置 用来描述空间上的点 欧拉 笛卡尔公式 在任意凸多面体中 设V为顶点数 E为棱数 F是面数 则V E F 2 该公式最早被笛卡尔证明 笛卡尔叶形线 首先由笛卡尔在1638年提出 他从叶形线的隐式方程为极坐标中方程为根据 从自明的直观公理出发 运用数学的逻辑演绎 推出结论 这种方法和培根所提倡的实验归纳法结合起来 经过惠更斯和牛顿等人的综合运用 成为物理学特别是理论物理的重要方法 美丽的叶形线 微积分的创立 到了十七世纪 有许多科学问题需要解决 这些问题也就成了促使微积分产生的因素 归结起来 大约有四种主要类型的问题 第一类是研究运动的时候直接出现的 也就是求即时速度的问题 第二类问题是求曲线的切线的问题 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题 第四类问题是求曲线长 曲线围成的面积 曲面围成的体积 物体的重心 一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力 十七世纪的许多著名的数学家 天文学家 物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作 如法国的费马 笛卡尔 罗伯瓦 笛沙格 英国的巴罗 瓦里士 德国的开普勒 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论 为微积分的创立做出了贡献 十七世纪下半叶 在前人工作的基础上 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作 虽然这只是十分初步的工作 他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起 一个是切线问题 微分学的中心问题 一个是求积问题 积分学的中心问题 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量 因此这门学科早期也称为无穷小分析 这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源 牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑 莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的 牛顿和莱布尼兹 牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理 它适用于任何幂 他发现了牛顿恒等式 牛顿法 分类了立方面曲线 两变量的三次多项式 为有限差理论作出了重大贡献 并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解 他用对数趋近了调和级数的部分和 这是欧拉求和公式的一个先驱 并首次有把握地使用幂级数和反转 revert 幂级数 他还发现了 的一个新公式 艾萨克 牛顿 戈特弗里德 威廉 莱布尼茨 莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质 得出复数的对数并不存在 共扼复数的和是实数的结论 在后来的研究中 莱布尼茨证明了自己结论是正确的 他还对线性方程组进行研究 对消元法从理论上进行了探讨 并首先引入了行列式的概念 提出行列式的某些理论 此外 莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念 有了微积分 于是数学产生了一门新的学科 数学分析数学科学学院的学生普遍学不懂这门学科 从而产生了厌恶情绪 如果要 归罪 于某个人 那么那个人就是牛顿或者莱布尼兹中的一个 数学方法的转变 几何方法 解析方法 莱昂哈德 欧拉 他对微分方程理论作出了重要贡献 他还是欧拉近似法的创始人 这些计算法被用于计算力学中 此中最有名的被称为欧拉方法 在数论里他引入了欧拉函数 自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数 例如 因为有四个自然数1 3 5和7与8互质 在分析领域 是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数 他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声 其中是黎曼函数 欧拉将虚数的幂定义为如下公式 这就是欧拉公式 它成为指数函数的中心 在初等分析中 从本质上来说 要么是指数函数的变种 要么是多项式 两者必居其一 被理查德 费曼称为 最卓越的数学公 的则是欧拉公式的一个简单推论 通常被称为欧拉恒等式 在1735年 他定义了微分方程中有用的欧拉 马歇罗尼常数 他是欧拉 马歇罗尼公式的发现者之一 这一公式在计算难于计算的积分 求和与级数的时候极为有效 他的欧拉常数至今未被证明是否为无理数 约瑟夫 拉格朗日 方程解法在柏林工作的前十年 拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上 作出了有价值的贡献 推动了代数学的发展 他提交给柏林科学院两篇著名的论文 关于解数值方程 和 关于方程的代数解法的研究 把前人解三 四次代数方程的各种解法 总结为一套标准方法 即把方程化为低一次的方程 称辅助方程或预解式 以求解 置换群他试图寻找五次方程的预解函数 希望这个函数是低于五次的方程的解 但未获得成功 然而 他的思想已蕴含着置换群概念 对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用 最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题 因而也可以说拉格朗日是群论的先驱 数论在数论方面 拉格朗日也显示出非凡的才能 他对费马提出的许多问题作出了解答 如 一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等 他还证明了圆周率的无理性 这些研究成果丰富了数论的内容 幂级数在 解析函数论 以及他早在1772年的一篇论文中 在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试 他企图把微分运算归结为代数运算 从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量 并想由此出发建立全部分析学 但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题 他自以为摆脱了极限概念 其实只是回避了极限概念 并没有能达到他想使微积分代数化 严密化的目的 不过 他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响 成为实变函数论的起点 欧洲最大的数学家近百余年来 数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作 所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一 被誉为 欧洲最大的数学家 高等数学的完善 十九世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪 它突出地表现在两个方面 一方面是近代数学的主题部分发展成熟了 经过一个多世纪数学家们的努力 它的三个组成部分取得了极为重要的成就 微积分发展成为数学分析 方程论发展成为高等代数 解析几何发展成为高等几何 这就为近代数学向现代数学转变准备了充分的条件 令一方面 近代数学的基本思想和基本概念 在这一时期中发生了根本的变化 在分析学中 傅立叶级数论的产生和建立 使得函数概念有了重大突破 在代数学中 伽罗瓦群论的产生 使得代数运算的概念有了重大的突破 在几何学中 非欧几何的诞生在空间概念方面有了重大的突破 这三项突破促使近代数学迅速向现代数学转变 十九世纪还有一个独特的贡献 就是数学基础的研究形成了三个理论 实数理论 集合论和数理逻辑 这三个理论的建立为即将到来的现代数学准备了更为深厚的基础 三大数学危机的解决 第一次数学危机毕达哥拉斯定理提出后 其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题 边长为1的正方形其对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数 也不能用分数表示 而只能用一个新数来表示 希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2的诞生 小小 2的出现 却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴 它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰 使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌 实际上 这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击 对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击 这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上 任何量 在任何精确度的范围内都可以表示成有理数 这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰 就是在今天 测量技术已经高度发展时 这个断言也毫无例外是正确的 可是为我们的经验所确信的 完全符合常识的论断居然被小小的 2的存在而推翻了 这应该是多么违反常识 多么荒谬的事 它简直把以前所知道的事情根本推翻了 更糟糕的是 面对这一荒谬人们竟然毫无办法 这就在当时直接导致了人们认识上的危机 从而导致了西方数学史上一场大的风波 史称 第一次数学危机 第二次数学危机导源于微积分工具的使用 伴随着人们科学理论与实践认识的提高 十七世纪几乎在同一时期 微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿 莱布尼兹各自独立发现 这一工具一问世 就显示出它的非凡威力 许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌 但是不管是牛顿 还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的 两人的理论都建立在无穷小分析之上 但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的 因而 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击 一直到十九世纪二十年代 一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础 它们从波尔查诺 阿贝尔 柯西 狄里克莱等人的工作开始 最终由威尔斯特拉斯 戴德金和康托尔彻底完成 中间经历了半个多世纪 基本上解决了矛盾 为数学分析奠定了一个严格的基础 虽然不知道微积分是什么 但是我先用起来了 嘿嘿嘿 第三次数学危机十九世纪下半叶 康托尔创立了著名的集合论 在集合论刚产生时 曾遭到许多人的猛烈攻击 但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了 并且获得广泛而高度的赞誉 数学家们发现 从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦 因而集合论成为现代数学的基石 一切数学成果可建立在集合论基础上 这一发现使数学家们为之陶醉 1900年 国际数学家大会上 法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称 借助集合论概念 我们可以建造整个数学大厦 今天 我们可以说绝对的严格性已经达到了 可是 好景不长 1903年 一个震惊数学界的消息传出 集合论是有漏洞的 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论 罗素构造了一个集合S S由一切不是自身元素的集合所组成 然后罗素问 S是否属于S呢 根据排中律 一个元素或者属于某个集合 或者不属于某个集合 因此 对于一个给定相关书籍的集合 问是否属于它自己是有意义的 但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地 如果S属于S 根据S的定义 S就不属于S 反之 如果S不属于S 同样根据定义 S就属于S 无论如何都是矛盾的 危机产生后 数学家纷纷提出自己的解决方案 人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造 通过对集合定义加以限制来排除悖论 这就需要建立新的原则 这些原则必须足够狭窄 以保证排除一切矛盾 另一方面又必须充分广阔 使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来 1908年 策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系 后来经其他数学家改进 称为ZF系统 这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷 除ZF系统外 集合论的公理系统还有多种 如诺伊曼等人提出的NBG系统等 柯西近代数学的领跑者 单复变函数柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的 18世纪的数学家们采用过上 下限是虚数的定积分 但没有给出明确的定义 柯西首先阐明了有关概念 并且用这种积分来研究多种多样的问题 如实定积分的计算 级数与无穷乘积的展开 用含参变量的积分表示微分方程的解等等 分析基础柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响 自从牛顿和莱布尼茨发明微积分 即无穷小分析 简称分析 以来 这门学科的理论基础是模糊的 为了进一步发展 必须建立严格的理论 柯西为此首先成功地建立了极限论 柯西极限论的功能设函数f x 在点x 的某一去心